大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)答案(習(xí)崗)第4章

1、第四章 靜電場(chǎng)本章提要1. 庫(kù)侖定律兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力滿足庫(kù)侖定律，庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中 2. 電場(chǎng)強(qiáng)度 電場(chǎng)強(qiáng)度表示單位正電荷在靜電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力。其定義式為 其中，為靜止電荷。 在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為 3. 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算 點(diǎn)電荷系的電場(chǎng) 電荷連續(xù)分布的帶電體系的電場(chǎng)其中的積分遍及q電荷分布的空間。4. 高斯定理 電通量電場(chǎng)強(qiáng)度通量簡(jiǎn)稱電通量。在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的某點(diǎn)附近取一個(gè)面元，規(guī)定，為與之間的夾角，通過(guò)的電通量定義為通過(guò)電場(chǎng)中某閉合曲面S的電通量為 高斯定理在真空中，通過(guò)電場(chǎng)中任意封閉曲面的電通量等于該封閉曲面內(nèi)的所有電荷電量的代數(shù)和除以。即 使用高斯定理可以方

2、便地計(jì)算具有對(duì)稱性的電場(chǎng)分布。5. 電勢(shì) 電勢(shì)能電荷q0在電場(chǎng)中某點(diǎn)a所具有的電勢(shì)能等于將q0從該點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)電場(chǎng)力所作的功。即 電勢(shì)電勢(shì)是描述電場(chǎng)能的屬性的物理量。電場(chǎng)中某點(diǎn)a的電勢(shì)定義為 電勢(shì)的計(jì)算（1） 已知電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，可通過(guò)電勢(shì)的定義做場(chǎng)強(qiáng)的積分來(lái)計(jì)算電勢(shì)。（2）若不知道電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，可通過(guò)下述的求和或積分來(lái)計(jì)算電勢(shì)： 點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電勢(shì)為 電荷連續(xù)分布的帶電體系電場(chǎng)中的電勢(shì)為6. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分為零，即 7. 靜電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體的作用 導(dǎo)體的靜電平衡導(dǎo)體中不發(fā)生任何電荷定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)稱靜電平衡狀態(tài)。 導(dǎo)體表面的電場(chǎng)導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)

3、強(qiáng)度與該表面處的電荷面密度成正比，即8. 靜電場(chǎng)對(duì)電介質(zhì)的作用 電介質(zhì)的極化在外電場(chǎng)作用下電介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象稱電介質(zhì)的極化。電介質(zhì)的極化有位移極化和取向極化兩類。電介質(zhì)的極化程度用電極化強(qiáng)度來(lái)描述。對(duì)于各向同性的電介質(zhì)，其中每一點(diǎn)的電極化強(qiáng)度P與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系為P =E 其中，稱電極化率。 介質(zhì)中的高斯定理穿過(guò)電場(chǎng)中任意封閉曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，即其中，電位移通量。 電容器 電容器的電容定義為 真空中的電容與介質(zhì)中的電容C的關(guān)系為9. 靜電場(chǎng)的能量其中，we稱為電場(chǎng)的能量密度，積分區(qū)域遍及整個(gè)電場(chǎng)空間。思考題4-1 兩式有什么區(qū)別與聯(lián)系。 答：

4、前者是關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，適合求任何情況下的電場(chǎng)。后者是由庫(kù)侖定律代入定義式推導(dǎo)而來(lái)，它表示點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。4-2 一個(gè)均勻帶電球形橡皮氣球，在其被吹大的過(guò)程中，下列各場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)將如何變化？(1)氣球內(nèi)部；(2)氣球外部；(3)氣球表面。答：(1) 因?yàn)殡姾煞植荚谇蛎嫔希騼?nèi)部無(wú)電荷，在球內(nèi)取半徑為r( rR )的球形高斯面，由高斯定理易知球外空間的場(chǎng)強(qiáng)E外=。由此可知，球外空間的場(chǎng)強(qiáng)與氣球吹大過(guò)程無(wú)關(guān)。(3)因?yàn)榍虮砻娴膱?chǎng)強(qiáng)E表=，在球吹大的過(guò)程中，R變大，所以，球表面的場(chǎng)強(qiáng)隨氣球的吹大而變小。4-3 下列幾種說(shuō)法是否正確，為什么？（1） 高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零時(shí)，高斯面內(nèi)必定沒有電荷

5、。（2） 高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)為零時(shí)，高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必為零。（3） 穿過(guò)高斯面的電通量為零時(shí)，高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必為零。（4） 高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零時(shí)，穿過(guò)高斯面的電通量一定為零。答：（1）錯(cuò)，因?yàn)橐栏咚苟ɡ?，E = 0 只說(shuō)明高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)（所有電荷的代數(shù)和）為零。（2）錯(cuò)。高斯面內(nèi)凈電荷數(shù)為零，只說(shuō)明整個(gè)高斯面的的累積為零。并不一定電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零。（3）錯(cuò)。穿過(guò)高斯面的電通量為零時(shí)，只說(shuō)明整個(gè)高斯面的的累積為零。并不一定電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零。（4）對(duì)。E = 0，則整個(gè)高斯面的的累積為零。所以電通量為零。4-4 試?yán)秒妶?chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系式分析下列問題：（1） 在電勢(shì)不變的空

6、間內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度是否為零？（2） 在電勢(shì)為零處，電場(chǎng)強(qiáng)度是否一定為零？（3） 在電場(chǎng)強(qiáng)度為零處，電勢(shì)是否一定為零？答：（1）是。當(dāng)電勢(shì)處處相等時(shí)，電勢(shì)沿任何方向的空間變化率為零，由可知，場(chǎng)強(qiáng)為零。實(shí)際例子：靜電平衡的導(dǎo)體內(nèi)。（2）否。因?yàn)殡妱?shì)為零處，電勢(shì)梯度不一定為零，所以El也不一定為零。實(shí)際例子：電偶極子連線中點(diǎn)處。（3）否。因?yàn)槿绻鸈l等于零，則電勢(shì)梯度為零，但電勢(shì)不一定為零。實(shí)際例子：兩個(gè)相同電荷連線中點(diǎn)處。4-5 如圖4-1所示，將兩個(gè)完全相同的電容器串聯(lián)起來(lái)，在與電源保持連接時(shí)，將一個(gè)電介質(zhì)板無(wú)摩擦地插入電容器C2的兩板之間，試定性地描述C1、C2上的電量、電容、電壓及電場(chǎng)強(qiáng)度的變化

7、。C1C2圖4-1答：插入電介質(zhì)板后，C2增大。C2增大致使整個(gè)電路的電容增大。由于電路中的總電壓U沒有變化，所以每個(gè)電容器所儲(chǔ)存的電量q1 = q2增加，增加的電量全部由電源提供。由于不變，當(dāng)電容器C1儲(chǔ)存的電量增加時(shí)，其兩端的電壓U1= q1/C1增大。又由于電路中的總電壓不變，故電容器C2兩端的電壓U2減小。再根據(jù)U = Ed可知，U2減小，則E2減小；U1增大，則E1增大。4-6 將一個(gè)空氣電容器充電后切斷電源，然后灌入煤油，問電容器的能量有何變化？如果在灌煤油時(shí)，電容器一直與電源相連，能量又如何變化？答：電容器灌入煤油后，電容量增大。但由于切斷了電源，電容器極板上的電量沒有改變。由可

8、知電容器的能量We會(huì)減少。減少的那部分能量轉(zhuǎn)化成煤油分子因極化而增加的內(nèi)能。如果灌煤油時(shí)，電容器一直與電源相連，由能量公式可知，C增大而U不變時(shí)，電容器的能量We增大。這時(shí)電源向電容器充電，將電源的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電容器的內(nèi)能。練習(xí)題llll+ q+ qP- q- qOx圖 4-24-1 由相距較近的等量異號(hào)電荷組成的體系稱電偶極子，生物細(xì)胞膜及土壤顆粒表面的雙電層可視為許多電偶極子的集合。因此，電偶極子是一個(gè)十分重要的物理模型。圖4-2所示的電荷體系稱電四極子，它由兩個(gè)電偶極子組合而成，其中的和均為已知，對(duì)圖4-2中的點(diǎn)(平行于正方形的一邊)，證明當(dāng)時(shí) 其中，p=ql 稱電偶極矩。解：電四極子可

9、看成兩個(gè)電偶極子的組合。設(shè)左邊和右邊兩個(gè)電偶極子在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為E左和E右，由教材例題4-1可知其中，p=ql。點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為由于上式可簡(jiǎn)化為 xPdx/dxdEdE合dE/0la圖 4-3證畢。4-2 一個(gè)均勻帶電細(xì)棒長(zhǎng)為，帶電總量為。證明，在棒的垂直平分線上離棒為處的電場(chǎng)強(qiáng)度為證明：由題設(shè)條件可知，細(xì)棒的電荷線密度為。在圖4-3中，對(duì)稱的取距離中點(diǎn)O為x處的電荷元dq ，。兩個(gè)電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和的水平分量相互抵消，在P點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為和沿豎直向上的分量之和。即于是，整個(gè)細(xì)棒在P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為積分該式，整理后可得 4-3 一個(gè)半徑為R的帶電圓盤，電荷面密度為，求：（1）圓盤軸線

10、上距盤心為x處的任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）當(dāng)R時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少?（3）當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少?drrRxPdEdE/dE 圖4-4解：（1）在半徑為R的帶電圓盤上取內(nèi)半徑為r、外半徑為r+dr的細(xì)圓環(huán)，如圖4-4所示。利用教材中例題4-2的結(jié)果可知，該細(xì)圓環(huán)上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為于是，整個(gè)圓盤上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為（2） 當(dāng)時(shí)，。此時(shí)，上式可化為即此時(shí)可將帶電圓盤看作無(wú)限大帶電平面。（3）當(dāng)時(shí)，可將帶電圓盤看作點(diǎn)電荷，此時(shí)P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為4-4 大多數(shù)生物細(xì)胞的細(xì)胞膜可以用兩個(gè)分別帶有電荷的同心球殼系統(tǒng)來(lái)模擬。在圖4-5中，設(shè)半徑為和的球殼上分別帶有電荷和，求：R1R2Q1Q

11、2IIIIII圖4-5（1）I、II 、III三個(gè)區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)；（2）若 =，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少？畫出此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線 (即 關(guān)系曲線)。從這個(gè)結(jié)果，你可以對(duì)細(xì)胞膜的電場(chǎng)強(qiáng)度分布有個(gè)概略的了解。解：（1）在區(qū)域I，做半徑為rR1的球形高斯面。因?yàn)楦咚姑鎯?nèi)無(wú)電荷，根據(jù)高斯定理可得區(qū)域I中的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1= 0在區(qū)域II，以為半徑做球形高斯面。因?yàn)榇烁咚姑鎯?nèi)的電荷為Q1，高斯定理可寫為由此可解得區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度為在區(qū)域III，做半徑rR2的球形高斯面。由于該高斯面內(nèi)的電荷為Q1+Q2，由高斯定理可解得該區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為0 rR2R1E圖4-6 E r關(guān)系曲線 E3 =（2）當(dāng) =時(shí)，

12、根據(jù)以上結(jié)果易知區(qū)域I的場(chǎng)強(qiáng)為 E1= 0 區(qū)域II的場(chǎng)強(qiáng)為 區(qū)域III的場(chǎng)強(qiáng)為E3= 0根據(jù)上述結(jié)果可畫出如圖4-6所示關(guān)系曲線。4-5 實(shí)驗(yàn)表明，在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的大氣電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直地面向下，大小約為；在離地面1.5 km高的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度方向也是垂直地面向下的，大小約為。（1）計(jì)算從地面到此高度的大氣中電荷的平均體密度；（2）若地球上的電荷全部分布在地球表面，求地球表面的電荷面密度；（3）已知地球的半徑為，地球表面的總電量為多少?H = 1.5kmE2圖4-7解：（1）由題中條件，在距離地面高度為1.5km處的大氣電場(chǎng)，地面附近的大氣電場(chǎng)為。從1.5高處至地面做圓柱形高斯面，

13、如圖4-7所示。由于圓柱形高斯面的上底面和下底面相等，設(shè)為S，則穿過(guò)此高斯面的電通量為由高斯定理得即其中，為高斯面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和。于是，高斯面內(nèi)的平均電荷體密度為 E1圖4-8S（2） 在地球表面附近做如圖4-8所示的圓柱形高斯面，高斯面的上底面S1在地球表面附近，下底面S2在地球內(nèi)部。上地面處的場(chǎng)強(qiáng)為E1，并且S1=S2S。由于地球（導(dǎo)體）內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零，設(shè)地球表面的電荷面密度為。通過(guò)該高斯面的電通量為 由高斯定理可得由此解出（3） 地球表面的總電量為負(fù)號(hào)表示地面帶負(fù)電。4-6 隨著溫度的升高，一般物質(zhì)依次表現(xiàn)為固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)。當(dāng)溫度繼續(xù)升高時(shí)，氣體中的大量分子將由于激烈碰撞而離解為電

14、子和正離子，這種主要由帶電離子組成的狀態(tài)為物質(zhì)的第四態(tài)，處于該態(tài)的物質(zhì)稱等離子體。如果氣體放電時(shí)形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布有如下關(guān)系rL圖4-9其中，為電荷體密度，為圓柱軸線上的值，a為常量，求電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解：在等離子體中取如圖4-9所示的圓柱形閉合高斯面，高斯面的半徑為r，高為L(zhǎng)。由于高斯面內(nèi)的電荷分布是不均勻的，為了求出高斯面內(nèi)的總電荷，在其中取一個(gè)半徑為，厚為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的帶電薄層，如圖4-9中陰影部分所示。該帶電薄層上所帶的電量即為于是，高斯面內(nèi)所包圍的總電量為由于穿過(guò)高斯面的電通量為 由高斯定理可寫出 將前述的q帶入，化簡(jiǎn)后可得vE+Q-Q4-7 測(cè)定土壤顆粒所帶電量的方法之一是

15、沉降法。在該法中，使土壤顆粒在已知黏滯系數(shù)h 的液體中沉降，測(cè)出其收尾速度(即最后的穩(wěn)定速度) 。然后，再通過(guò)極間電壓施加一個(gè)如圖4-10所示的靜電場(chǎng)(假定土壤顆粒帶正電荷)。調(diào)節(jié)電場(chǎng)強(qiáng)度使顆粒達(dá)到新的收尾速度，這時(shí)有下列關(guān)系成立：其中，r為土粒的半徑，q為土粒所帶電量。請(qǐng)證明這個(gè)關(guān)系。解：當(dāng)未施加電場(chǎng)時(shí)帶電土壤顆粒 圖4-10在重力作用下沉降，根據(jù)斯托克斯公式可得施加電場(chǎng)后，土壤顆粒的受力為 將以上兩式聯(lián)立求解，可得證畢。4-8 為了將混合在一起的帶負(fù)電荷的石英顆粒和帶正電荷的磷酸鹽顆粒分開，可以使之沿重力方向垂直通過(guò)一個(gè)電場(chǎng)區(qū)域來(lái)達(dá)到。如果電場(chǎng)強(qiáng)度，顆粒帶電率為，并假設(shè)顆粒進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域的初

16、速度為零。欲將石英顆粒和磷酸鹽顆粒分離100 mm以上，問顆粒通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的距離至少應(yīng)為多少?該題說(shuō)明了在農(nóng)業(yè)上很有實(shí)用價(jià)值的靜電分選技術(shù)的原理。解：正、負(fù)帶電顆粒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受水平方向的電場(chǎng)力和豎直方向的重力作用，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4-11所示。對(duì)帶正電荷的顆粒，滿足mgqEqEmg-+lh圖4-11對(duì)帶負(fù)電荷的顆粒，滿足設(shè)顆粒帶電率，質(zhì)量為的顆粒帶電為，由此可算出同理可算出于是，顆粒的水平位移為 豎直位移為 聯(lián)立上兩式消去時(shí)間t可得帶電顆粒通過(guò)電場(chǎng)距離為4-9 水分子的電偶極矩為，如果這個(gè)電偶極矩是由一對(duì)點(diǎn)電荷e引起的(e為電子電量)，那么，它們的距離是多少?如果電偶極矩的取向與強(qiáng)度為的電場(chǎng)方

17、向一致，要使這個(gè)電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場(chǎng)相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由電偶極矩的定義得（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為A，則4-10 一個(gè)細(xì)胞的膜電勢(shì)差為50mV，膜厚度為。若假定膜中場(chǎng)強(qiáng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，問電場(chǎng)強(qiáng)度為多大?當(dāng)一個(gè)鉀離子()通過(guò)該膜時(shí)需作多少功?解：依題意得 若令一個(gè)鉀離子()通過(guò)該膜時(shí)需做功A，則4-11 動(dòng)物的一些神經(jīng)纖維可視為半徑、長(zhǎng)0.1的圓柱體，其內(nèi)部的電勢(shì)要比周圍流體的電勢(shì)低0.09V，有一層薄膜將神經(jīng)纖維和這些流體隔開。存在于薄膜上的泵(一種運(yùn)輸?shù)奶胤N蛋白)可以將輸送出纖維。若已知每平方厘米薄膜每秒鐘可送出的，問 (1) 每小時(shí)有多少庫(kù)侖的電荷被送出纖

18、維? (2) 每小時(shí)必須反抗電場(chǎng)力作多少功?解：（1）已知圓柱體半徑，圓柱體長(zhǎng)度，阿伏伽德羅常數(shù)，每個(gè)電荷的電量。因此，每小時(shí)被送出神經(jīng)纖維的電荷量為（2）每小時(shí)反抗電場(chǎng)力做功AA = qU = 6.5410-30.09 = 5.8910-4( J )4-12 計(jì)算練習(xí)4-4中、區(qū)域中的電勢(shì)。解：（1）根據(jù)題4-4所得、區(qū)域中的電場(chǎng)分布，可得區(qū)域I的電勢(shì)為由此解得區(qū)域的電勢(shì)分布為區(qū)域的電勢(shì)分布為（2）若，則區(qū)域的電勢(shì)為區(qū)域的電勢(shì)為區(qū)域的電勢(shì)為4-13 一個(gè)半徑為的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為，求圓環(huán)軸線上距圓心為處的電勢(shì)。解：環(huán)上線電荷密度為，在環(huán)上取電荷元，如圖4-12所示。該電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)

19、生的電勢(shì)為圖4-12dqPxRr于是，整個(gè)帶電圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的總點(diǎn)勢(shì)即為導(dǎo)線（）金屬圓筒（）玻璃圖4-134-14 核技術(shù)應(yīng)用中常用的蓋革米勒(G-M)計(jì)數(shù)管，其外形結(jié)構(gòu)如圖4-13所示，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)用玻璃圓筒密封的共軸圓柱形電容器。設(shè)導(dǎo)線(正極)的半徑為，金屬圓筒(負(fù)極)的半徑為，正、負(fù)極之間為真空。當(dāng)兩極加上電壓時(shí)，求導(dǎo)線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度和金屬圓筒內(nèi)表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：設(shè)正極的線電荷密度為，作半徑為長(zhǎng)度為的圓柱高斯面，據(jù)高斯定理得距軸心為處的場(chǎng)強(qiáng)為：兩極間的電壓為 聯(lián)立式得令r = a得正極附近的場(chǎng)強(qiáng)為令r = R得圓筒表面附近的場(chǎng)強(qiáng)為 R1R2圖4-144-15 同軸電纜是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構(gòu)成，如圖4-14所示。設(shè)內(nèi)圓柱體的電勢(shì)為，半徑為；外圓柱體的電勢(shì)為，外圓柱體的內(nèi)半徑為，兩圓柱體之間為空氣。求兩個(gè)圓柱體的空隙中離軸為處()的電勢(shì)。解：（1）設(shè)內(nèi)圓柱體單位長(zhǎng)度的電量為。在內(nèi)外圓柱體之間做半徑()，長(zhǎng)度為l的圓柱閉合高斯面，應(yīng)用高