專題圓錐曲線

1、專題圓錐曲線1 基礎(chǔ)知識(shí)第一部分 橢圓1. 橢圓方程的第一定義：2.橢圓方程.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：. 一般方程：.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）.3.性質(zhì)：頂點(diǎn)：或.軸：對(duì)稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長. 焦點(diǎn)：或.焦距：.準(zhǔn)線：或.離心率：.焦點(diǎn)半徑：i. 設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出.通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑. ；坐標(biāo)：，和4.直線與橢圓位置關(guān)系-抓住代數(shù)與幾何圖形的緊密聯(lián)系將直線方程與橢圓方程

2、聯(lián)立的方程組解的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)。故用判別式法判別相交等價(jià)于（2個(gè)交點(diǎn)）相切等價(jià)于（一個(gè)交點(diǎn)）相離等價(jià)于（無交點(diǎn)）5.共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.6.共焦點(diǎn)的橢圓系的方程：或6.若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.第二部分雙曲線方程.1. 雙曲線的第一定義：2. 雙曲線方程雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：. 焦點(diǎn)在軸上一般方程： .參數(shù)方程：焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在軸上 .3.性質(zhì)i. 焦點(diǎn)在x軸上： 頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：

3、.焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線方程：. 漸近線方程：或，軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. 離心率. 準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑. 參數(shù)關(guān)系. 焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)） “長加短減”原則： 構(gòu)成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)） , 4.等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.5.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.6.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為;如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲

4、線方程可設(shè)為.7. 共焦點(diǎn)的雙曲線系方程 或 8.過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系：抓住代數(shù)與幾何圖形的緊密聯(lián)系；抓直線與漸近線的位置關(guān)系區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.相交等價(jià)于或直線與漸近線平行（1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn)）相切等價(jià)于（一個(gè)交點(diǎn)）相離等價(jià)于（無交點(diǎn)）過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.2）若直

5、線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為2個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).第三部分拋物線一、基礎(chǔ)知識(shí)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)（0，0）離心率焦半徑焦點(diǎn)弦通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦 通徑：2.拋物線的參數(shù)方程：（t為參數(shù)）3.直線與拋物線的位置關(guān)系相交等價(jià)于或直線與對(duì)稱軸平行（1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn)）相切等價(jià)于（一個(gè)交點(diǎn)）相離等價(jià)于（無交點(diǎn)）4.過拋物線（）焦點(diǎn)的直線AB，設(shè)，弦AB所在直線的傾斜角為，則有下列性質(zhì)：；， 以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)所形成的張角為 第四部分直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線有圓錐曲線的位置關(guān)系問題是解析幾何中的一

6、類重要問題，它是我們解決解析幾何其他問題的基礎(chǔ)。我們必須熟悉直線與三種圓錐曲線的位置關(guān)系，熟練掌握直線和圓錐曲線相交所所產(chǎn)生的有關(guān)弦長、弦的中點(diǎn)以及垂直等基本問題的基本解法。特別要重視判別式的作用，力爭準(zhǔn)確地解決問題。在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進(jìn)行判斷.但對(duì)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，不能使用判別式，為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線，通過圖形求解. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦

7、長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“ 點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.一、幾種常見的題型:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷：從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。從代數(shù)方法即解方程組角度。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的直線與曲線的交點(diǎn)問題弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式（點(diǎn)差法）-注意應(yīng)用判別式。（點(diǎn)差法）焦點(diǎn)弦問題：弦長問題：|AB|=。 |AB|=焦點(diǎn)三角形問題（正弦定理、余弦定理、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、重要不等式、圓錐曲線定義）曲線上存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

8、的問題最值、范圍問題二、常用相關(guān)辦法代數(shù)法（判別式法）（斜率的存在性討論）； 設(shè)而不求法（韋達(dá)定理）點(diǎn)差法；三、數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化化歸思想 分類討論思想 分析與綜合能力良好的運(yùn)算能力 邏輯思維能力與邏輯推理能力第五部分軌跡與軌跡方程問題【要求】：掌握常見的軌跡求解方法，了解曲線與方程的概念（純粹性與完備性）【能力】：能根據(jù)所給條件合理選擇求軌跡（軌跡方程）的方法 良好的運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化能力能根據(jù)所求得的方程討論曲線的形狀及特征.求曲線方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn) 找關(guān)系 列方程 化簡 證明（滿足定義的純粹性和完備性）.求軌跡方程的常用方法：定義法直接法待定系數(shù)法相關(guān)點(diǎn)代換法參數(shù)法交軌法點(diǎn)

9、差法（設(shè)而不求）幾何法.注意之處：求出方程后忽視或的范圍（即在最后結(jié)果中忘記了挖掉或補(bǔ)上某些條件）確定依據(jù)有：已知條件確定 判別式確定 數(shù)形結(jié)合確定 參數(shù)本身的有界性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.合理建系；搭建代數(shù)和幾何的直接橋梁，體現(xiàn)數(shù)與形的地位和作用（即點(diǎn)是如何產(chǎn)生的）第六部分圓錐曲線的綜合問題知識(shí)點(diǎn)圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問題、最值、范圍問題是圓錐曲線的綜合問題，他是解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系。【常見思維方法及注意點(diǎn)】1. 圓錐曲線中定點(diǎn)、定值

10、問題有兩種切入手法： 從特殊點(diǎn)入手，求出定點(diǎn)（定值），在證明它與變量無關(guān) 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）2. 緊密結(jié)合曲線的幾何特征，將幾何特征化為數(shù)量關(guān)系（方程、函數(shù)等），再結(jié)合代數(shù)、三角知識(shí)解答，要重視函數(shù)與方程思想，等價(jià)化歸思想的應(yīng)用；3. 對(duì)與平面向量綜合的問題，常常從向量的坐標(biāo)關(guān)系（定比分點(diǎn)）構(gòu)建根與系數(shù)關(guān)系從而建立方程組求解；如：可得即得4. 對(duì)于求曲線方程中的范圍問題，應(yīng)想辦法構(gòu)造不等式求解。 應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件中已知范圍； 曲線的幾何性質(zhì)（曲線范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系、離心率范圍、的大小關(guān)系等）及局限性 點(diǎn)在曲線外（內(nèi)）產(chǎn)生不等式 構(gòu)造三角形利用兩邊之和

11、大于第三邊，兩邊之差小于第三邊產(chǎn)生不等式 聯(lián)立直線與曲線與方程由判別式法產(chǎn)生不等式 放縮法產(chǎn)生不等式； 重要不等式產(chǎn)生不等式5. 對(duì)于圓錐曲線中的最值問題，一般應(yīng)線建立目標(biāo)函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最之問題6. 存在性、探索性問題（反證法或假設(shè)存在驗(yàn)證法）應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 存在性問題，先假設(shè)存在，推出滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；否則，不存在； 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論； 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)先假設(shè)成立，再推出條件； 當(dāng)條件和結(jié)論都不知時(shí)，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，思維開放，采用另外途徑。7. 用圓錐曲線解實(shí)際問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)模型，然后利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)求解2

12、 重點(diǎn)點(diǎn)撥求圓錐曲線的方程例2：已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為:，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得故所有橢圓方程例3：過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2

13、y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),，由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1

14、+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線，則，所以所求的橢圓方程為：例4：如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程.:解：以O(shè)為原點(diǎn)，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e

15、2=，得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點(diǎn)P分所成的比=2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 又由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.例5：過橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存

16、在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由。:解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2)切線PA：，PB：P點(diǎn)在切線PA、PB上，直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16橢圓C方程： （注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足PAPB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| 又P點(diǎn)在橢圓C上 由知xab0 a2 b20(1)當(dāng)a22b20，即ab時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引

17、兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a22b20，即ba0設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，1)坐標(biāo)代入，化簡得：4m=3k21故m、k滿足，消去k2得：m24m0解得：m4又4m=3k211 m 故m. 3 當(dāng)堂檢測【求圓錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，則m等于( )A.3B.3C.1D.12中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若

18、過點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為_.4已知圓過點(diǎn)P(4，2)、Q(1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_.三、解答題5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長. 7已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為