高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線 2.3 面與平面的截面 2.4 面截圓錐面學(xué)案 北師大版選修

1、2.3 面與平面的截面2.4 面截圓錐面課標(biāo)解讀1.了解柱面、旋轉(zhuǎn)面、圓錐面的形成過程2.了解平面截圓柱面所得交線為圓或橢圓3.了解平面截對(duì)頂圓錐面所得交線為圓、橢圓、雙曲線和拋物線.1柱面與平面的截面(1)柱面、旋轉(zhuǎn)面圓柱面 如圖231所示，圓柱面可以看成是一個(gè)矩形ABCD以一邊CD所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周后AB邊所形成的曲面圖231旋轉(zhuǎn)面如圖231所示，平面上一條曲線C繞著一條直線l旋轉(zhuǎn)一周后所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面(2)垂直截面用垂直于軸的平面截圓柱面，所得的交線為一個(gè)圓(3)一般截面當(dāng)截面與圓柱面的軸不垂直時(shí)，所得交線為橢圓2平面截圓錐面(1)圓錐面取直線l為軸，直線l與l相交于點(diǎn)O，其

2、夾角為(090)，l繞l旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面(2)垂直截面當(dāng)截面與圓錐面的軸垂直時(shí)，所得的交線是一個(gè)圓(3)一般截面定理：在空間，直線l與l相交于點(diǎn)O，其夾角為，l繞l旋轉(zhuǎn)一周得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為，則當(dāng)時(shí)，平面與圓錐面的交線為橢圓；當(dāng)時(shí)，平面與圓錐面的交線為拋物線；當(dāng)時(shí)，平面與圓錐面的交線為雙曲線1平面截圓柱面，與圓柱面的軸的夾角變化，所截出的橢圓有什么變化？【提示】變化不影響橢圓的短軸，越小，長軸越長，橢圓越扁，離心率越大2試研究以過拋物線的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系【提示】如圖，弦AB過焦點(diǎn)F，設(shè)其中點(diǎn)為P，

3、A、B、P在拋物線準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、P，則PP為梯形AABB的中位線，PP(AABB)，又由拋物線定義可知，AABBAFBFAB，以弦AB為直徑的圓與l相切3若平面與圓柱面軸的夾角為，圓柱面的半徑為r，則平面截圓柱面所得的橢圓的長軸長2a，短軸長2b，離心率e的值如何用、r表示？【提示】由兩焦球球心距離等于截得橢圓的長軸長，故2a，橢圓的短軸長2b2r，離心率ecos .平面與圓柱面交線性質(zhì)的應(yīng)用圓柱的底面半徑為5，高為5，若一平行于軸的平面截圓柱得一正方形，求軸到截面的距離【思路探究】將題目中給出的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系求解【自主解答】如圖所示，ABCD為邊長為5的正方形，連接OC、O

4、D，OCD為等邊三角形設(shè)CD的中點(diǎn)為E，連接OE，則OECD，且OE，又AD上底面，ADOE，故OE平面ABCD，故OE為軸到截面的距離，軸到截面的距離為.1解答本題時(shí)，應(yīng)根據(jù)線面關(guān)系作出線面距2當(dāng)圓柱面的截面平行于軸或垂直于軸時(shí)，利用點(diǎn)、線、面關(guān)系可解決圖232如圖232所示，圓柱面的母線長為2 cm，點(diǎn)O，O分別是上、下底面的圓心若OAOB，OA1 cm.求：(1)OO與AB所成的角的正切值；(2)過AB與OO平行的截面面積；(3)O到截面的距離【解】(1)設(shè)過A的母線為AA，則OOAA，OOAA是矩形易知OBA是等腰直角三角形，AB.又AA2，OO與AB所成的角為BAA，tan BAA.

5、(2)所求截面為矩形AABB，面積等于2 cm2.(3)O到截面的距離即OO到截面的距離，也是O到截面的距離為 cm.平面與圓錐面交線性質(zhì)的應(yīng)用圖233如圖233所示，AB、CD是圓錐面的正截面(垂直于軸的截面)上互相垂直的兩條直線，過CD和母線VB的中點(diǎn)E作一截面已知圓錐側(cè)面展開圖扇形的中心角為，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說明截線是什么曲線【思路探究】求圓錐頂角求VOE結(jié)論：拋物線【自主解答】設(shè)O的半徑為R，母線VBl，則圓錐側(cè)面展開圖的中心角為，sinBVO.圓錐的母線與軸的夾角BVO.O、E分別是AB、VB的中點(diǎn)，OEVA.VOEAVOBVO，VEO，即VEOE.又ABCD，V

6、OCD，CD平面VAB.VE平面VAB，VECD.又OECDO，VE平面CDE，OE是VO在平面CDE上的射影VOE是截面與軸線的夾角，截面軸線夾角大小為.由圓錐的半頂角與截面與軸線的夾角相等，知截面CDE與圓錐面的截線為一拋物線1解答本題的關(guān)鍵是求出截面與軸的夾角以及母線與軸的夾角2判斷平面與圓錐面交線形狀的方法(1)求圓錐面的母線與軸線的夾角，截面與軸的夾角；(2)判斷與的大小關(guān)系；(3)根據(jù)定理判斷截線是什么曲線圖234如圖234所示，平面ABC是圓錐面的正截面，PAB是圓錐的軸截面，已知APC60，BPC90，PA4.(1)求二面角APCB的余弦值；(2)求正截面圓圓心O到平面PAC的

7、距離【解】(1)APC60，APC為等邊三角形如圖所示，分別取PC，BC的中點(diǎn)D，E，連接AD，DE，則ADPC，DEPB.又PBPC，DEPC.故ADE為二面角APCB的平面角連接AE，在RtACE中，求得AE224.又ADPA2，DEPB2，在ADE中，由余弦定理，得cosADE.(2)取AC的中點(diǎn)F，連接PF，OF，則AC平面POF，從而平面PAC平面POF.過O點(diǎn)作OHPF，垂足為H，則OH平面PAC，故OH的長為O點(diǎn)到平面PAC的距離在RtACB中，ACPA4，BCPB4，從而AB4，OP2.在RtPOF中，OFBC2，OP2，PFPA2，由面積關(guān)系，得OH.即O點(diǎn)到平面PAC的距離

8、為.(教材第39頁練習(xí)題23B組第1題)在教材第38頁圖218中，設(shè)圓KK所在的平面為，平面與的交線為直線m，試證明：橢圓上任意一點(diǎn)P到F1和直線m的距離之比為一個(gè)常數(shù)(記為e)，且0e1.(2013沈陽質(zhì)檢)如圖235，已知兩焦點(diǎn)的距離F1F22c，兩端點(diǎn)G1G22a.求證：l1與l2之間的距離為.圖235【命題意圖】本題考查平面與圓柱面的交線及橢圓的定義與離心率【證明】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P，過P作PQ1l1于Q1，過P作PQ2l2于Q2.e，PF1PQ1，PF2PQ2.由橢圓定義PF1PF22a，PQ1PQ22a.PQ1PQ2，即l1與l2之間的距離為.1一個(gè)平面和圓柱面的軸成角(090)，

9、則同時(shí)與圓柱面和該平面都相切的球的個(gè)數(shù)為()A0B1C2 D由的不同而定【解析】由焦球的定義知，符合定義的球有2個(gè)【答案】C2用一個(gè)過圓錐面頂點(diǎn)的平面去截圓錐面，則交線為()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D兩條相交直線【解析】所得交線為圓錐面的兩條母線【答案】D3圓錐面的母線與軸線成角，過頂點(diǎn)的平面和軸線成角，且與圓錐面的交線是橢圓，則和的大小關(guān)系為_【解析】由平面截圓錐面的定理知.【答案】4在圓錐的內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個(gè)位于平面的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面和圓錐面均相切，則兩切點(diǎn)是所得圓錐曲線的_【解析】根據(jù)焦球的定義知，兩切點(diǎn)是所得圓錐曲線的焦點(diǎn)【答案】?jī)山裹c(diǎn)一、選擇題1

10、用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱面，其交線是()A圓B橢圓C兩條平行線 D以上均可能【解析】當(dāng)平面垂直于圓柱面的軸時(shí)，交線為圓；當(dāng)平面與圓柱面的軸平行時(shí)，交線為兩條平行線，當(dāng)平面與圓柱面的軸不平行也不垂直時(shí)，交線為橢圓，故選D.【答案】D2一個(gè)圓錐軸截面的頂角為120，母線長為1，過頂點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面面積為()A. B.C. D.【解析】設(shè)截面兩母線的夾角為，則0120，當(dāng)90時(shí)，截面面積S最大，此時(shí)S11sin 90.【答案】A3已知半徑為2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45角，則截線橢圓的焦距為()A2 B2C4 D4【解析】由2a4，a2，b2，c2，故焦距為4.【答案】C4已知圓錐面

11、的軸截面為等腰直角三角形，用一個(gè)與軸線成30角的不過圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的截線的離心率為()A. B.C. D.【解析】圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以母線與軸線的夾角45；又截面與軸線的夾角30，即，截線是雙曲線，其離心率e.【答案】A二、填空題5已知圓錐面的母線與軸成44角，用一個(gè)與軸線成44角的不過圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的交線是_【解析】根據(jù)平面截圓錐面定理知，交線為拋物線【答案】拋物線6一平面截半徑為3的圓柱面得橢圓，若橢圓的Dandelin雙球的球心距離為10，則截面與圓柱面母線夾角的余弦值為_【解析】Dandelin雙球球心距離即為橢圓的長軸長，2a10

12、，即a5，又橢圓短軸長2b6，b3.c4.故離心率e，cos ，故截面與母線所成角的余弦值為.【答案】三、解答題7已知圓柱面軸線上一點(diǎn)O到圓柱的同一條母線上兩點(diǎn)A、B的距離分別為2和3，且AOB45.求圓柱面內(nèi)切球的半徑【解】右圖所示為圓柱面的軸截面依題意，OA2，OB3，AOB45，AB2OA2OB22OAOBcos 4541822310，AB.設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則SAOBABrr.又SOABOAOBsinAOB23sin 453，r3，r，即圓柱面內(nèi)切球半徑為.8已知圓錐面S，母線與軸線所成的角為45，在軸線上取一點(diǎn)C，使SC5，過點(diǎn)C作一平面與軸線的夾角為30，所截得的曲線是什么樣的圖

13、形？求出Dandelin雙球的半徑【解】由已知45，30.，截線是雙曲線設(shè)Dandelin雙球中其中一球的半徑為R，球心為O.則SOR，OC2R，SCSOOC(2)R.又SC5，R.設(shè)Dandelin雙球另一球的半徑為R，球心為O.則OO(RR)又截面與軸線的夾角為30，RROO(RR)，R(32)R，即Dandelin雙球半徑分別為，.圖2369在陽光照射下，地面上籃球的影子是個(gè)橢圓，如圖236所示，求證：籃球與地面的接觸點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)【證明】如圖，作籃球與影子的縱截面圖，M為球心，D為籃球與地面的接觸點(diǎn)，易知MDA1A2，MDb.因?yàn)楣饩€EA1FA2，且EA1，F(xiàn)A2，A1A2均與圓M相切，所以MA1DMA2D90，所以A1MA290，于是MOA1OA2Oa.于是ODc，所以D是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)10.如圖，圓柱被