（浙江版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值（講）

1、專題3.4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題. 2013浙江文科21，理科8，22；2014浙江文科21，理科22；2017浙江卷20.1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2.單獨考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；3.適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題.3.備考重點： (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法

2、則是基礎(chǔ)；(2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【知識清單】1函數(shù)的極值 (1)函數(shù)的極小值：函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其它點的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點xa附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f(x)0，則點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近的其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，而且在點xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b

3、)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值對點練習(xí)：【2017課標(biāo)II，理11】若是函數(shù)的極值點，則的極小值為（ ）A. B. C. D.1【答案】A【解析】2函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值對點練習(xí)：【2017北京，理19】已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析

4、】所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【考點深度剖析】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢【重點難點突破】考點1 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極（最）值問題 【1-1】【2017河北武邑三調(diào)】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）當(dāng)時，增區(qū)間，當(dāng)時，增區(qū)間，當(dāng)時，增區(qū)間.【解析】試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，令 ，得(舍去). 然后列

5、表可求得：函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）令，得,然后利用分類討論思想對分三種情況進(jìn)行討論.試題解析： （1） 函數(shù)的定義域為，令 ，得(舍去). 當(dāng)變化時，的取值情況如下:減極小值增所以，函數(shù)的極小值為，無極大值. 【1-2】【2016新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，； ()證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域【答案】（）詳見解析；（）.【解析】試題解析：（）的定義域為.且僅當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，所以（II）由（I）知， 單調(diào)遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增【領(lǐng)悟技法】1.

6、求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值2. 求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f (a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值【觸類旁通】【變式一】已知等比數(shù)列的前項的和為，則的極大值為（ ）A2 B3 C D【答案】D【解

7、析】因,即,故題設(shè),所以,由于,因此當(dāng)時, 單調(diào)遞增；當(dāng)時, 單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取極大值,應(yīng)選D.【變式二】已知函數(shù),若是的一個極大值點,則實數(shù)的取值范圍為 【答案】【解析】因,即,由題設(shè)條件及導(dǎo)函數(shù)的圖象可以推知方程的兩根在的兩邊,即,也即,所以.【易錯試題常警惕】易錯典例：已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值易錯分析：解答本題時，易于忽視對k1不同取值情況的討論，而錯誤得到f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k-1)正確解析： (1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)的情況如下：x(，k1)k1

8、(k1，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)由(1)知f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)；當(dāng)k11時，即k2時，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.溫馨提醒：1求函數(shù)極值時，易于誤把導(dǎo)數(shù)為0的點作為極值點；極值點的導(dǎo)數(shù)也不一定為0.2極值與最值：注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】_化整為零，積零為整分類討論思想1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題

9、策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”2.分類討論思想的常見類型問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化

10、需要分類討論的.【典例】【2017浙江臺州4月調(diào)研】已知函數(shù)f(x)=13x3+12ax2+bx(a,bR).（1）若函數(shù)f(x)在(0,2)上存在兩個極值點，求3a+b的取值范圍；（2）當(dāng)a=0,b-1時，求證：對任意的實數(shù)x0,2，|f(x)|2b+83恒成立.【答案】(1) 3a+b的取值范圍(-8,0);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）f(x)=x2+ax+b=0在(0,2)上有兩個實根，根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式組，f(0)0f(2)000-a22 ，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求取值范圍；(2)當(dāng)a=0時，f(x)=13x3+bx，利用導(dǎo)數(shù)分b0和-1b0f(2)00-a2(0,2)，即b02a+b+40a2-4b0a(-4,0)，令z=3a+b，由圖可知-8z0，故3a+b的取值范圍(-8,0).（2）證明：f(x)=13x3