高中數(shù)學(xué) 第1章 直線、多邊形、圓 1.1.5 直角三角形的射影定理學(xué)案 北師大版選修

1、1.5直角三角形的射影定理1.理解直角三角形的射影定理并會證明.2.會應(yīng)用直角三角形的射影定理解決直角三角形的有關(guān)問題.基礎(chǔ)初探教材整理1比例中項(xiàng)如果abbc(即b2ac)，那么b稱為a和c的比例中項(xiàng).1.已知4是a與8的比例中項(xiàng)，求實(shí)數(shù)a的值.【解】4是a與8的比例中項(xiàng)，428a，a2.教材整理2直角三角形的射影定理(1)定理：直角三角形的每一條直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).(2)表示：如圖1157，在RtABC中，CD為斜邊AB上的高，則有BC2BDBA，AC2ADAB，CD2ADDB.圖11572.已知：在ABC中，ACB90，C

2、D是AB邊上的高，BC cm，BD3 cm，則AD的長是()A.5 cmB.2 cmC.6 cmD.24 cm【解析】由題意知BC2BDAB，AB5，ADABBD532.【答案】B3.如圖1158所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于點(diǎn)D，CD2，BD3，則AC_.圖1158【解析】由CD2BDAD得AD，ABBDAD3，AC2ADAB，AC.【答案】4.在RtABC中，ACB90，CD是高，AC12 cm，BC15 cm，則SACDSBCD_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由直角三角形的射影定理知，AC2ADAB，BC2BDAB，.【答案】1625質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小

3、伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 小組合作型利用射影定理進(jìn)行計算已知：CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，如果兩直角邊AC，BC的長度比為ACBC34.求：(1)ADBD的值；(2)若AB25 cm，求CD的長.【精彩點(diǎn)撥】先根據(jù)ACBC與ADBD之間的關(guān)系求出ADBD的值；再根據(jù)斜邊AB的長及ADBD的值分別確定AD與BD的值.最后由射影定理CD2ADBD，求得CD的長.【自主解答】(1)AC2ADAB，BC2BDAB，22，即ADBD916.(2)AB25 cm，ADBD916，AD259(cm).BD2516(cm)，CD12(cm).1.解答本題(1)時，關(guān)鍵是把

4、轉(zhuǎn)化為2.2.解此類題目的關(guān)鍵是反復(fù)利用射影定理求解直角三角形中有關(guān)線段的長度.在解題時，要緊抓線段比之間的關(guān)系及線段的平方與乘積相等這些條件，緊扣等式結(jié)構(gòu)形式，達(dá)到最終目的.再練一題1.本例中若條件改為“AD6 cm，CD2 cm”，試求：(1)A的度數(shù)；(2)ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解】(1)CD2 cm，AD6 cm，tan A，A30.(2)CD2ADBD，BD2(cm).AB628(cm)，SABCABCD828(cm2).利用射影定理進(jìn)行證明已知：如圖1159，BAC90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：.圖1159【精彩點(diǎn)撥】本題要證的等式左邊次數(shù)

5、較高，不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，故可從較簡單的右邊入手探求等式成立的條件.【自主解答】由射影定理得BD2BEAB，即BE.又CD2CFAC，CF.得，2.由射影定理得，AB2BCBD，即BD.同理AC2CDBC，CD.將代入得.1.在從右往左證明時，先根據(jù)射影定理得到BE，CF，從而得到，再把有關(guān)元素進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2.利用直角三角形的射影定理證明恒等式時，要結(jié)合圖形，仔細(xì)分析題目的結(jié)論，合理利用射影定理中提供的等式.再練一題2.如圖1160所示，在ABC中，AD為BC邊上的高，過D作DEAB，DFAC，E，F(xiàn)為垂足.求證：圖1160(1)AEABAFAC；(2)AEFACB.【證明】(1)ADBC，DEAB，

6、DFAC，在RtABD中，由射影定理得AD2AEAB，在RtADC中，由射影定理得AD2AFAC，AEABAFAC.(2)AEABAFAC，.又EAFCAB，AEFACB.探究共研型射影定理的條件探究1如何使用射影定理？【提示】運(yùn)用射影定理時，要注意其成立的條件，要結(jié)合圖形去記憶定理，當(dāng)所給條件中具備定理的條件時，可直接運(yùn)用定理，有時也可通過作垂線使之滿足定理的條件，再運(yùn)用定理，在處理一些綜合問題時，常常與三角形的相似相聯(lián)系，要注意它們的綜合應(yīng)用.探究2命題“如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項(xiàng)，那么這個三角形是直角三角形”是否正確？若正確，你能證明嗎？【提示】命題正確.

7、如圖所示，在ABC中，CDAB于D，若CD2ADBD，則ABC為直角三角形.證明如下：CDAB，CDABDC90.又CD2ADBD，即ADCDCDBD，ACDCBD.CADBCD.又ACDCAD90，ACBACDBCDACDCAD90，即ABC為直角三角形.如圖1161所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，F(xiàn)D的延長線交AC的延長線于H.圖1161求證：DF2FGFH.【精彩點(diǎn)撥】首先證明三角形相似，然后再在Rt中利用射影定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明.【證明】BEAC，ABEBAE90.同理，HHAF90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在

8、RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再練一題3.在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD14，則tan BCD的值是()A.B.C.D.2【解析】如圖，由射影定理得CD2ADBD，又BDAD14，令BDx，則AD4x(x0)CD2ADBD4x2，CD2x.在RtCDB中，tanBCD.【答案】C構(gòu)建體系1.一個直角三角形兩條直角邊的比為1，則它們在斜邊上的射影比為()A.12B.13C.1 D.15【解析】設(shè)RtABC中ACB90，CDAB于D，則AC2ADAB，BC2BDAB，22.【答案】D2.如圖1162所示，在ABC中，ACB90，CDAB，D為垂足，若CD6，ADDB12，則AD的值是()圖1162A.6 B.3C.18D.3【解析】由題意知AD218，AD3.【答案】B3.如圖1163所示，在矩形ABCD中，AEBD，OFAB，DEEB13，OFa，則對角線BD的長為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】圖1163【解析】由題意知，AD2a，DEBD，AD2DEBDBD2，BD24AD216a2，BD4a.【答案】4a4.如圖1164所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F，且B