第23章 《解直角三角形》教學設計

1、23.1 銳角三角函數（3課時）【教學目標】一、知識目標1.探索直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系。2.掌握等特殊角的三角函數值。3.學會運用計算器求任意角的三角函數值。二、能力目標1.掌握三角函數定義式：sinA=，tanA=，cotA=2.理解定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。三、情感態(tài)度目標經歷觀察、操作、歸納等學習數學過程，感受數學思考過程的合理性，感受數學說理的必要性、說理過程的嚴謹性養(yǎng)成科學的、嚴謹的學習態(tài)度?！局攸c難點】重點：三角函數定義的理解。難點：解直角三角形在實際生活中的應用?！窘虒W設想】課型：新授課教學思路：觀察操作-概括歸

2、納-說理論證-應用提高?！菊n時安排】2課時?！窘虒W設計】第一課時 【本課目標】1.探索直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系。2.掌握等特殊角的三角函數值。3掌握三角函數定義式：sinA=，tanA=，cotA=【教學過程】1.情境導入利用相似三角形的對應邊成比例。2、課前熱身以相互對答方式回顧相似三角形的性質；以提問的方式鞏固直角三角形的三邊關系-勾股定理。3、合作探究（1）整體感知通過演示直角三角形在一個銳角大小不變的情況下，兩個直角三角形就相似，得出同一直角三角形在一個銳角不變的情況下，三邊之間存在一定的比例關系，接著定義銳角三角函扮，當C=時，sinA=，tanA=，cotA=，然

3、后探索等特殊角的三角函數值以及在“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”。（2）四邊互動互動1：師：展示課本第74頁中圖25.2.1.大家看大屏幕，我們先對有關直角三角形下個定義好嗎？生：交流討論后，熟悉直角三角形的斜邊、鄰邊、對邊。明確：直角三角形中最長的邊叫斜邊，與銳角相鄰的直角邊叫鄰邊，與銳角相對的邊叫對邊?；?：師：展示課本上圖25.2.2，在銳角不變的情況下，我們過它的一邊上一些點分別向另一邊作垂線，垂足分別為得到三角形A,三角形A,三角形A那么這些三角形相似嗎？生：思考討論后，舉手回答問題師：請同學們拿出一張方格紙，在上面畫一個銳角，動手操作看看能不

4、能得到剛才問的一組三角形相似呢？生：動手操作，舉手回答發(fā)現的現象。明確：一組直角三角形在一個銳角相等時，它們彼此相似進一步得到一個直角三角形中三邊之間成一定的比例關系?；?：師：我們怎么來描述直角三角形三邊之間的比值與一個銳角的規(guī)律呢？生：動手操作，交流發(fā)現的結論，定義三角函數。明確：sin A=叫A的正弦, cos A=叫A的余弦,tan A=叫A的正切, cot A= 叫A的余切一般地，在直角三角形ABC中，當C=時，sinA=，tanA=，cotA=?；?：師：根據上面的三角函數定義，你知道正弦與余弦三角函數值的取值范圍嗎？師：（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊生：獨立思考，嘗試回

5、答，文流結果，舉手板演明確：0sina1，0cosa1.互動5：師：我們一起探討一下同一個角的正切函數值與余切函數值的關系好嗎？生：通過思考、交流、討論，回答上述問題：明確：tan Acot A=1例題教學：課本第75頁中例1.互動6：師：在圖中我們能求出斜邊AB的長度嗎？生：通過思考、交流、討論，回答上述問題師：你會求A的四個三角函數值嗎？求求看，并與同伴交流好嗎，生：通過思考、操作后與同伴交流。明確：，sin A=，cos A=，tan A=，cot A=?；?：師：sin是一個常數嗎?cos呢？你會求tan,cot 嗎？生：通過思考、交流、討論，回答上述問題師生：共同活動得出sin=師

6、：誰能試著敘述含有角的直角三角形三邊之間的數量關系？生：回答略。明確：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半?；?：師：你能借助兩塊三角板求出的四個三角函數值嗎？生：通過思考、交流回答上述問題。為了便于記憶，我們把30、45、60的三角函數值列表如下.（請?zhí)畛隹瞻滋幍闹担?、達標反饋（1）在ABC中，A=，AB=24，AC=7，則sinB= ，cosB= ，tanB= ,cotB= （2）如圖25.2.1所示，sin= ，cos= ，tanB= ,cotB= 。（3）tancot= 5、學習小結（1）內容總結sin A=叫A的正弦, cos A=叫A的余弦,tan

7、 A=叫A的正切, cot A= 叫A的余切一般地，在直角三角形ABC中，當C=時，sinA=，tanA=，cotA=。tanAcotA=1。（2）方法歸納 在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數定義來解。6、實踐活動：如圖，請你設計一種方案測量河寬。7、鞏固練習：課本第76頁練習。8、作業(yè)：課本第78頁習題1、2【教學反思】第二課時 【本課目標】學會用計算器求任意角的三角函數值?！窘虒W過程】1.情境導入如圖19-3-6所示，有一斜坡，現在要在斜坡AB植樹造林，要保持兩棵樹水平間距為2米，那么沿斜坡方向應每隔幾米挖坑？（已知斜坡面的傾角為18）2.課前熱身拿出計算器，熟悉計算器的用法3.合

8、作探究（1）整體感知通過四個例題展示用計算器求已知銳角三角函數值的一般方法。會根據角的大小求三角函數值；會根據三角函數值的大小求銳角的大小。（2）四邊互動： 互動1：師：你會將計算器設置成度的狀態(tài)嗎？認真閱讀你的計算器的說明書從中吸取知識。生：看說明書后分組討論交流，最后就自己的計算器回答問題。注意：不同的計算器有不同的規(guī)定。明確：許多知識來源于閱讀與自主探索。展示：sin，cos?；?：師：你會用計算器求出sin嗎？看看說明書上告訴我們怎樣做？ 生：看說明書后舉手回答 師：你會用計算器求出cos 嗎？看說明書上告訴我們怎樣？ 生：看說明書思考后，舉手回答 明確：不同的計算器操作順序不同，按

9、鍵定義也不一樣。 展示：已知：tanx=0.7410，coty=0.1950，求銳角x,y的值互動3：師：你會用計算器求出tanx=0.7410中x的值嗎？看看說明書上是怎樣告訴我們的。生：看說明書后舉手回答師：你會用計算器求出coty=0.1950中y的值嗎？看看說明書上是怎樣告訴我們做的。生：著說明書思考后，舉手回答 師：請你們分組活動，每人出兩道題讓你的同位用計算器算算好嗎？ 生：分組活動，教師參與其中，解決困難明確：不同的計算器操作順序不一樣，按鍵定義也不一樣（可要求學生統(tǒng)一購買與教材內容配套的科學計算器），同一銳角的正切值與余切值互為倒數。4、達標反饋課本第77頁練習第1、2題。5、

10、學習小結（1）內容總結 不同的計算器操作順序不同，按鍵定義也不一樣。 同一銳角的正切值與余切值互為倒數。 在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的保管與使用。（2）方法歸納在解決直角三角形的相關問題時，常常使用計算器幫助我們處理比較復雜的計算。6、實踐活動：下表是學校興趣小組測量教學樓高的實驗報告的部分內容。 （1） 完成上表中的平均數據。（2） 若測量儀器高度為1.52米，根據上表數據求教學樓高AB（精確到0.01米）7、作業(yè)：課本第78頁第3、4、5題【教學反思】22.2 解直角三角形（3課時）【教學目標】一、知識目標1、 鞏固直角三角形中的三角函數定義。2、 選取多樣性的問題，引導學生

11、合理地選擇關系式（可以用不同的三角函數關系解決問題）。二、能力目標1. 應盡量把解直角三角形與實際問題聯(lián)系起來，減少單純解直角三角形的習題，在解決實際問題時，應使學生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習慣 。2. 將解直角三角形的應用分為幾種問題類型，注意問題選取的多樣性，有時解決一個問題，往往可以用不同的三角函數關系式，這時應引導學生合理地選擇關系式，培養(yǎng)學生合情推理、數學說理及轉化思想。三、情感態(tài)度目標經歷觀察、操作、歸納與猜想，體會科學發(fā)現這一重要方法?！局攸c難點】重點：使學生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習慣 難點：靈活地運用有關知識在實際問題情境下解直角三角形。疑點：一題多解時多種方法中的靈活選擇與

12、運用?！窘虒W設想】課型：新授課教學思路：觀察操作-概括歸納-應用提高 ?！菊n時安排】2課時?！窘虒W設計】第一課時 【本課目標】1.鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。2.學會運用三角函數解直角三角形。3.掌握解直角三角形的幾種情況?！窘虒W過程】1.情境導入展示課本第78頁例1。2、課前熱身分組練習，互問互答鞏固上節(jié)課的內容。3、合作探究（1）整體感知從復習直角三角形的相關性質和銳角三角函數入手，讓學生對解直角三角形的必備知識做一個必要的回顧；從例1的一棵大樹的高度引出利用勾股定理解直角三角形；從戰(zhàn)爭的需要引出利用銳角三角函數解直角三角形；最后歸納總結解直角三角形的兩種情況：已知兩條邊；已知一條邊和

13、一個銳角。（2）四邊互動互動1：師：展示如圖19-4-1的所示的圖形，根據圖填空：sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。A= , 生：獨立思考，交流。明確：sin A=叫A的正弦, cos A=叫A的余弦,tan A=叫A的正切, cot A= 叫A的余切一般地，在直角三角形ABC中，當C=時，sinA=，tanA=，cotA=。互動2：例1如圖25.3.1所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？ 師：展示課本中第112頁例1(圖19.4.1）我們在遇到實際問題時，總是首先把新問題與我們熟悉的問題聯(lián)系起來，再把新

14、問題轉化成熟悉的問題來進行研究那么，怎樣把這個實際問題變成我們熟悉的圖形呢？生：動手嘗試，分組交流后，舉手回答。師生共同畫圖轉化為直角三角形。明確：對于現實總是通?；癁閿祵W模型來處理，這里體現數學建模的思想。解利用勾股定理可以求出折斷倒下部分的長度為261036（米）.所以，大樹在折斷之前高為36米.互動3：師：通過例1，我們知道在直角三角形中已知一些元素，求另一些未知元素的方法.像這樣的過程我們稱之為解直角三角形.你知道了嗎？生：分組討論得出解直角三角形的兩種情況：（1）已知兩條邊長；（2）已知一條邊長和一銳角.明確：什么叫解直角三角形；解直角三角形的兩種情況?；?：師：展示例2，你會畫方

15、向角嗎？動手操作將例2轉化為數學模型。生：畫圖并嘗試解題。明確：會用銳角三角函數關系式解直角三角形。例2如圖25.3.2，東西兩炮臺A、B相距2000米，同時發(fā)現入侵敵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東40的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）解在RtABC中，因為CAB90DAC50，tanCAB,所以BCABtanCAB=2000tan502384(米).又因為，所以AC答：敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為3111米和2384米.4、達標反饋課本第79頁練習。5、學習小結（1）內容總結會用銳角的三角函數關系式解直角三角形。所求的邊長通常作為分子比較好些

16、。（2）方法歸納 讓學生體驗從實際生活中建立數學模型，運用直角三角形知識解決生活中的問題。6、實踐活動：（1）如圖1942所示，是某單位的停車棚上方的角鋼固定架若BC=15米，B=28度，D,E,F將BC四等分。問制成這樣的鋼架共需角鋼多少米？（不考慮焊接損失，結果保留到1米） （2）已知兩條線段的長度，請你以這兩條線段為邊長做一直角三角形。（畫畫看有幾種不同的圖形）。7、作業(yè)：課本第82頁習題第1題。【教學反思】第二課時 【本課目標】1.鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。2.學會運用三角函數解直角三角形。3.掌握解直角三角形的幾種情況。4.學習仰角與俯角?！窘虒W過程】1.情境導入展示課本第80

17、頁中“讀一讀”，使學生體驗兩個名詞概念：仰角與俯角。2.課前熱身分組練習，互問互答鞏固勾股定理和銳角三角函數定義等內角。3.合作探究（1）整體感知從“讀一讀”體驗兩個數學名詞術語：仰角與俯角。從例3教學中體驗仰角的具體應用和解直角三角形的現實作用。從課堂鞏固練習中體驗到俯角的用處，進一步熟悉直角三角形的解。（2）四邊互動： 互動1：師：展示課本第80頁“讀一讀”，你看懂圖25.3.3了嗎？生：口頭回答。由此我們得出兩個數學名詞術語：仰角、俯角。明確：仰角是視線方向在水平線上方，這時視線與水平線的夾角；俯角是視線方向在水平線下方，這時視線與水平線的夾角?；?：師：展示課本第80頁例3(圖25.

18、3.4).你能根據例題中的文字畫出幾何圖形嗎？畫畫看。例3如圖25.3.4，為了測量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7米的C處，用高1.20米的測角儀CD測得電線桿頂端B的仰角a22，求電線桿AB的高（精確到0.1米） 解 在RtBDE中，BEDEtan aACtan a22.7tan 229.17， 所以 ABBEAE BECD 9.171.2010.4（米）答： 電線桿的高度約為10.4米4、達標反饋課本第80頁練習第1、2題。5、學習小結（1）內容總結 仰角是視線方向在水平線上方，這時視線與水平線的夾角。 俯角是視線方向在水平線下方，這時視線與水平線的夾角。 梯形通常分解成矩形和直角三

19、角形（或分解成平行四邊形與直角三角形）來處理。（2）方法歸納認真閱讀題目，把實際問題去掉情境轉化為數學中的幾何問題。把四邊形問題轉化為特殊四邊形（矩形或平行四邊形）與三角形來解決。6、實踐活動：如圖19-4-3所示，一飛機在1500米的高空中測得地面控制塔的俯角為，求這時收音機距指揮塔的直線距離是多少米？7、作業(yè)：課本第82中第2、3、4題和第86頁復習題中第10題第87頁中第14題?！窘虒W反思】第三課時 【本課目標】1.鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。2.學會運用三角函數解直角三角形。3.掌握解直角三角形的幾種情況。4.學習仰角與俯角。5.學習坡度、坡角。【教學過程】1.情境導入展示課本第8

20、1頁中“讀一讀”，使學生體驗兩個名詞概念：坡角與坡度。2.課前熱身分組練習，互問互答，鞏固勾股定理和銳角三角函數定義等內容；掌握仰角與俯角等概念。3.合作探究（1）整體感知從“讀一讀”出發(fā)讓學生體驗坡角與坡度概念； 從例4“求路基下底的寬”這個具體情境中理解運用“坡角”與“坡度”。學會將四邊形“梯形”分解成矩形與三角形來解題的方法。（2）四邊互動： 互動1：師：展示課本第81頁中“讀一讀”，你看懂圖25.3.5了嗎？生：口頭回答。由此我們得出兩個專業(yè)名詞術語：坡角、坡度。明確：坡角是斜坡與水平線的夾角；坡度是指斜坡上任意一點的高度與水平距離的比值。 坡角與坡度之間的關系是：i=tan a（i是

21、坡度，h表示高度，l表示水平距離，a表示坡角）互動2：師：我們現在研究一下坡角與坡度之間的關系好嗎？生：分組交流后，舉手回答師生共同歸納得出：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡明確：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡?；?：師：展示課本第81頁中例4(圖25.3.6).我們在遇到梯形時怎么把它分割成能夠解決的圖形呢？例4如圖25.3.6，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32和28求路基下底的寬（精確到0.1米）生：嘗試分割小組選出代表發(fā)言師：運用多媒體演示多種不同的分割方法（如圖1944所示）。師生共同活動，確定這道題的解法。明確：利用直

22、角三角形來解決梯形總是通常作兩條高線，把它化為一個矩形和兩個直角三角形來解決。4、達標反饋（1） 一斜坡的坡角為30度，則它的坡度為 （2） 坡度通常寫成1： 的形式。如果一個坡度為1 :2.5,則這個坡角為 （3） 等腰梯形的較小底長為3，腰長為5，高為4，則另一個底長為 ，坡度為 （4） 梯形的兩底長分別為為5和8，一腰長為4，則另一腰長x的取值范圍是 （5） 如圖19-4-5所示，在等腰梯形ABCD中，AB/DC, CB/EA。已知AB=5，DC=8，DA=3，求CEB的周長和坡角的度數5、學習小結（1）內容總結 坡角是斜坡與水平線的夾角；坡度是指斜坡上任意一點的高度與水平距離的比值。坡

23、角與坡度之間的關系是：i=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距離，a表示坡角）（2）方法歸納在涉及梯形間題時，常常首先把梯形分割成我們熟悉的三角形（直角三角形）、平行四邊形（矩形），再借助這些熟悉圖形的性質與特征來加以研究。6、實踐活動：某居民生活區(qū)有一塊等腰梯形空地，經測量得知，梯形上底與腰相等，下底是上底的2倍?，F計劃把這塊空地劃分成形狀和面積完全相同的四個部分，種上不同顏色的花草來美化環(huán)境請你幫助畫出設計的草圖7、作業(yè)：課本86頁第12題。【教學反思】小結與復習（1）【教學目標】1、 了解本章的知識結構。2、 回顧勾股定理的證明【教學重難點】重點：勾股定理。難點：選擇適當的知識解決具體問題?！窘虒W過程】一、 情境導入通過本章的學習，你學到了哪些知識？你有哪些收獲？二、課前熱身同學們交流、討論、概括出本章所學的主要內容。三、合作探究知識結構概括1. 了解勾股定理的歷史，經歷勾股定理的探索過程；2. 理解并掌握直角三角形中邊角之間的關系；3. 能應用直角三角形的邊角關系解決有關實際問題課堂練習1. 求下列陰影部分的面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓（第1題）2. 如圖，以RtABC的三邊向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關系3. 已知直角三角形兩條直角邊分別為6、8，求斜邊上中線的長4. 求下