高中數(shù)學競賽 第17講 三角形的五心教案

1、 第17講 三角形的五心三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應用，在本節(jié)中將分別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,這點稱為三角形的外心(外接圓圓心)三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等 都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,這點稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r的計算：設三角形面積為S，并記p=(a+b+c

2、)，則r=特別的，在直角三角形中,有 r=(a+bc) 3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為 1 24、三角形的垂心三角形的三條高交于一點,這點稱為三角形的垂心 斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個外角平分線交于一點,稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)每個三角形都有三個旁切圓A類例題例1 證明重心定理。 證法1 如圖，D、E、F為三邊中點，設BE、CF交于G，連接EF，顯

3、然EFBC，由三角形相似可得GB2GE，GC=2GF 又設AD、BE交于G，同理可證GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G、G重合 即三條中線AD、BE、CF相交于一點G 證法2 設BE、CF交于G，BG、CG中點為H、I連EF、FH、HI、IE，因為EFBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點即定理證畢鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點

4、的距離相等，故點O是ABC外接圓的圓心因而稱為外心內(nèi)心定理的證明：如圖，設A、C的平分線相交于I、過I作IDBC，IEAC，IFAB，則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學們自己完成 例2證明垂心定理分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進行證明。證明 如圖，AD、BE、CF為ABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證鏈接 （1）對于三線共點問題還可以利用Ceva定理進行證明，同學們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ce

5、va定理）設X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是=1（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（3）邊形某頂點同除該點以外的n-1個頂點所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當n-1=2時，n-1邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點，各中線被該點分為：（n-1）1的兩條線段，這點叫n邊形的重心請同學們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。情景再現(xiàn)1設G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點，求證：四邊形GMAN和GBC的面

6、積相等 2三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍B類例題例3 過等腰ABC底邊BC上一點P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點P關于MN的對稱點P.試證：P點在ABC外接圓上.(杭州大學中學數(shù)學競賽習題)分析 分析點M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明 由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點M是PBP的外心，點N是PPC的外心.于是有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點與A、B、C共圓，即P在ABC外接圓上. 鏈接 本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分BPC、PB:PC=BP:PC等等例4 A

7、D，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學奧林匹克)證明 設G為ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D， E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF.兩邊各擴大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例5 設A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該

8、圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關于M點成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H

9、4在同一個圓上.后者的圓心設為Q，Q與O也關于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心； （8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外

10、心情景再現(xiàn)3在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點的三角形與ABC相似. (B波拉索洛夫中學數(shù)學奧林匹克)4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6 H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學奧林匹克訓練題)分析 只須證明AA1=BB1=CC1即可.證明 設BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，

11、H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，= (a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例7 已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證

12、：EF中點P是ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫中學數(shù)學奧林匹克)證明 如圖，顯然EF中點P、圓心Q，中點K都在BAC平分線上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用內(nèi)心等量關系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.說明 在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學中學數(shù)學競賽習題)證明 設RtABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p

13、(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)= (a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2= ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例9 M是ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑

14、.證明=.(IMO-12)證明 對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.例10 銳角ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重.證明 設ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. 3d重=ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsi

15、nA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.說明 本題用了三角法。情景再現(xiàn)5.設在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，國

16、家教委數(shù)學試驗班招生試題)6ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學奧林匹克訓練題)7ABC中C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學奧林匹克集訓題) 習題171在ABC中，A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則cosBHC=( ) A B C D2如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的( ) A內(nèi)心 B外心 C重心 D垂心(1996年全國初中聯(lián)賽)3(1997年安徽省初中數(shù)學競賽)若0a90，那么，以sina，cosa，

17、tanacota為三邊的三角形有內(nèi)切圓、外接圓的半徑之和是( ) A B C2sinacosa D 4ABC中，A=45，BC=a，高BE、CF交于點H，則AH=( ) Aa Ba Ca Da5下面三個命題中： 設H為ABC的高AD上一點，BHC+BAC=180，則點H是ABC的垂心； 設G為ABC的中線AD上一點，且SAGB=SBGC，則點G是ABC的重心； 設E是ABC的外角BAK的角平分線與ABC的外接圓O的交點，ED是O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，則I是ABC的內(nèi)心正確命題的個數(shù)是( ) A0個 B1個 C2個 D3個本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答1證明 如圖，連GA，因為M、N分別為

18、AB、CA的中點，所以AMG的面積=GBM的面積，GAN的面積=GNC的面積, 即四邊形GMAN和GBC的面積相等2證明 如圖，O為ABC的外心，H為垂心，連CO交ABC外接圓于D，連DA、DB，則DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC所以DABH，BDAH，從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM 同理可證 BH=2ON，CH=2OK證畢3提示：設O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.從而又知O1PO2+O2QO3+O3S

19、O1=360將O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K= (O2O1S+SO1K)= (O2O1S+PO1O2)= PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.4提示：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列.若ABC為正三角形，易證.不妨設abc，有 CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =:=a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列.當中abc時， 中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.5.證明 連接AC，CE，EA，由