線性代數(shù)課件.ppt

1、線性代數(shù)課程簡介,一.教材與參考書,線性代數(shù)吳傳生 王衛(wèi)華編,教材選用：,參考教材：,線性代數(shù)是一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程,其核心內(nèi)容 是研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)和線性變換.其理 論和方法有著廣泛的應(yīng)用.,行列式,矩陣,線性方程組,向量空間,矩陣的特征值,二次型,1.教材內(nèi)容:,2.學(xué)習(xí)方法與要求;,預(yù)習(xí)+課堂學(xué)習(xí)+課外練習(xí) 課本+練習(xí)本+筆,本期應(yīng)完成:10次作業(yè)、2次考試（4次考試）,線性代數(shù)(Linear Algebra)簡介,加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運(yùn)算。,一.代數(shù):,是指由字母或符號來研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。,1.初等代數(shù),代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。,初

2、期的代數(shù)主要源于解方程.,我國古代的九章算術(shù) 中就有方程問題。,初等代數(shù)研究的對象:,代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。,整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。,四則運(yùn)算，乘方和開方運(yùn)算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.,初等代數(shù)的十條規(guī)則:,(1)五條基本運(yùn)算律：,加法交換律、加法結(jié)合律、 乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；,(2)兩條等式基本性質(zhì):,等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變；,等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；,(3)三條指數(shù)律：,同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；,指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘；,積的乘方等于乘方的積。,人們在解方程的研究過程中發(fā)現(xiàn)了 無理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)， 從而使數(shù)的

3、概念得到了擴(kuò)充。,2、代數(shù)的基本定理,1799年高斯（Gauss）證明：,復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)一元n次（n0）方程,任何一個(gè)一元n次方程在復(fù)數(shù)域上 有且僅有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）,至少有1個(gè)根,這就是說,至少有1個(gè)復(fù)數(shù)x滿 足這個(gè)等式；,3.多項(xiàng)式方程的代數(shù)解問題,方程的代數(shù)解是指:,方程經(jīng)過有限次代數(shù)運(yùn)算得到的解。,，,，,阿貝爾（Abel）(18021829) 證明了五次方程不可能有代數(shù)解,4、方程根與系數(shù)的關(guān)系,韋達(dá)定理:設(shè)一元二次方程,在復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)根為,則有,一般地:設(shè),在復(fù)數(shù)域上的n個(gè)根為,則有,2.高等代數(shù),1832年法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦運(yùn)用“群”的思想徹 底解決了用根式求解代數(shù)方程

4、的可能性,由此 代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué).,二.線性代數(shù),“線性”的含義是指未知量的一次式。,例如: y=ax表示變量y是變量x的一個(gè)線性函數(shù)，,y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關(guān)系。,一個(gè)線性表示不能包含諸如x2和x1x2的二次項(xiàng)， 這些二次項(xiàng)是非線性的。,線性代數(shù)的研究對象:,線性方程組、線性空間和線性變換。,行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個(gè)重要工具.,1、求解線性方程組,例1：明代程大為著的算法統(tǒng)宗中記載： 100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭。大和尚一人3個(gè)，小和 尚3人一個(gè)，剛好分完。問大、小和尚各多少人？,解：設(shè)有大和尚x人，小和尚y人，于是有,用代入法求得：,，代入,

5、，解出：,例2：中國古代算書張丘建算經(jīng)記載百雞問 題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢， 小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只 雞，問：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各 有多少只？,解：設(shè)有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有,有（2）3（1）得,因?yàn)閥是整數(shù)，可設(shè),代入得：,又y0,可知k=1,2,3,由此得,或,或,例3求解下列線性方程組,解:,由(2)-(1)得(3),方程組與下列方程組同解,由(5)2(4):,k是任意常數(shù),令:,解:利用高斯（ Gauss ）消元法求解.,將1,2兩個(gè)方程 互換位置得,由第1個(gè)方程分別乘-2,-2,-3,后與2,3,4方程相加,得,同理:將2,3方

6、程互換位置,得,把第3,4兩個(gè)方程分別 加上第2個(gè)方程的-4,-1 倍,得,同理;得,從第3個(gè)方程回代,利用高斯消元法求解線性方程組,解:原方程組,無解.,若我們進(jìn)一步 變換可得:,從以上例題可以看出,線性方程組的解有3種 情況:唯一解、無窮解和無解。,當(dāng)未知量或方程組的個(gè)數(shù)增多時(shí), 常用高斯消元法求解方程組.,一般地,方程組可表示為:,它是線性代數(shù)的主要研究對象。,例:總收入問題,某地區(qū)有1個(gè)工廠,生產(chǎn)甲,乙,丙3種產(chǎn)品,xi(i=1,2,3),表示工廠生產(chǎn)這3種產(chǎn)品的數(shù)量, ai(i=1,2,3)表示第i種產(chǎn)品的單價(jià),y表示這 3種產(chǎn)品的總收入,則有:,若某地區(qū)有1,2,3,4個(gè)工廠,生產(chǎn)

7、甲,乙,丙3種,產(chǎn)品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工廠生產(chǎn)i種 產(chǎn)品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示i種產(chǎn)品的單價(jià), yk表示k工廠的總收入,則有:,2、線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型,在一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中,一個(gè)企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消 費(fèi)者,作為生產(chǎn)者,它有產(chǎn)出,作為消費(fèi)者它有投 入,企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以用一系列的線 性方程組來表示,這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué) 獎(jiǎng)獲得者)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型.,例全球定位系統(tǒng)GPS,要想知道卡車在公路上行駛時(shí)的位置可利用 GPS系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組成,卡 車從其中3顆衛(wèi)星接受信號,接受器里的軟件利 用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置.,當(dāng)

8、卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時(shí),接受器從信號往返 的時(shí)間能確定卡車到衛(wèi)星的距離,例如14000公里, 從衛(wèi)星來看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心,半徑為 14000公里的球面上的某地.設(shè)卡車位置(x,y,z),第 一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即,同理 假設(shè)第2,3顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2) 和(a3,b3,c3)距卡車的距離分別是17000和16000 公里,則有,這些關(guān)系式不是線性關(guān)系式,要求(x,y,z),由(1)減(2),(3)得:,例:動(dòng)畫問題,動(dòng)畫設(shè)計(jì)中常常用到坐標(biāo)變換如:平移 旋轉(zhuǎn)等,設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y),平移變換后為,則:,設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y),旋轉(zhuǎn)變換后為,則:,1 n

9、階行列式的定義的主要內(nèi)容是:,一.2階行列式和3階行列式的定義,(一)2階行列式的定義,(二)3階行列式的定義,二.n階行列式的定義,行列式簡介,行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。,它是數(shù)學(xué)語言上的改革,它的簡化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉。 P.S.Laplace,是一種速記表達(dá)式.,行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家 關(guān)孝和提出來的(1683 年 ),Vandermonde 首次對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述,成為行列式理論的奠基人.,用消元法解二元線性方程組,一.2階行列式和3階行列式的定義,(一)2階行列式的定義,方程組的解為,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.,由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排

10、稱列）的數(shù)表,定義,即,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計(jì)算,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,例1,解,(二)三階行列式的定義,解三元一次方程組,由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得,由二元一次方程組可知:若系數(shù)行列式:,即:,那么:,三元線性方程組:,若系數(shù)行列式不等于零,有解:,(二)三階行列式的定義,定義,記,（1）式稱為數(shù)表所確定的三階行列式.,(1)沙路法,三階行列式的計(jì)算,(2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號,說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式

11、,例,解,按對角線法則，有,二.四階行列式與n階行列式的定義,不適用對角線定義.,1,+1,三階行列式的沙路法和對角線法不適用四 階行列式,二.四階行列式與n階行列式的定義,例:,求x4=?,由(2)+(3)得:,得:,10,3,觀察2階和3階行列式:,=?,三階行列式:,+,123,231,312,132,213,321,0個(gè),2個(gè),2個(gè),偶排列,1個(gè),1個(gè),3個(gè),奇排列,記:,為排列的逆序數(shù)總數(shù).,規(guī)定,=,行列式的一般項(xiàng)定義.,補(bǔ)充說明:行列式的一般項(xiàng)定義中列標(biāo)可按自 然順序排列.,例如:,n階行列式的一般項(xiàng)定義,行列式的 一般項(xiàng),簡記,其中aij是行列式的元數(shù).,例：,寫出四階行列式中

12、含有因子 的項(xiàng).,例：,計(jì)算行列式,例1計(jì)算對角行列式,分析,展開式中一般項(xiàng)中的元素積:,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不為零的項(xiàng)為,5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,若記 ，則 .,記,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即 .,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,證明,根據(jù)行列式的定義，有,若記 ，則,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,驗(yàn)證,于是,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.,證明,互換相同的兩行，有 ，所以 .,備注：交換第

13、行（列）和第 行（列），記作 .,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù) ，等于用數(shù) 乘以此行列式.,驗(yàn)證,我們以三階行列式為例. 記,根據(jù)三階行列式的對角線法則，有,備注：第 行（列）乘以 ，記作 .,推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,備注：第 行（列）提出公因子 ，記作 .,驗(yàn)證,我們以4階行列式為例.,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, 例如：,則,驗(yàn)證,我們以三階行列式為例.,性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素

14、上去，行列式不變,則,驗(yàn)證,我們以三階行列式為例. 記,備注：以數(shù) 乘第 行（列）加到第 行（列）上，記作 .,例如,3或2階行列式的按第1行展開式歸納如下:,四階行列式與n階行列式按行展開式定義.,按照這一規(guī)律觀察2階:,=,規(guī)定:,叫做元素 的代數(shù)余子式,例如,的余子式和 代數(shù)余子式,1.余子式與代數(shù)余子式,的余子式和 代數(shù)余子式,定義:由n2個(gè)數(shù)aij(ij=1,2,n)組成的n階行列式,n階行列式按第1行展開的定義,是一個(gè)算式.,當(dāng)n=1時(shí),定義D=,當(dāng)n2時(shí),定義為,其中:,例1,=40,按第1行的元素展開,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等

15、于零，即,分析 我們以3階行列式為例.,把第1行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,綜上所述，有,同理可得,例 計(jì)算行列式,例 設(shè) 求,及,幾類特殊的n階行列式的計(jì)算,.,克拉默法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克拉默法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組(1)有解并且解是唯一

16、的，解可以表示成,定理中包含著三個(gè)結(jié)論：,方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)給出.,這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的. 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.,關(guān)于克拉默法則的等價(jià)命題,定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .,定理4 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,設(shè),例 解線性方程組,解,線性方程組,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.,齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?0,0, 0)就是一個(gè)解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解.,齊次線性方程組的相關(guān)定理,定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解.,定理5 如果齊次線性