高考數(shù)學(xué)得分技巧

1、精選文檔2015高考數(shù)學(xué)得分技巧整理（完整版）第1講選擇題的解題方法與技巧題型特點(diǎn)概述選擇題是高考數(shù)學(xué)試卷的三大題型之一選擇題的分?jǐn)?shù)一般占全卷的40%左右，高考數(shù)學(xué)選擇題的基本特點(diǎn)是：(1)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過(guò)它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用，并且因?yàn)樗€有相對(duì)難度(如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等)，所以選擇題已成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一(2)選擇題具有概括性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和深度等特點(diǎn)，且每一題幾乎都有兩種或兩種以上的解法，能有效地檢測(cè)學(xué)生的思維層次及觀察、分析、判斷和推理能力目前高

2、考數(shù)學(xué)選擇題采用的是一元選擇題(即有且只有一個(gè)正確答案)，由選擇題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方法解選擇題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中(包括題干和選項(xiàng))提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件解答數(shù)學(xué)選擇題的主要方法包括直接對(duì)照法、概念辨析法、圖象分析法、特例檢驗(yàn)法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是解題的有效手段解題方法例析題型一直接對(duì)照法直接對(duì)照型選擇題是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相

3、關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，從而直接得出正確結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，從而確定正確的選擇支這類選擇題往往是由計(jì)算題、應(yīng)用題或證明題改編而來(lái)，其基本求解策略是由因?qū)Ч?，直接求解? 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)13，若f(1)2，則f(99)等于()A13 B2 C. D.思維啟迪先求f(x)的周期解析f(x2)，f(x4)f(x)函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且T4.f(99)f(4243)f(3).探究提高 直接法是解選擇題的最基本方法，運(yùn)用直接法時(shí),要注意充分挖掘題設(shè)條件的特點(diǎn)，利用有關(guān)性質(zhì)和已有的結(jié)論，

4、迅速得到所需結(jié)論如本題通過(guò)分析條件得到f(x)是周期為4的函數(shù)，利用周期性是快速解答此題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練1 函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)的值為()A5 B5 C. D解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(5)f(1)5，從而f(f(5)f(5)f(1).例2 設(shè)雙曲線1的一條漸近線與拋物線yx21只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B5C. D.思維啟迪 求雙曲線的一條漸近線的斜率即的值，盡而求離心率解析設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx，這條直線與拋物線yx21相切，聯(lián)立，整理得x2kx10，則k240，

5、解得k2，即2，故雙曲線的離心率e.探究提高 關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組本題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率變式訓(xùn)練2 已知雙曲線C：1(a0，b0)，以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是()Aa Bb C. D.解析1的其中一條漸近線方程為：yx，即bxay0，而焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離db.故選B.題型二概念辨析法概念辨析是從題設(shè)條件出發(fā)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的辨析，進(jìn)行少量運(yùn)算或推理，直接選擇出正確結(jié)論的方法這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性質(zhì)，這需要考生在平時(shí)注意辨析有關(guān)概念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延，同時(shí)

6、在審題時(shí)要多加小心，準(zhǔn)確審題以保證正確選擇一般說(shuō)來(lái)，這類題目運(yùn)算量小，側(cè)重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設(shè)置的“陷阱”例3 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，給出下列條件，akb(kR)；x1x2y1y20；(a3b)(2ab)；ab|a|b|；xyxy2x1x2y1y2.其中能夠使得ab的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析顯然是正確的，這是共線向量的基本定理；是錯(cuò)誤的，這是兩個(gè)向量垂直的條件；是正確的，因?yàn)橛?a3b)(2ab)，可得(a3a)(2ab)，當(dāng)時(shí)，整理得ab，故ab，當(dāng)時(shí)也可得到ab；是正確的，若設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則由ab|a|b|cos ，可知co

7、s 1，從而0，所以ab；是正確的，由xyxy2x1x2y1y2，可得(x1y2x2y1)20，從而x1y2x2y10，于是ab.探究提高 平行向量(共線向量)是一個(gè)非常重要和有用的概念，應(yīng)熟練掌握共線向量的定義以及判斷方法，同時(shí)要將共線向量與向量中的其他知識(shí)(例如向量的數(shù)量積、向量的模以及夾角等)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，能夠從不同的角度來(lái)理解共線向量變式訓(xùn)練3 關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個(gè)命題：若abac，則bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，則k3.非零向量a和b滿足|a|b|ab|，則a與ab的夾角為60.則假命題為()A B C DB解析abaca(bc)0，a與bc可以垂直，而不

8、一定有bc，故為假命題ab，162k.k3.故為真命題由平行四邊形法則知圍成一菱形且一角為60，ab為其對(duì)角線上的向量，a與ab夾角為30，故為假命題題型三數(shù)形結(jié)合法“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的在解答選擇題的過(guò)程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，然后參照?qǐng)D形的做法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論例4 (2009海南)用mina，b，c表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4 B5 C6 D

9、7C思維啟迪 畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)，求出縱坐標(biāo)即可本題運(yùn)用圖象來(lái)求值，直觀、易懂解析由題意知函數(shù)f(x)是三個(gè)函數(shù)y12x，y2x2，y310x中的較小者，作出三個(gè)函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系之下的圖象(如圖中實(shí)線部分為f(x)的圖象)可知A(4,6)為函數(shù)f(x)圖象的最高點(diǎn)變式訓(xùn)練4 (2010湖北）設(shè)集合A，B，則AB的子集的個(gè)數(shù)是( )A4 B3 C2 D1A解析集合A中的元素是橢圓1上的點(diǎn)，集合B中的元素是函數(shù)y3x的圖象上的點(diǎn)由數(shù)形結(jié)合，可知AB中有2個(gè)元素，因此AB的子集的個(gè)數(shù)為4.例5 函數(shù)f(x)1|2x1|，則方程f(x)2x1的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3C

10、思維啟迪 若直接求解方程顯然不可能，考慮到方程可轉(zhuǎn)化為f(x)x，而函數(shù)yf(x)和yx的圖象又都可以畫(huà)出，故可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)解析方程f(x)2x1可化為f(x)x，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)yf(x)和yx的圖象，如圖所示可以發(fā)現(xiàn)其圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此方程f(x)x有兩個(gè)實(shí)數(shù)根探究提高 一般地，研究一些非常規(guī)方程的根的個(gè)數(shù)以及根的范圍問(wèn)題，要多考慮利用數(shù)形結(jié)合法方程f(x)0的根就是函數(shù)yf(x)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)利用數(shù)形結(jié)合法解決方程根的問(wèn)題的前提是涉及的函數(shù)

11、的圖象是我們熟知的或容易畫(huà)出的，如果一開(kāi)始給出的方程中涉及的函數(shù)的圖象不容易畫(huà)出，可以先對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危沟玫忍?hào)兩邊的函數(shù)的圖象容易畫(huà)出時(shí)再進(jìn)行求解變式訓(xùn)練5 函數(shù)y|log x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?,2，則區(qū)間a，b的長(zhǎng)度ba的最小值是 ( )A2 B. C3 D.D解析作出函數(shù)y|log x|的圖象，如圖所示，由y0解得x1；由y2，解得x4或x.所以區(qū)間a，b的長(zhǎng)度ba的最小值為1.題型四特例檢驗(yàn)法特例檢驗(yàn)(也稱特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的選擇常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、

12、特殊圖形、特殊角、特殊位置等特例檢驗(yàn)是解答選擇題的最佳方法之一，適用于解答“對(duì)某一集合的所有元素、某種關(guān)系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結(jié)論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略例6 已知A、B、C、D是拋物線y28x上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且0，則|的值為()A2 B4 C8 D16D解析取特殊位置，AB，CD為拋物線的通徑，顯然0，則|4p16，故選D.探究提高 本題直接求解較難，利用特殊位置法，則簡(jiǎn)便易行利用特殊檢驗(yàn)法的關(guān)鍵是所選特例要符合條件變式訓(xùn)練6 已知P、Q是橢圓3x25y21上滿足POQ90的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

13、等于()A34 B8 C. D.B解析取兩特殊點(diǎn)P(，0)、Q(0，)即兩個(gè)端點(diǎn)，則358.故選B.例7 數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件是 ( )Aan1anq(q為常數(shù))Baanan20Cana1qn1(q為常數(shù))Dan1B解析考查特殊數(shù)列0,0，0，不是等比數(shù)列，但此數(shù)列顯然適合A，C，D項(xiàng)故選B.探究提高 判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的基本方法是定義法，也就是看是否為常數(shù)，但應(yīng)注意檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是否成立變式訓(xùn)練7 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則的值為()A2 B3 C4 D8解析方法一(特殊值檢驗(yàn)法)取n1，得，4，于是，當(dāng)n1時(shí)，4.方法二(特殊式檢驗(yàn)法)注意到

14、，取an2n1，4.方法三(直接求解法)由，得，即，an，于是，224.C題型五篩選法數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項(xiàng)，找到符合題意的正確結(jié)論篩選法(又叫排除法)就是通過(guò)觀察分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)提供的信息或通過(guò)特例，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論例8 方程ax22x10至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1或a5，故選D.規(guī)律方法總結(jié)1解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、驗(yàn)證法和數(shù)形結(jié)合法但大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時(shí)要根據(jù)題干和選擇支兩方面的特點(diǎn)靈活運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上

15、做文章，切忌盲目地采用直接法2由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng)，稍不留心就會(huì)誤入“陷阱”，應(yīng)該從正反兩個(gè)方向肯定、否定、篩選、驗(yàn)證，既謹(jǐn)慎選擇，又大膽跳躍3作為平時(shí)訓(xùn)練，解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”，并注意及時(shí)總結(jié)，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.知能提升演練1已知集合A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，則A(NB)等于()A1,5,7 B3,5,7C1,3,9 D1,2,3解析由于3NB，所以3A(NB)排除B、C、D，故選A.2已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck

16、1且c與d同向 Dk1且c與d反向解析當(dāng)k1時(shí)，cab，不存在實(shí)數(shù)，使得ab.所以c與d不共線，與cd矛盾排除A、B；當(dāng)k1時(shí)，cab(ab)d，所以cd，且c與d反向故應(yīng)選D.3已知函數(shù)ytan x在內(nèi)是減函數(shù)，則()A01 B10時(shí)正切函數(shù)在其定義域內(nèi)各長(zhǎng)度為一個(gè)周期的連續(xù)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，排除A、C，又當(dāng)|1時(shí)正切函數(shù)的最小正周期長(zhǎng)度小于，ytan x在內(nèi)不連續(xù)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不是減函數(shù)，這樣排除D，故選B.4已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0

17、)解析當(dāng)m1時(shí)，f(x)2x26x1，g(x)x，由f(x)與g(x)的圖象知，m1滿足題設(shè)條件，故排除C、D.當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=4x2-4x+1,g(x)=2x,由其圖象知，m=2滿足題設(shè)條件，故排除A.因此，選項(xiàng)B正確5已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是()A0， B，C， D，解析|=，A的軌跡是C，半徑為.由圖可知COB，設(shè)向量與向量的夾角為，則，故選D.答案D6設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)2|x|，當(dāng)K時(shí)，函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，0) B(0，)C(

18、，1) D(1，)解析函數(shù)f(x)2|x|()|x|，作圖f(x)Kx(，11,),故在(,1)上是單調(diào)遞增的,選C項(xiàng)7設(shè)x，yR，用2y是1x和1x的等比中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)(x，y)的軌跡為除去x軸上點(diǎn)的 ( )A一條直線 B一個(gè)圓C雙曲線的一支 D一個(gè)橢圓解析(2y)2(1x)(1x)(y0)得x24y21(y0)8設(shè)A、B是非空數(shù)集，定義A*Bx|xAB且xAB，已知集合Ax|y2xx2，By|y2x，x0，則A*B等于()A0,1(2，) B0,1)(2，)C(，1 D0,2解析AR，B(1，)，故A*B(，1，故選C.9(2010福建)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心

19、和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為()A32，) B32，)C，) D，)B解析由c2得a214，a23，雙曲線方程為y21.設(shè)P(x，y)(x)，(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，則g(x)在，)上單調(diào)遞增g(x)ming()32.的取值范圍為32，)10已知等差數(shù)列an滿足a1a2a1010，則有 ( )Aa1a1010 Ba2a1020Ca3a990 Da5151解析取滿足題意的特殊數(shù)列an0，則a3a990，故選C.11在等差數(shù)列an中，若a2a4a6a8a1080，則a7a8的值為()A4 B6 C8 D10解

20、析令等差數(shù)列an為常數(shù)列an16.顯然a7a81688.故選C.12若0，則下列不等式：ab|b|；a2中，正確的不等式是()A B C D解析取a1，b2，則、不正確，所以A、B、D錯(cuò)誤，故選C.13.(2010全國(guó))如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(，)，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()解析觀察并聯(lián)想P運(yùn)動(dòng)軌跡與d的關(guān)系，當(dāng)t0時(shí)，d，排除A、D；當(dāng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)d遞減，排除B.C14若函數(shù)f(x)4a的最小值等于3，則實(shí)數(shù)a的值等于()A. B1 C. 或1 D不存在這樣的a解析方法一直接對(duì)照法令t，則t0,1)若a1，則f(x)|ta

21、|4a5at不存在最小值；若0a1，則f(x)|ta|4a，當(dāng)ta時(shí)取得最小值4a，于是4a3，得a符合題意；若a4，顯然函數(shù)的最小值不是3，故排除選項(xiàng)B、C；若a，f(x)3，這時(shí)只要令0，即x，函數(shù)可取得最小值3，因此A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤A15已知sin ，cos ()，則tan等于()A. B| C. D5D解析由于受條件sin2cos21的制約，故m為一確定的值，于是sin ，cos 的值應(yīng)與m的值無(wú)關(guān)，進(jìn)而tan 的值與m無(wú)關(guān)，又，1，故選D項(xiàng)16已知函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么yf(x)，yg(x)圖象可能是( )解析從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x0處斜率相同

22、，可以排除B項(xiàng)，再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢，可明顯看出yf(x)的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來(lái)越慢，排除A、C兩項(xiàng)，最后只有D項(xiàng)，可以驗(yàn)證yg(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來(lái)越快答案D第2講填空題第2講填空題的解題方法與技巧題型特點(diǎn)概述填空題是高考試卷中的三大題型之一，和選擇題一樣，屬于客觀性試題它只要求寫(xiě)出結(jié)果而不需要寫(xiě)出解答過(guò)程在整個(gè)高考試卷中，填空題的難度一般為中等不同省份的試卷所占分值的比重有所不同1 填空題的類型填空題主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，具有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、概念性強(qiáng)、運(yùn)算量不大、不需要寫(xiě)出求解過(guò)程而只需要寫(xiě)出結(jié)論

23、等特點(diǎn)從填寫(xiě)內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫(xiě)，一類是定性填寫(xiě)2填空題的特征填空題不要求寫(xiě)出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將結(jié)論直接寫(xiě)出的“求解題”填空題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容 (既可以是條件，也可以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫(xiě)出具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因

24、此要想“快速”解答填空題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ凇扒伞弊稚舷鹿Ψ?解填空題的基本原則解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是 “巧做”解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理法等解題方法例析題型一直接法直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法例1 在等差數(shù)列an中，a13,11a55a813，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_(kāi)思維啟迪計(jì)算出基本量d，找到轉(zhuǎn)折項(xiàng)

25、即可 解析設(shè)公差為d，則11(34d)5(37d)13，d.數(shù)列an為遞增數(shù)列令an0，3(n1)0，n，nN*.前6項(xiàng)均為負(fù)值，Sn的最小值為S6.答案探究提高 本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值變式訓(xùn)練1 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7_.49解析方法一S749.故填49.方法二由可得a716213.S749.故填49.題型二特殊值法特殊值法在考試中應(yīng)用起來(lái)比較方便，它的實(shí)施過(guò)程是從特殊到一般，優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便易行當(dāng)暗示答案是一個(gè)“定值”時(shí)，就可以取一個(gè)特殊數(shù)值、特殊位置、特殊

26、圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來(lái)將字母具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问疆?dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時(shí)，特例法尤其有效例2 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足sin Asin B，則C_.思維啟迪 題目中給出了ABC的邊和角滿足的一個(gè)關(guān)系式，由此關(guān)系式來(lái)確定角C的大小，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關(guān)系式，如：等邊三角形、直角三角形等，若滿足，則可求出此時(shí)角C的大小解析容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)ABC是一個(gè)等邊三角形時(shí)，滿足sin Asin B，而此時(shí)C60，故角C的大小為60.答案60探究提高 特殊值法的理論依據(jù)是：若對(duì)所有值都成立，那么對(duì)特殊值也成立，我們就可以利用填空

27、題不需要過(guò)程只需要結(jié)果這一“弱點(diǎn)”，“以偏概全”來(lái)求值在解決一些與三角形、四邊形等平面圖形有關(guān)的填空題時(shí)，可根據(jù)題意，選擇其中的特殊圖形(如正三角形、正方形)等解決問(wèn)題此題還可用直接法求解如下：由sin Asin B可得ab，整理得，a2c2abb2，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，所以C60.變式訓(xùn)練2 在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數(shù)列，則_.解析方法一取特殊值a3，b4，c5，則cos A，cos C0，.方法二取特殊角ABC，cos Acos C，.例3 如圖所示，在ABC中,AO是BC邊上的中線，K為AO上一點(diǎn)，且2,過(guò)點(diǎn)K的直線

28、分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn_.思維啟迪題目中過(guò)點(diǎn)K的直線是任意的，因此m和n的值是變化的，但從題意看mn的值是一個(gè)定值，故可取一條特殊的直線進(jìn)行求解解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)K的直線與BC平行時(shí)，MN就是ABC的一條中位線(2，K是AO的中點(diǎn))這時(shí)由于有m，n，因此mn2，故mn4.答案4探究提高 本題在解答中，充分考慮了“直線雖然任意,但mn的值卻是定值”這一信息，通過(guò)取直線的一個(gè)特殊位置得到了問(wèn)題的解,顯得非常簡(jiǎn)單,在求解這類填空題時(shí)，就要善于捕捉這樣的有效信息,幫助我們解決問(wèn)題變式訓(xùn)練3 設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_(kāi)解析采用特殊位置，可令A(yù)BC

29、為正三角形，則根據(jù)2可知，O是ABC的中心，則OAOBOC，所以AOBAOC，即AOB與AOC的面積之比為1.題型三圖象分析法(數(shù)形結(jié)合法)依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，稱為圖象分析型填空題，這類問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯由于填空題不要求寫(xiě)出解答過(guò)程，因而有些問(wèn)題可以借助于圖形，然后參照?qǐng)D形的形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀地分析，加上簡(jiǎn)單的運(yùn)算，一般就可以得出正確的答案事實(shí)上許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既淺顯易懂，又能節(jié)省時(shí)間利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題能很好地考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活處理問(wèn)題的能力，此類問(wèn)題為近

30、年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容例4 已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|mn|的值等于_思維啟迪考慮到原方程的四個(gè)根，其實(shí)是拋物線yx22xm與yx22xn和x軸四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可以利用圖象進(jìn)行求解解析如圖所示，易知拋物線yx22xm與yx22xn有相同的對(duì)稱軸x1，它們與x軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為A、B、C、D.因?yàn)閤A，則xD.又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|.探究提高 本題是數(shù)列問(wèn)題，但由于和方程的根有關(guān)系，故可借助數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解，因此在解題時(shí)，我們要認(rèn)真分析題目特點(diǎn)，充分挖掘其中的有用信息，尋求最簡(jiǎn)捷的解法變式訓(xùn)練4 已知定義在

31、R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m0)，在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.-8解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3,x4，不妨設(shè)x1x2x3x4.由對(duì)稱性知x1x212，x3x44，所以x1x2

32、x3x41248.例5 函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，其定義域?yàn)?,4，那么不等式0的解集為_(kāi)4，)(，0)，)解析0或在給出的坐標(biāo)系中，再作出ysin x在4,4上的圖象，如圖所示,觀察圖象即可得到所求的解集為4，)(，0)，)探究提高 與函數(shù)有關(guān)的填空題，依據(jù)題目條件，靈活地應(yīng)用函數(shù)圖象解答問(wèn)題，往往可使抽象復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題變得形象直觀，使問(wèn)題快速獲解變式訓(xùn)練5 不等式（|x|- ）sin x0，x-,2的解集為 .解析 在同一坐標(biāo)系中分別作出y=|x|- 與y=sin x的圖象：根據(jù)圖象可得不等式的解集為：題型四等價(jià)轉(zhuǎn)化法將所給的命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之成為一種容易理解的語(yǔ)言或容易求解的模式

33、通過(guò)轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成便于解決的問(wèn)題，從而得出正確的結(jié)果例6 設(shè)函數(shù)f(x)，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f(x1)f(x2)f(x3)，則x1x2x3的取值范圍是_思維啟迪將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ym與yf(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，再研究三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的取值范圍解析本題可轉(zhuǎn)化為直線ym與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),yx24x6在0,)的最小值為f(2)2，故2m0，由于yx24x6的對(duì)稱軸為x2,則x1x24，令3x42，得x，則x30，故4x1x2x304，即x1x2x3的取值范圍是(，4)答案(，4)探究提高 等價(jià)轉(zhuǎn)化法的關(guān)鍵是要明確轉(zhuǎn)化的方向或者說(shuō)轉(zhuǎn)

34、化的目標(biāo)本題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵就是將研究x1x2x3的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了直線ym與曲線yf(x)有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了形的問(wèn)題，從而利用圖形的性質(zhì)解決變式訓(xùn)練6 已知關(guān)于x的不等式0的解集是(,1)(，)，則a的值為_(kāi)變式訓(xùn)練6 已知關(guān)于x的不等式0的解集是(,1)(，)，則a的值為_(kāi)題型五構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)

35、模型，使問(wèn)題快速解決例7 函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.思維啟迪直接求f(x)的最大值、最小值顯然不可取化簡(jiǎn)f(x)1，構(gòu)造新函數(shù)g(x)利用g(x)的奇偶性求解解析根據(jù)分子和分母同次的特點(diǎn)，分子展開(kāi)，得到部分分式，f(x)1，f(x)1為奇函數(shù)，則m1(M1)，Mm2.探究提高 整體思考，聯(lián)想奇函數(shù)，利用其對(duì)稱性簡(jiǎn)化求解，這是整體觀念與構(gòu)造思維的一種應(yīng)用注意到分式類函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，借助分式類函數(shù)最值的處理方法，部分分式法，變形發(fā)現(xiàn)輔助函數(shù)為奇函數(shù)，整體處理最大值和最小值的問(wèn)題以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種構(gòu)造特殊函數(shù)模型的方法來(lái)源于對(duì)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的深刻理解變式訓(xùn)練7 已知函數(shù)f(x)

36、sin xcos x3，若f(lg a)4，則f(lg )的值等于_解析f(x)sin xcos x3sin 2xtan x3，若令g(x)sin 2xtan x，則g(x)是一個(gè)奇函數(shù)由f(lg a)4,得g(lg a)34,g(lg a)1.于是g(lg )=g(lg a)g(lg a)1，故f(lg )g(lg )3132.例8 已知a、b是正實(shí)數(shù)，且滿足abab3，則ab的取值范圍是_思維啟迪考慮到已知條件中出現(xiàn)了兩個(gè)正數(shù)a和b的乘積ab以及和ab，可與一元二次方程的根聯(lián)系起來(lái)構(gòu)造方程進(jìn)行求解解析a、b是正實(shí)數(shù)且abab3，故a、b可視為一元二次方程x2mxm30的兩個(gè)根，其中abm，

37、abm3.要使方程有兩個(gè)正根，應(yīng)有解得m6，即ab6，故ab的取值范圍是6，)變式訓(xùn)練8 若拋物線yx2ax2總在直線y3x1的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析構(gòu)造不等式，依題意知，不等式x2ax20在R上恒成立故(3a)240，即a26a50，解得1a0，UA 1，n，則m2n2_.解析由UA1,n,知A(，1)(n,)，即不等式0的解集為(,1)(n，),所以n1,m1，因此m1，n1，故m2n22.2在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10_.解析特殊化法：盡管滿足a5a69的數(shù)列有無(wú)窮多，但所求結(jié)果應(yīng)唯一的，故只需選取一個(gè)滿足條件的特殊數(shù)列

38、a5a63，則公比q1就可以了原式log3(3333)log331010.3在數(shù)列an中，若a11，an12an3(n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.解析由an12an3，則有an132(an3)，即2.所以數(shù)列an3是以a13為首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，即an342n12n1，所以an2n13.4設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|b|c|，abc，則cosa，b_.解析設(shè)正三角形ABC中，a，b，c，所以與的夾角為120，所以cosa，bcos 120.5設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)的和分別為Sn與Tn，若，則_.解析因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sna1nn2(a1d)n，故可設(shè)Sn2nn，Tn(3

39、n1)n，則可得an4n2，bn6n2，.6ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，m()，則實(shí)數(shù)m_.解析(特殊值法)當(dāng)B90時(shí),ABC為直角三角形,O為AC中點(diǎn)AB、BC邊上高的交點(diǎn)H與B重合，m1.7(2010湖南)若數(shù)列an滿足：對(duì)任意的nN*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得amn成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為an*，則得到一個(gè)新數(shù)列(an)*例如，若數(shù)列an是1,2,3，n，則數(shù)列(an)*是0,1,2，n1，.已知對(duì)任意的nN*，ann2，則(a5)*_，(an)*)*_.解析由(an)*的定義知，要求(a5)*只需尋找滿足am5的m的個(gè)數(shù)即可由于1215,2245，故(a5)*2.an1,22,32，n2，(a1)*)*1，(a2)*)*422，(a3)*)*932，(an)*)