高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用學(xué)案蘇教版選修

1、3.4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用1.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題的方法.(重點)2.提高學(xué)生綜合運用導(dǎo)數(shù)知識解題的能力，培養(yǎng)化歸轉(zhuǎn)化的思想意識.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用閱讀教材P93P96練習(xí)以上部分，完成下列問題.1.導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如用料最省、利潤最大、效率最高等問題一般可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，從而可用導(dǎo)數(shù)來解決.2.用導(dǎo)數(shù)解決實際生活問題的基本思路1.判斷正誤：(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以解決所有實際問題中的最值問題.()(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題，首先應(yīng)建立函數(shù)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式.()(3)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題需明確實際背景.()【解

2、析】(1).如果實際問題中所涉及的函數(shù)不可導(dǎo)、就不能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解.(2).求解實際問題一般要建立函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.(3).要根據(jù)實際問題的意義確定自變量的取值.【答案】(1)(2)(3)2.生產(chǎn)某種商品x單位的利潤L(x)500x0.001x2，生產(chǎn)_單位這種商品時利潤最大，最大利潤是_.【解析】L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，當(dāng)x500時，最大利潤為750.【答案】500750質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型面積容積的最值問題有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長

3、為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上.設(shè)CD2x，梯形的面積為S.(1)求面積S關(guān)于x的函數(shù)，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.【精彩點撥】(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，按照橢圓方程和對稱性求面積S關(guān)于x的函數(shù)式；(2)根據(jù)S的函數(shù)的等價函數(shù)求最大值.【自主解答】(1)依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則點C的坐標(biāo)為(x，y).點C在橢圓上，點C滿足方程1(y0)，則y2(0 x r)，S(2x2r)22(xr)(0 x r).(2)記S4(xr)2(r2x2)(0xr)則S8(xr)2(r2x)令S0，解得x

4、r或xr(舍去).當(dāng)x變化時， S，S的變化情況如下表：xS0Sxr時，S取得最大值，即梯形面積S的最大值為.1.求面積、體積的最大值問題是生活、生產(chǎn)中的常見問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質(zhì)寫出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法來求解.2.選擇建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用點的坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系或曲線方程，以利于解決問題.再練一題1.用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊長比另一邊長長0.5 m，那么高為多少時，容器的容積最大？并求它的最大容積.【解】設(shè)容器底面一邊長為x m，則另一邊長為(x0.5)m，高為(3.22

5、x)m由解得0x1.6.設(shè)容器的容積為y m3，則yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6.令y0，則15x211x40，解得x11，x2(舍去).在定義域(0,1.6)內(nèi)只有x1處使y0，x1是函數(shù)y2x32.2x21.6x在(0,1.6)內(nèi)的唯一的極大值點，也就是最大值點. 因此，當(dāng)x1時，y取得最大值，ymax22.21.61.8，這時高為3.2211.2(m).故高為1.2 m時，容器的容積最大，最大容積為1.8 m3.用料最省、節(jié)能減耗問題(2016杭州高二檢測)如圖341所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海岸

6、的同側(cè)，乙廠位于離海岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠鋪設(shè)的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費用最省？ 圖341【精彩點撥】先列出自變量，通過三角知識列出水管費用的函數(shù)，然后求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最小值.【自主解答】設(shè)C點距D點x km，則BD40 km，AC(50x)km，BC(km).又設(shè)總的水管費用為y元，依題意， 得y3a(50x) 5a(0x50)，則y3a，令y0，解得x30.當(dāng)x0,30)時，y0，當(dāng)x(30,50時，y0, 當(dāng)x30時函數(shù)取得最小值，此時AC50x20(km

7、)，即供水站建在A，D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.1.像本例節(jié)能減耗問題，背景新穎，信息較多，應(yīng)準(zhǔn)確把握信息，正確理清關(guān)系，才能恰當(dāng)建立函數(shù)模型.2.實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時根據(jù)f(x)0求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍棄不合適的極值點)后，函數(shù)滿足左減右增，此時惟一的極小值就是所求函數(shù)的最小值.再練一題2.某工廠需要建一個面積為512 m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長為_，寬為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】如圖所示，設(shè)場地一邊長為x m，則另一邊長為 m， 因此新墻總長

8、度L2x(x0)，L2.令L20，得x16或x16.x0，x16.L在(0，)上只有一個極值點，它必是最小值點.x16，32.故當(dāng)堆料場的寬為16 m，長為32 m時，可使砌墻所用的材料最省.【答案】16 m32 m探究共研型利潤最大問題探究1在有關(guān)利潤最大問題中，經(jīng)常涉及“成本、單價、銷售量”等詞語，你能解釋它們的含義嗎？【提示】成本是指企業(yè)進行生產(chǎn)經(jīng)營所耗費的貨幣計量，一般包括固定成本(如建設(shè)廠房、購買機器等一次性投入)和可變成本(如生產(chǎn)過程中購買原料、燃料和工人工資等費用)，單價是指單位商品的價格，銷售量是指所銷售商品的數(shù)量.探究2什么是銷售額(銷售收入)？什么是利潤？【提示】銷售額單價

9、銷售量，利潤銷售額成本.探究3根據(jù)我們以前所掌握的解決實際應(yīng)用問題的思路，你認(rèn)為解決利潤最大問題的基本思路是什么？【提示】在解決利潤最大問題時，其基本思路如圖所示.圖(2016濱州高二檢測)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2.其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售商品所獲得的利潤最大.【精彩點撥】利用待定系數(shù)法先求得參數(shù)a的值，由題意列出利潤關(guān)于價格的函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在(3,6)

10、上的最大值問題.【自主解答】(1)因為x5時，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，該商品每日銷售量y10(x6)2， 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).當(dāng)x變化時，f (x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點.所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解決最優(yōu)化問題的一般步驟

11、：(1)根據(jù)各個量之間的關(guān)系列出數(shù)學(xué)模型；(2)對函數(shù)求導(dǎo)，并求出導(dǎo)函數(shù)的零點，確定函數(shù)極值；(3)比較區(qū)間端點處函數(shù)值和極值之間的大小，得到最優(yōu)解.再練一題3.某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元(t為常數(shù)，且2t5)，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元(25x40)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量q與ex成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.(1)求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數(shù)關(guān)系式；(2)若t5，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的每日利潤最大？并求最大值.【解】(1)設(shè)日銷量q，則100，k100e3

12、0，日銷量q，y(25x40).(2)當(dāng)t5時，y，y.由y0，得25x26，由y0，得26x40，y在25,26)上單調(diào)遞增，在(26,40上單調(diào)遞減，當(dāng)x26時，ymax100e4.故當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元.構(gòu)建體系1.一個圓錐形漏斗的母線長為20，高為h，則體積V的表達式為_.【解析】設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的底面半徑為r，則V(400h2)h. 【答案】(400h2)h2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù)，y117x2；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)_千臺.【解析】構(gòu)造

13、利潤函數(shù)yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0是x6(x0舍去)，x6是函數(shù)y在(0，)上唯一的極大值點，也是最大值點.即生產(chǎn)6千臺時，利潤最大.【答案】63.(2016鹽城高二檢測)某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)x2(0x60)，則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子底面邊長為_.【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】V(x)2xx2x260xx(x40).令V(x)0，得x40或x0(舍).不難確定x40時，V(x)有最大值.即當(dāng)?shù)酌孢呴L為40時，箱子容積最大.【答案】404.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為

14、L，則VR2L27，L. 要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，S表R22RLR22， S表2R.令S0，解得R3.R(0,3)時，S表單調(diào)遞減，R(3，)時，S表單調(diào)遞增，當(dāng)R3時，S表最小.【答案】35.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)1200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為多少件時，總利潤最大？并求出最大總利潤.【解】由題意，可設(shè)p2，其中k為比例系數(shù).因為當(dāng)x100時，p50，所以k，所以p2，p，x0.設(shè)總利潤為y萬元，則yx1200x3500x31200.求導(dǎo)數(shù)得，yx2.令y0得x25.故當(dāng)x25時，y0；當(dāng)

15、x25時，y0. 因此當(dāng)x25時，函數(shù)y取得極大值，也是最大值，即最大利潤為萬元.【答案】25我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(二十)導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)一、填空題1.一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的距離為st32t2，那么速度為24的時刻是_秒末.【解析】由題意可得t0，且s4t24t，令s24，解得t3(t2舍去).【答案】32.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為_萬件.【解析】令yx2810，解得x9或

16、x9(舍去).f(x)在區(qū)間(0,9)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(9，)上是減函數(shù)， f(x)在x9處取最大值.【答案】93.已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少_米.【解析】設(shè)廣場的長為x米，則寬為米，于是其周長為y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，這時y800.當(dāng)0x200時，y0；當(dāng)x200時，y0.所以當(dāng)x200時，y取得最小值，故其周長至少為800米.【答案】8004.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm.要使其體積最大，則高為_.【解析】設(shè)圓錐的高為h cm(0h20)，則圓錐的底面半徑r (cm)，VV(h)r2h(400h2)h(400hh3)，

17、V(4003h2)，令V(4003h2)0，解得h.由題意知V一定有最大值，而函數(shù)只有一個極值點，所以此極值點就是最大值點.【答案】cm5.要做一個底面為長方形的帶蓋的盒子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰邊邊長之比為12，則它的長為_、寬為_、高為_時，可使表面積最小.【解析】設(shè)底面的長為2x cm，寬為x cm，則高為 cm，表面積S22xx2x22x4x2(x0)，S8x，由S0，得x3，x(0,3)時，S0，x(3，)時，S0，x3時，S最小.此時，長為6 cm，寬為3 cm，高為4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm6.(2016四川高考改編)設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)圖

18、象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則PAB的面積的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由圖象易知P1，P2位于f(x)圖象的兩段上，不妨設(shè)P1(x1，ln x1)(0x11)，則函數(shù)f(x)的圖象在P1處的切線l1的方程為yln x1(xx1)，即y1ln x1.則函數(shù)f(x)的圖象在P2處的切線l2的方程為yln x2(xx2)，即y1ln x2.由l1l2，得1，x1x21.由切線方程可求得A(0,1ln x1)，B(0，ln x21)，由知l1與l2交點的橫坐標(biāo)xP.SPAB(1ln x1ln x21).又x1(0,1)，x12，0

19、1，即0SPAB1.【答案】(0,1)7.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為_.【解析】設(shè)圓柱的高為2h，則底面圓的半徑為， 則圓柱的體積為V(R2h2)2h2R2h2h3，V2R26h2. 令V0，解得hR.h時，V單調(diào)遞增，h時，V單調(diào)遞減，故當(dāng)hR時，即2hR時，圓柱體的體積最大.【答案】R8.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8300170pp2.則最大毛利潤(毛利潤銷售收入進貨支出)為_.【解析】設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2

20、)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或 p130(舍去).因為在p30附近的左側(cè)L(p)0，右側(cè)L(p)0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，此時，L(30)23 000.即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23 000元.【答案】23 000元二、解答題9.設(shè)有一個容積V一定的鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，則如何設(shè)計可使總造價最少？【解】設(shè)圓柱體的高為h，底面半徑為r，設(shè)單位面積鐵的造價為m，桶的總造價為y，則y3mr2m(r22rh).由Vr2h，

21、得h，y4mr2(r0)，y8mr.令y0，得r.此時h4.該函數(shù)在(0，)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且只有一個使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點，問題中總造價的最小值顯然存在.當(dāng)r時，y有最小值，即hr41時，總造價最少.10.(2016南京高二檢測)某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件.通過改進工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x(0x1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y(元). (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)改進工藝后，確定該紀(jì)念品的售價，使旅

22、游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大. 【解】(1)改進工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價為20(1x)，月平均銷售量為a(1x2)件，則月平均利潤ya(1x2)20(1x)15元，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y5a(14xx24x3)(0x1).(2)由y5a(42x12x2)0得x1或x2(舍)，當(dāng)0x時，y0； 當(dāng)x1時，y0，所以函數(shù)y5a(14xx24x3)(0x1)在x處取得最大值.故改進工藝后，產(chǎn)品的銷售價為2030(元)時，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大. 能力提升1.用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒

23、，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為_.【解析】設(shè)四角截去的正方形邊長為x.鐵盒容積V4(24x)2x，所以V4(24x)28(24x)x4(24x)(243x)，令V0，得x8，即為極大值點也是最大值點，所以在四角截去的正方形的邊長為8 cm.【答案】8 cm2.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k0).已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x，x(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為_.【解析】依題意，存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x(0，0.0486).所以銀行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，則y0.0972kx3kx2. 令y0，得x0.0324或x0(舍去). 當(dāng)0x0.0324時，y0；