高中數(shù)學(xué)競賽 第17講 三角形的五心教案

1、 第17講 三角形的五心三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的外心(外接圓圓心)三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r的計(jì)算：設(shè)三角形面積為S，并記p=(a+b+c

2、)，則r=特別的，在直角三角形中,有 r=(a+bc) 3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為 1 24、三角形的垂心三角形的三條高交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的垂心 斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn)所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱為一個(gè)“垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)外角平分線交于一點(diǎn),稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)每個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓A類例題例1 證明重心定理。 證法1 如圖，D、E、F為三邊中點(diǎn)，設(shè)BE、CF交于G，連接EF，顯

3、然EFBC，由三角形相似可得GB2GE，GC=2GF 又設(shè)AD、BE交于G，同理可證GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點(diǎn)，故G、G重合 即三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G 證法2 設(shè)BE、CF交于G，BG、CG中點(diǎn)為H、I連EF、FH、HI、IE，因?yàn)镋FBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點(diǎn)即定理證畢鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)

4、的距離相等，故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心因而稱為外心內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)A、C的平分線相交于I、過I作IDBC，IEAC，IFAB，則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn) 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成 例2證明垂心定理分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。證明 如圖，AD、BE、CF為ABC三條高，過點(diǎn)A、B、C分別作對邊的平行線相交成ABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證鏈接 （1）對于三線共點(diǎn)問題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ce

5、va定理）設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是=1（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的n-1個(gè)頂點(diǎn)所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時(shí)，n-1邊形退化成一線段，此時(shí)重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線被該點(diǎn)分為：（n-1）1的兩條線段，這點(diǎn)叫n邊形的重心請同學(xué)們自己研究一下其他幾個(gè)“心”的推廣。情景再現(xiàn)1設(shè)G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMAN和GBC的面

6、積相等 2三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍B類例題例3 過等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對稱點(diǎn)P.試證：P點(diǎn)在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析 分析點(diǎn)M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明 由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點(diǎn)M是PBP的外心，點(diǎn)N是PPC的外心.于是有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點(diǎn)與A、B、C共圓，即P在ABC外接圓上. 鏈接 本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分BPC、PB:PC=BP:PC等等例4 A

7、D，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點(diǎn).證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D， E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例5 設(shè)A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)共圓，并確定出該

8、圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H

9、4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心； （8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外

10、心情景再現(xiàn)3在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點(diǎn)P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似. (B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6 H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個(gè)以H為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析 只須證明AA1=BB1=CC1即可.證明 設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，

11、H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，= (a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例7 已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證

12、：EF中點(diǎn)P是ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，中點(diǎn)K都在BAC平分線上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.說明 在第20屆IMO中，美國提供的一道題實(shí)際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)證明 設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個(gè)特性：p

13、(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)= (a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2= ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例9 M是ABC邊AB上的任意一點(diǎn).r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑

14、.證明=.(IMO-12)證明 對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.例10 銳角ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重.證明 設(shè)ABC外接圓半徑為1，三個(gè)內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. 3d重=ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsi

15、nA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.說明 本題用了三角法。情景再現(xiàn)5.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點(diǎn)；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，國

16、家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題)6ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點(diǎn)，E是ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)7ABC中C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題) 習(xí)題171在ABC中，A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則cosBHC=( ) A B C D2如果一個(gè)三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的( ) A內(nèi)心 B外心 C重心 D垂心(1996年全國初中聯(lián)賽)3(1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽)若0a90，那么，以sina，cosa，

17、tanacota為三邊的三角形有內(nèi)切圓、外接圓的半徑之和是( ) A B C2sinacosa D 4ABC中，A=45，BC=a，高BE、CF交于點(diǎn)H，則AH=( ) Aa Ba Ca Da5下面三個(gè)命題中： 設(shè)H為ABC的高AD上一點(diǎn)，BHC+BAC=180，則點(diǎn)H是ABC的垂心； 設(shè)G為ABC的中線AD上一點(diǎn)，且SAGB=SBGC，則點(diǎn)G是ABC的重心； 設(shè)E是ABC的外角BAK的角平分線與ABC的外接圓O的交點(diǎn)，ED是O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，則I是ABC的內(nèi)心正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答1證明 如圖，連GA，因?yàn)镸、N分別為

18、AB、CA的中點(diǎn)，所以AMG的面積=GBM的面積，GAN的面積=GNC的面積, 即四邊形GMAN和GBC的面積相等2證明 如圖，O為ABC的外心，H為垂心，連CO交ABC外接圓于D，連DA、DB，則DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC所以DABH，BDAH，從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM 同理可證 BH=2ON，CH=2OK證畢3提示：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.從而又知O1PO2+O2QO3+O3S

19、O1=360將O2QO3繞著O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時(shí)可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K= (O2O1S+SO1K)= (O2O1S+PO1O2)= PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.4提示：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列.若ABC為正三角形，易證.不妨設(shè)abc，有 CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =:=a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列.當(dāng)中abc時(shí)， 中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.5.證明 連接AC，CE，EA，由