大連交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)(E)1應(yīng)試指南(第1-7章)

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)知識(shí)要點(diǎn)：1、 會(huì)求給定函數(shù)的自然定義域（用導(dǎo)數(shù)研究奇偶性凹凸性的時(shí)候要用到）2、 會(huì)求反函數(shù)（第二換元積分法要用到）3、 會(huì)判斷一個(gè)函數(shù)是否有界，掌握奇偶性和單調(diào)性的基本概念（這三個(gè)性質(zhì)很多地方要用到）4、 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義（極限研究的是當(dāng)自變量發(fā)生某種變化時(shí)，函數(shù)值是否無限接近于某個(gè)確定的實(shí)數(shù)值）5、 會(huì)求左右極限（判斷間斷點(diǎn)和求左右導(dǎo)數(shù)的時(shí)候要用到）6、 有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小7、 無窮小和無窮大之間互為倒數(shù)8、 掌握高階，同階，等價(jià)，階無窮小的基本概念9、 幾個(gè)重要的等價(jià)無窮?。寒?dāng)時(shí)，如果，則：，10、 極限的四則運(yùn)算法則11、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)

2、算法則：如果關(guān)于變量連續(xù)，則：12、準(zhǔn)則I（夾逼準(zhǔn)則）：如果數(shù)列及滿足下列條件: （1）; （2）那末數(shù)列的極限存在, 且12、 單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限13、 兩個(gè)重要極限：（1）如果時(shí)，則： （2）如果時(shí)，則：14、 當(dāng)求極限的函數(shù)是幾個(gè)無窮小的積和商時(shí)可以進(jìn)行等價(jià)無窮小替換，和差的時(shí)候不可以15、 會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)16、 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類：第一類間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)，可去間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)；會(huì)判斷是哪種類型的間斷點(diǎn)17、 連續(xù)函數(shù)之間的和差積商都是連續(xù)的，兩連續(xù)函數(shù)的復(fù)合也是連續(xù)的，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的18

3、、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大最小值定理，有界性定理，零點(diǎn)定理，介值定理19、 會(huì)求函數(shù)的水平漸近線和垂直漸近線注意事項(xiàng)：1、 討論函數(shù)連續(xù)性的時(shí)候，對(duì)于分段函數(shù)，若在每個(gè)小的開區(qū)間上為初等函數(shù)，則在此開區(qū)間上必連續(xù)；而在分隔點(diǎn)處，先求在分隔點(diǎn)處的左右極限然后與函數(shù)值進(jìn)行比較，如間斷必須判斷出是哪種間斷點(diǎn)2、 冪指函數(shù)求極限： 3、 做題的時(shí)候一定要把求極限符號(hào)下自變量的變化趨勢(shì)給寫出來，我不寫是為了表示兩種不同的變化趨勢(shì)都適用，你做具體題的時(shí)候不可以不寫，推導(dǎo)的過程中極限符號(hào)不可落掉，避免出現(xiàn)極限等于一個(gè)函數(shù)的情形第二章 導(dǎo)數(shù)與微分知識(shí)要點(diǎn)：1、掌握導(dǎo)數(shù)的定義：2、函數(shù)在一點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)的定

4、義3、函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等函數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)4、函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)圖像過點(diǎn)切線的斜率5、求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則6、會(huì)求函數(shù)過某點(diǎn)的切線方程和法線方程7、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：8、反函數(shù)求導(dǎo)法則：9、導(dǎo)數(shù)表里的公式都要記住10、掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)求隱函數(shù)的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)11、掌握參數(shù)方程求導(dǎo)公式：12、會(huì)求函數(shù)的微分：，函數(shù)在一點(diǎn)處的微分：注意事項(xiàng)：1、 討論函數(shù)可導(dǎo)性的時(shí)候，對(duì)于分段函數(shù)，如果在每個(gè)開區(qū)間上是初等函數(shù)則在開區(qū)間內(nèi)必可導(dǎo)，而在分隔點(diǎn)處要分別求左右導(dǎo)數(shù)，如果左右導(dǎo)數(shù)存在且相等則可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)2、 左導(dǎo)數(shù)不等于左極限：，也不可以對(duì)分隔點(diǎn)左側(cè)函數(shù)先求導(dǎo)函數(shù)再取極限得

5、到3、 應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求在給定點(diǎn)處一、二階導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，不僅要在結(jié)果中把橫坐標(biāo)的值代入，相應(yīng)縱坐標(biāo)的值也要代入4、 冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可以用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法也可以： ，但不可以令，然后化成然后用冪函數(shù)求導(dǎo)公式，因?yàn)檫@里的不是常數(shù)，這樣的做法從過程到結(jié)果都是極其錯(cuò)誤的5、 求切線方程和法線方程的時(shí)候，要先判斷給出的點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，如果在就是切點(diǎn)，如果不在要先把切點(diǎn)設(shè)出來第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)：1、 會(huì)用羅爾定理和拉格朗日定理來證明一些簡單的結(jié)論，理解拉格朗日中值定理的證明過程，對(duì)柯西中值定理的內(nèi)容有一定的了解2、 導(dǎo)函數(shù)為0的函數(shù)必為常值函數(shù)3、 會(huì)用洛比達(dá)法則來求未定式的極限：，

6、 4、 掌握一些化簡后可以間接利用洛比達(dá)法則來計(jì)算的函數(shù)的極限5、 掌握利用函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，會(huì)求極值點(diǎn)與極值6、 掌握利用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷函數(shù)凹凸性的一般步驟，會(huì)求拐點(diǎn)7、 會(huì)求函數(shù)的最值點(diǎn)與最值8、 如果函數(shù)只有有限個(gè)駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)，則極值點(diǎn)不是駐點(diǎn)就一定是不可導(dǎo)點(diǎn)；最值點(diǎn)不是極值點(diǎn)就一定是端點(diǎn)。所以求極值的時(shí)候要把所有不可導(dǎo)的點(diǎn)與駐點(diǎn)都找出來，而在求最值的時(shí)候要把所有不可導(dǎo)點(diǎn)，駐點(diǎn)以及端點(diǎn)都找出來9、 會(huì)用函數(shù)單調(diào)性來證明某些不等式注意事項(xiàng)：1、 羅爾定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)，端點(diǎn)處函數(shù)值相同，拉格朗日中值定理有兩個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可

7、導(dǎo)；當(dāng)用上述兩個(gè)定理來做證明題時(shí)，注意把相應(yīng)的條件寫上去2、 不論是討論單調(diào)性還是討論凹凸性，都是在每個(gè)小的開區(qū)間上討論一階導(dǎo)或二階導(dǎo)的符號(hào)，在相應(yīng)“閉區(qū)間”（只要小區(qū)間端點(diǎn)在定義域里就一定要帶上）上得到單調(diào)性和凹凸性；不要總是拿開區(qū)間說事3、 極值點(diǎn)，最值點(diǎn)都是實(shí)數(shù)。而拐點(diǎn)是凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)（左右兩側(cè)二階導(dǎo)符號(hào)發(fā)生變化）不是單調(diào)性發(fā)生變化的點(diǎn)，拐點(diǎn)是圖像上的一個(gè)點(diǎn)，既有橫坐標(biāo)又有縱坐標(biāo)4、 用洛必達(dá)法則求極限的時(shí)候，只要是未定式，我們總是先用洛比達(dá)法則直到求出最后結(jié)果，如果最后的結(jié)果是個(gè)有限的實(shí)數(shù)或者為無窮大，則中間的推導(dǎo)過程是成立的，而如果最后發(fā)現(xiàn)極限不存在且也不是無窮大，則中間的過程是

8、錯(cuò)誤的，需要用其他的方法來計(jì)算這個(gè)極限5、 找出函數(shù)所有不可導(dǎo)點(diǎn)，一般在定義域里找導(dǎo)函數(shù)沒有意義的點(diǎn)，同理找函數(shù)所有二階導(dǎo)不存在的點(diǎn)，通常是找二階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式?jīng)]有意義的點(diǎn)6、 如果題目里限定了自變量的取值范圍，即給出了定義域的時(shí)候，就不要跑出定義域在函數(shù)沒有意義的區(qū)間上討論單調(diào)性和凹凸性第四章 不定積分知識(shí)要點(diǎn)：1、 理解的不定積分指的是函數(shù)的所有原函數(shù)，而所有原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)，所以如果已知是的一個(gè)原函數(shù)，則2、 不定積分的性質(zhì)：一、多個(gè)（只要有限個(gè)都成立）函數(shù)之和的不定積分等于不定積分之和。二、3、 第一換元積分法：如果已知是的一個(gè)原函數(shù)，則：4、 第一換元積分法常見的幾種類型：5、

9、 形式的不定積分，均為偶數(shù)時(shí)，考慮用倍角公式，否則誰奇就拆誰6、 （）形式的不定積分，不是令（）為就是令（）為7、 第二換元積分法：如果單調(diào)可導(dǎo)，則：8、 被積函數(shù)中如果含有，則令，注意此時(shí)9、 被積函數(shù)中如果含有 或時(shí)，令或，注意這里是在用第二換元積分法，要先反解出關(guān)于的函數(shù)10、 掌握分部積分公式： 11、 對(duì)于有理函數(shù)的不定積分：，當(dāng)被積函數(shù)為假分式的時(shí)候，先把被積函數(shù)用多項(xiàng)式除法分解為一個(gè)多項(xiàng)式和真分式之和，然后再求不定積分12、 對(duì)于真分式的不定積分：一、二、 對(duì)于第一個(gè)不定積分可由第一換元法解出；而對(duì)于第二個(gè)不定積分，當(dāng)分母判別式大于零時(shí)，此時(shí)分母可因式分解，用真分式分解可解。當(dāng)分

10、母判別式等于零時(shí)，分母為完全平方項(xiàng)，令分母的一次因式為中間變量用第一換元積分法轉(zhuǎn)化為的不定積分進(jìn)而得解。當(dāng)分母判別式小于零時(shí)，分母為完全平方項(xiàng)加上一個(gè)正數(shù)，可轉(zhuǎn)化為的不定積分進(jìn)而得解；注意事項(xiàng)：1、表示的是所有原函數(shù)，中間過程和最后結(jié)果都不要忘了，當(dāng)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的不定積分時(shí)，如果在計(jì)算過程中前面算某個(gè)不定積分時(shí)已經(jīng)使用了代表任意常數(shù)，后面使用的其他任意常數(shù)要和區(qū)別一下，不要使用同一個(gè)符號(hào)2、用第一換元積分法的時(shí)候，要想令，就要在被積函數(shù)里湊出來這個(gè)因式，然后3、不管是用第一還是第二換元法，最后的結(jié)果都要轉(zhuǎn)化成關(guān)于原變量的函數(shù)，當(dāng)使用第二換元法時(shí)，注意的單調(diào)性要求對(duì)取值范圍的限制，這往往會(huì)影響開

11、根號(hào)時(shí)的符號(hào)問題4、我們使用分部積分公式是想把一個(gè)不容易計(jì)算的不定積分，轉(zhuǎn)化為一個(gè)更容易求出的另一個(gè)不定積分，那么事先就要考慮應(yīng)該對(duì)誰求導(dǎo)對(duì)誰取原函數(shù)，用幾次分部積分公式可以求出。第五章 定積分知識(shí)要點(diǎn)：1、在閉區(qū)間上的定積分，表示的是函數(shù)圖像與軸所圍成的曲邊梯形（夾在直線與之間那部分）位于軸上方圖形的面積減去位于軸下方圖形的面積，是由一個(gè)極限的形式來定義的：2、熟記定積分的七個(gè)性質(zhì)，尤其是定級(jí)分中值定理：，這里以及：（8）當(dāng)時(shí), (9) 3、 掌握積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)公式：更復(fù)雜的情形：4、 牛頓萊布尼茲公式：若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則還可以表示為：5、 定積分第一換元法：6、

12、 定積分第二換元法：7、定積分的分部積分公式：8、 對(duì)于有理函數(shù)的定積分，可先求出有理函數(shù)的不定積分，然后用牛頓-萊布尼茲公式解出9、 對(duì)于無窮區(qū)間上的三種反常積分：這里是的一個(gè)原函數(shù)，當(dāng)極限存在時(shí)，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散；當(dāng)極限存在時(shí)，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散；當(dāng)和極限都存在時(shí)，我們稱反常積分收斂，反之則稱反常積分發(fā)散。10、 如果是奇函數(shù)，則；如果是偶函數(shù)，則。注意事項(xiàng)：1、也是個(gè)積分上限函數(shù)，是個(gè)關(guān)于變量的函數(shù)，且有：2、定積分的值只與積分上下限和被積函數(shù)有關(guān)，與積分變量無關(guān)：3、 當(dāng)使用定積分的第一第二換元積分法的時(shí)候，因?yàn)榉e分變量要發(fā)生變化，所以積分

13、變量的取值范圍也必然要發(fā)生相應(yīng)變化，注意一定要變更相應(yīng)的積分上限和積分下限4、 見到形式比較復(fù)雜的定積分，如果積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則注意觀察被積函數(shù)是否是一個(gè)奇函數(shù)與某個(gè)簡單函數(shù)之和 第六章 定積分的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)：4、 掌握微元法的基本思想和基本步驟：微元法即如何把待求的物理量（總量）表示為定積分的方法：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間第二步：在區(qū)間上計(jì)算總量落在此極小區(qū)間上部分分量的近似值（的微元）：第三步：將物理量表示為定積分，并計(jì)算出定積分的值：5、 用微元法計(jì)算平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系及參數(shù)坐標(biāo)系下）：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間（注：參數(shù)坐標(biāo)系下，也是要么選擇，要

14、么選擇，這一步不要選參變量做積分變量）第二步：計(jì)算總面積落在極小區(qū)間上部分分量（在區(qū)間長度極小時(shí)近似于一個(gè)矩形）的近似值（將其當(dāng)作矩形計(jì)算出來的小矩形的面積）：（注：如果是在參數(shù)坐標(biāo)系下，會(huì)遇到這樣的問題：如果選擇積分變量為，在計(jì)算小矩形面積時(shí)需要將其表示為的形式，此時(shí)不用解出關(guān)于的表達(dá)式，如果關(guān)于只有一個(gè)解則用來代替，如果有兩個(gè)，則一個(gè)用，另一個(gè)用；積分變量是時(shí)同理）第三步：將總面積表示為定積分，并計(jì)算出定積分的值：（注：參數(shù)坐標(biāo)系下，要對(duì)定積分表達(dá)式應(yīng)用第二換元積分法將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于參變量的定積分，然后再求解）6、 用微元法計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積：第一步：選取合適的積分變量及其變化區(qū)間（繞哪個(gè)軸旋

15、轉(zhuǎn)就選哪個(gè)軸做積分變量）第二步：計(jì)算總體積落在極小區(qū)間上部分分量（在區(qū)間長度極小時(shí)近似于一個(gè)圓柱或圓環(huán)）的近似值（將其當(dāng)作圓柱或圓環(huán)計(jì)算出來的小圓柱或小圓環(huán)的體積）：第三步：將總體積表示為定積分，并計(jì)算出定積分的值：7、 掌握曲線求弧長的公式：（一）直角坐標(biāo)系下： 所求光滑曲線的弧長： （二）直角坐標(biāo)系下： 所求光滑曲線的弧長： （三）參數(shù)坐標(biāo)系下：所求光滑曲線的弧長：第七章 微分方程知識(shí)要點(diǎn)：1、 微分方程: 含有自變量，未知函數(shù)及其各階導(dǎo)函數(shù)的方程微分方程的階：未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)通解：所有的解（階微分方程的通解表達(dá)式中含個(gè)任意常數(shù)）特解：某一個(gè)解微分方程的積分曲線：解的圖像初始條件:

16、用來確定通解中個(gè)任意常數(shù)的條件，一般有個(gè)初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題2、 掌握可分離變量的微分方程的解法：如果一個(gè)一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為可分離變量的微分方程，解法如下：（一） 對(duì)等號(hào)兩邊同時(shí)取不定積分，得到隱式通解（隱函數(shù)形式的通解）（二） 如果可以從隱式通解中反解出顯函數(shù)形式的解則繼續(xù)求解，否則停止3、 掌握齊次方程的解法：如果一個(gè)一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為齊次方程，解法如下：（一） 作變量替換：，則原方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量可分離微分方程：（二） 求解此變量可分離方程，并在通解表達(dá)式中代入，從而得到原方程的通解4、 掌握一階線性微分方程的

17、解法：如果一個(gè)一階微分方程可以化為：的形式，則稱此微分方程為一階線性微分方程。時(shí)方程稱為齊次的；否則，方程稱為非齊次的。一階非齊次線性微分方程解法如下：（一） 寫出對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程（實(shí)際上是個(gè)變量可分離的微分方程），并求出此齊次方程的通解（二） 把齊次方程通解表達(dá)式中的任意常數(shù)替換為（常數(shù)變易法），設(shè)此函數(shù)為原方程的通解并代入原方程（等號(hào)左邊必然有兩項(xiàng)可以消掉）（三） 從上述方程中求出，進(jìn)而得到原方程的通解5、 掌握可降階的高階微分方程的解法：一、型的微分方程解法：對(duì)取次不定積分二、型的微分方程解法：（一）令，則原方程轉(zhuǎn)化為： （二）求出通解：，即，對(duì)取不定積分即得出原方程通解6、 對(duì)于二階線性微分方程： 齊次： 非齊次：兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)：其中某個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍兩個(gè)函數(shù)線性無關(guān)：任何一個(gè)函數(shù)都不是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍 定理1：如果函數(shù)與是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則即為(1)的通解 定理2：如果函數(shù)與是方程(2)對(duì)應(yīng)齊次方程（1）的兩線性無關(guān)的特解，是方程（2）的一個(gè)特解，則方程（2）的通解為： 定理3：如果函數(shù)與是方程(2)的兩個(gè)特解，則必為其對(duì)應(yīng)齊次方程（1）的一個(gè)特解7、 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程：的解法：第一步：寫出對(duì)應(yīng)的特征方程：第二步：（一）如果特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根