2008年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案

1、賽才網(wǎng)賽馬不相馬，敢為天下先！ /bbs 以賽識才、以賽育才！中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2008年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填都得0分）1已知實數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因為，0，由已知條件得， ，所以 72把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m

2、，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉知，滿足條件的有17對. 故.3有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條（第3題）【答】（B）解：如圖，大圓周上有4個不同的點A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點E，F(xiàn)中，至少有一個不是四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A

3、，B，C，D的兩兩連線從而這6個點可以確定的直線不少于8條當這6個點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少有8條4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點為圓上不同于點A的一點，且，的延長線交圓于點，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如圖，連接OE，OA，OB 設(shè)，則 又因為，（第4題）所以，于是5將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種【答】（D）解：設(shè)是1，2，3

4、，4，5的一個滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或7小王沿街勻速行走，

5、發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是 分鐘【答】4解：設(shè)18路公交車的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘（第8題5數(shù)，段成比例，所以）8如圖，在中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點， AD是BAC 的平分線，MFAD，則FC的長為 【答】9解：如圖，設(shè)點N是AC的中點，連接MN，則

6、MNAB又，所以 ，（第8題答案5數(shù)，段成比例，所以）所以 因此 99ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點D，E，則DE的長為 【答】解：如圖，設(shè)ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以 （第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）（第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）因為ADEABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此（第9題答案5數(shù)，段成比例，所以），所以 ，故 10關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)

7、，則，同上可知，a，b都是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得OAB的面積值等于（1） 用b表示k；（2） 求OAB面積的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B兩點的坐標分別為，于是，OAB的面積為由題意，有，解得 ， 5分（2）由（1）知，當且僅當時，有，即當，時，不等式中的等號成立 所以，OAB面積的最小值為 15分12

8、已知為正整數(shù)，關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根為，關(guān)于y的方程的兩個實數(shù)根為，且滿足求的最小值解：關(guān)于x的方程的根為，關(guān)于y的方程的根為設(shè)，則當時，有，不滿足條件；當時，有，不滿足條件；當時，得；當時，得由于，于是有 10分又由于為正整數(shù)，得知t是有理數(shù)，從而t是整數(shù)由，得，即b取最小值為=所以，b的最小值為62997 15分13是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論解：存在滿足條件的三角形 當ABC的三邊長分別為，時， 5分如圖，當時，延長BA至點D，使連接CD，則為等腰三角形（第13（A）題答案5數(shù)，段成比例，所以）因為為的一個外角，所以由已知

9、，所以所以為等腰三角形又為與的一個公共角，有，于是， 即 ，所以 而，所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形 15分說明：滿足條件的三角形是唯一的若，可得有如下三種情形：（i）當時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，；（）當時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得 ，有，此時不能構(gòu)成三角形；（）當時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即 ，此方程無整數(shù)解 所以，三邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件14從1，2，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值解：當n4時，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除 5分當n5時，設(shè)是1，2，9中的5個不同的數(shù)若其中任意若干個數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一個數(shù)是5若中含1，則不含9于是不含4（415