高中數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積與體積》學(xué)案4 蘇教版必修

1、空間幾何體的表面積和體積知識要點精析一 學(xué)習(xí)目標(biāo) 根據(jù)新的課程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”。那么，對于立體幾何初步這一章的第3節(jié)空間幾何體的表面積和體積來說，在學(xué)習(xí)的過程中，怎樣準(zhǔn)確地把握教與學(xué)的尺度呢？本章內(nèi)容是義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，重點是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力。為了符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的興趣，增進學(xué)生對幾何本質(zhì)的理解，本章在內(nèi)容的選編及內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，與以往相比有較大的變化。首先，通過觀察和操作，使學(xué)生了解空間簡單幾何體（柱、錐、臺、球）的結(jié)構(gòu)特征，以此作為發(fā)展空間想象能力的基本模型；然后，通過歸納和分析，使學(xué)生進一步認(rèn)

2、識和理解空間的點、線、面之間的位置關(guān)系，作為思維辨證的基礎(chǔ)。由于幾何圖形的面積和體積的計算需要應(yīng)用垂直的概念，因而這一部分內(nèi)容放入本章最后一節(jié)。本章內(nèi)容的設(shè)計遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，強調(diào)借助實物模型，通過整體觀察、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地揭示空間圖形的本質(zhì)；重視合情推理和邏輯推理的結(jié)合，注意適度形式化；倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想象能力。二 知識點撥空間幾何體的表面積和體積這一節(jié)，新教材沒有像以往那樣重在介紹公式的推導(dǎo)過程，而是側(cè)重介紹了公式推導(dǎo)的思想方法，采用了“閱讀”的形式介紹了祖恒原理，讓學(xué)生

3、體會祖恒原理和積分思想。為了增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教材還通過“問題與建?！睓谀拷榻B了兩種體積計算的近似方法，既有利于提高學(xué)生的建模能力，又為學(xué)生解決生產(chǎn)、實踐中的實際問題提供了知識基礎(chǔ)和基本思想。教材內(nèi)容突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等探索、研究空間幾何圖形的過程，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、符號化與形式化思想、化歸思想等，涉及的一般科學(xué)方法主要有觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象等。本節(jié)內(nèi)容涉及到以下一些面積與體積公式：，雖然以上公式較多，但對于大多數(shù)公式學(xué)生并不感到陌生，教學(xué)中只需要讓學(xué)生初步了解公式推導(dǎo)的方法，體會祖恒原理和積分思想。另外，對展圖方法與割補法，也

4、要在解題的過程中加以滲透。課本中例2介紹了把圓柱沿母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思路；對于課本的例1，應(yīng)重點分析六角螺帽毛坯的結(jié)構(gòu)特征（正六棱柱挖去一個圓柱），滲透“割”與“補”的思想和方法。三 典例精析除了課本中給出的典型例題外，還可適當(dāng)補充一些經(jīng)典的事例，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識立體幾何，學(xué)習(xí)好立體幾何。例1正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，P是面對角線BC上一動點，Q是底面ABVF上一動點，則D1P+PQ的最小值等于 _。圖1圖2分析：如圖2，由題意可知：D1P+PQ取最小值時，點Q一定是P在底面上的射影。因為D1P與PQ分別在兩個平面內(nèi)，所以把BC1C沿BC1翻轉(zhuǎn)90，使BC1

5、C與對角面ABC1D1在同一平面內(nèi)，因為PQBC，所以當(dāng)D1、P、Q三點共線且與BC垂直時，D1P+PQ最小，即為D1Q1=圖3點評：利用“展圖法”，成功地將立體幾何問題化歸成了平面幾何問題，從而使問題得到了很好的解決。例2 如圖3，圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18，從AB中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點。 （1）求繩子的最短長度； （2）求繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離。分析 （1）要求繩子AM繞圓臺一周的最短長度，則可沿AB將圓臺的曲面展開，得扇環(huán)面（即將曲面問題轉(zhuǎn)化為平面問題），然后求出扇環(huán)面上AM間的距離，AM=，即繩子的最短長度為21。（2）要研究此時上底

6、圓周上的點到繩子的最短距離，則需將扇環(huán)補充成扇形，這樣將BB上的點到AM的最短距離問題轉(zhuǎn)化為點S到AM的最短距離（因為點S到BB上的點的距離等于半徑SB）。故只需求出S到AM的距離SQ，再減去半徑SP即可。即上底圓周上的點到繩子最短距離PQ=SQSP=SQSB=。OABCD點評：此題用到將圓臺“補成”圓錐再展開進行研究，這種割、補、拼湊的思想，是重要的數(shù)學(xué)思維方法。例3一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是_。分析：將正四面體ABCD“嵌入”到正方體中，使正四面體的六條棱分別是正方體六個面的面對角線（如圖4），則球O與正四面體的六條棱都相切等價于球O與正方體的六個面都相切。易知正方體棱長為，所以球半徑為，故 圖4球的體積為 。ABSCMN例4 如圖5，在正三棱錐S-ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點，并且MNAM，若側(cè)棱長SA=，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為A B C 32 D 分析：由條件中的MNAM，可以推得。 圖5又由正三棱錐S-ABC中對棱互相垂直，得。所以SB平面SAC，從而該正三棱錐的三個頂角都是直角。將該三棱錐補成正方體，使S成為正方體的一個頂點，則正三棱錐S-ABC的外接球也即是正