高中數(shù)學 第8課時 不等式的證明方法之比較法教案 新人教A版選修

1、第08課時 不等式的證明方法之一：比較法目的要求： 重點難點： 教學過程：一、引入：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：例1、設，求證：。例2、若實數(shù)，求證：證明：采用差值比較法： = = = =討論：若題設中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關于對稱，不妨設，從而原不等式得證。2）商值比較法：設 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。例4、甲、乙兩

2、人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題，只要比較的大小就可以了。解：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據(jù)題意有，可得，從而，其中都是正數(shù)，且。于是，即。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論：如果，甲、乙兩人誰先到達指定地點？例5、設求證；對任意實數(shù)，恒有 （1）證明 考慮（1）式兩邊的差。 （2）即（1）成立。三、小結(jié)：四、練習：五、作業(yè)：

3、1比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。海?）與；（2）與.2已知 求證：（1） （2）3若，求證4比較a4-b4與4a3(a-b)的大小解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)= (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (當且僅當db時取等號) a4-b44a3(a-b)。5比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小6已知x0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小7如果x0，比較與的大小8

4、已知a0，比較與的大小9設x1，比較x3與x2-x+1的大小說明：“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。閱讀材料：琴生不等式例5中的不等式有著重要的數(shù)學背景，它與高等數(shù)學中的一類凸函數(shù)有著密切的關系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年給出了一個定義：設函數(shù)的定義域為a,b，如果對于a,b內(nèi)任意兩數(shù)，都有當且僅當時等號成立。一般稱（2）式為琴生不等式。 更為一般的情況是：設是定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)，如果對于a,b上的任意兩點，有其中，則稱是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有則稱是a,b上的凹函數(shù)。其推廣形式 ，設，是a,b上的凸函數(shù)，則對任意有，當且僅當時等號成立。