高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示 1.2.2 函數(shù)的表示法 第二課時(shí) 分段函數(shù)與映射學(xué)案（含解析）新人教A版必修

1、第二課時(shí)分段函數(shù)與映射分段函數(shù)提出問(wèn)題某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5千米以內(nèi)，票價(jià)2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票價(jià)增加1元(不足5千米的按5千米計(jì)算)已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個(gè)汽車站問(wèn)題1：從起點(diǎn)站出發(fā)，公共汽車的行程x(千米)與票價(jià)y(元)有函數(shù)關(guān)系嗎？提示：有函數(shù)關(guān)系問(wèn)題2：若有函數(shù)關(guān)系，函數(shù)的表達(dá)式是什么？提示：y問(wèn)題3：x與y之間有何特點(diǎn)？提示：x在不同區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，與y所對(duì)應(yīng)的關(guān)系不同導(dǎo)入新知如果函數(shù)yf(x)，xA，根據(jù)自變量x在不同的取值范圍內(nèi)，函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)化解疑難分段函數(shù)的

2、三要點(diǎn)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，切不可把它看成是幾個(gè)函數(shù)分段函數(shù)在書寫時(shí)用大括號(hào)把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍(2)一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，分段函數(shù)的定義域只能寫成一個(gè)集合的形式，不能分開寫成幾個(gè)集合的形式(3)求分段函數(shù)的值域，應(yīng)先求出各段函數(shù)在對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值的集合，再求出它們的并集.映射提出問(wèn)題Ax|x是三角形，Bx|x是圓對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它的外接圓問(wèn)題1：從集合A到集合B能構(gòu)成函數(shù)嗎？提示：不能問(wèn)題2：從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)有什么特點(diǎn)？提示：對(duì)于集合A中的任何一個(gè)三角形，在集合B中都有唯一的外接圓與之對(duì)應(yīng)導(dǎo)入新知映射的定

3、義設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射化解疑難映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)映射區(qū)別函數(shù)中的兩個(gè)集合A和B必須是非空數(shù)集映射中的兩個(gè)集合A和B可以是數(shù)集，也可以是其他集合，只要非空即可聯(lián)系函數(shù)是一種特殊的映射；映射是函數(shù)概念的推廣，但不一定是函數(shù)分段函數(shù)求值問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)(1)求f(5)，f()，f 的值；(2)若f(a)3，求實(shí)數(shù)a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)(5)14，f()()22()32.f 1，且22

4、，不合題意，舍去當(dāng)2a2時(shí)，a22a3，即a22a30.所以(a1)(a3)0，得a1，或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合題意當(dāng)a2時(shí)，2a13，即a2，符合題意綜上可得，當(dāng)f(a)3時(shí)，a1，或a2.類題通法1求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值，直到求出值為止2求某條件下自變量的值的方法先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn)活學(xué)活用已知函數(shù)f(x)(1)求f(f(2)的值；(2)求f(a21)(aR)的值；(3)當(dāng)4x3時(shí)，求f(x)的值域解

5、：(1)f(2)12(2)5，f(f(2)f(5)45221.(2)當(dāng)aR時(shí)，a2110，f(a21)4(a21)2a42a23(aR)(3)當(dāng)4x0時(shí)，f(x)12x，1f(x)9；當(dāng)x0時(shí)，f(x)2；當(dāng)0x3時(shí)，f(x)4x2，5f(x)4.故當(dāng)4x3時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是(5,9.分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)如圖為一分段函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的定義域?yàn)開，值域?yàn)開(2)已知函數(shù)f(x)1(2x2)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；畫出該函數(shù)的圖象；寫出該函數(shù)的值域解(1)由圖象可知，第一段的定義域?yàn)?,0)，值域?yàn)?,1)；第二段的定義域?yàn)?,2，值域?yàn)?,0所以該分段函數(shù)的定義域?yàn)?,2

6、，值域?yàn)?,1)(2)當(dāng)0x2時(shí)，f(x)11；當(dāng)2x0時(shí)，f(x)11x.f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由知，f(x)在(2,2上的值域?yàn)?,3)答案(1)1,21,1)類題通法分段函數(shù)圖象的畫法(1)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象(2)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏活學(xué)活用已知函數(shù)yf(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數(shù)的解析式解：題圖中給定的圖象實(shí)

7、際上是一個(gè)分段函數(shù)的圖象，對(duì)各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行求解時(shí)，一定要注意其區(qū)間的端點(diǎn)根據(jù)圖象，設(shè)左側(cè)的射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為ykxb(x1)點(diǎn)(1,1)，(0,2)在射線上，解得左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為yx2(x3時(shí)，函數(shù)的解析式為yx2(x3)再設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為ya(x2)22(1x3，a0)點(diǎn)(1,1)在拋物線上，a21，a1.1x3時(shí)，函數(shù)的解析式為yx24x2(1x3)綜上可知，函數(shù)的解析式為y映射的概念例3判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x|x3|；(2)A平面內(nèi)的圓，B平面內(nèi)的矩形，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：作圓的內(nèi)接矩形；(3)A高一

8、(1)班的男生，BR，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每個(gè)男生對(duì)應(yīng)自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xyx.解(1)A中元素3在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下與3的差的絕對(duì)值為0，而0B，故不是映射(2)因?yàn)橐粋€(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接矩形，即集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有無(wú)數(shù)個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故不是映射(3)對(duì)A中任何一個(gè)元素，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，符合映射定義，是映射(4)因?yàn)锳中每一個(gè)元素在f：xyx作用下對(duì)應(yīng)的元素構(gòu)成的集合Cy|0y1B，符合映射定義，是映射類題通法判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映射的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)于A中的任意一個(gè)元素，在B中是否有元素對(duì)應(yīng)；(2)B中的對(duì)應(yīng)元素是否是唯

9、一的注意“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)都是映射活學(xué)活用已知A1,2,3，9，BR，從集合A到集合B的映射f：x.(1)與A中元素1相對(duì)應(yīng)的B中的元素是什么？(2)與B中元素相對(duì)應(yīng)的A中的元素是什么？解：(1)A中元素1，即x1，代入對(duì)應(yīng)關(guān)系得，即與A中元素1相對(duì)應(yīng)的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此與B中元素相對(duì)應(yīng)的A中的元素是4.典例(12分)如圖所示，已知底角為45的等腰梯形ABCD，底邊BC長(zhǎng)為7 cm，腰長(zhǎng)為2 cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BFx cm，試寫出左邊部分的面積y(cm2)關(guān)于x(

10、cm)的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象規(guī)范解答過(guò)點(diǎn)A，D分別作AGBC，DHBC，垂足分別是G，H.因?yàn)锳BCD是等腰梯形，底角為45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm.又因?yàn)锽C7 cm，所以ADGH3 cm.(2分)活學(xué)活用某汽車以52 km/h的速度從A地行駛到260 km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，試將汽車離開A地后行駛的路程s表示為時(shí)間t的函數(shù)解：因?yàn)?60525,260654，所以，當(dāng)0t5時(shí)，s52t；當(dāng)5t6.5時(shí)，s260；當(dāng)6.5t10.5時(shí)，s26065(t6.5)所以s隨堂即時(shí)演練1下列對(duì)應(yīng)關(guān)系f中，能構(gòu)成從集合A到集合B

11、的映射的是()AAx|x0，BR，f：x|y|x2BA2,0,2，B4，f：xyx2CAR，By|y0，f：xyDA0,2，B0,1，f：xy解析：選D對(duì)于A，集合A中元素1在集合B中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于B，集合A中元素0在集合B中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于C，集合A中元素0在集合B中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)故A，B，C均不能構(gòu)成映射2已知函數(shù)f(x)則正確的函數(shù)圖象是()解析：選A當(dāng)x1時(shí)，y0，即圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，顯然D錯(cuò)；當(dāng)x0時(shí)，y1，即圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，C錯(cuò)；當(dāng)x1時(shí)，y2，即圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，B錯(cuò)所以選A.3若f(12x)(x0)，那么f_.解析：令12xt，則x(t1)，f(t)1，即

12、f(x)1，f 16115.答案：154函數(shù)f(x)若f(x)3，則x的值是_解析：當(dāng)x1時(shí)，x23，得x1，舍去；當(dāng)1x2時(shí)，x23得x或x(舍去)答案：5.如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)(1)求f(f(0)的值；(2)求函數(shù)f(x)的解析式解：(1)直接由圖中觀察，可得f(f(0)f(4)2.(2)設(shè)線段AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為ykxb(k0)，將與代入，得y2x4(0x2)同理，線段BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為yx2(20時(shí)，有一個(gè)解x2.綜上，f(x) x有3個(gè)解答案：3三、解答題9已知函數(shù)f(x)(1)求f(f(f

13、(5)的值；(2)畫出函數(shù)的圖象解：(1)54，f(5)523.30，f(f(5)f(3)341.014，f(f(f(5)f(1)12211，即f(f(f(5)1.(2)圖象如右圖所示10.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，從B點(diǎn)開始，沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(如圖)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的距離為x，ABP的面積為y，求函數(shù)yf(x)及其定義域解：如題圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，即0x4時(shí)，y4x2x；當(dāng)P點(diǎn)在線段CD上，即4x8時(shí)，y448；當(dāng)P點(diǎn)在線段DA上，即8x12時(shí)，y4(12x)242x.yf(x)且f(x)的定義域是0,1211.如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，ABP的面積為yf(x)(1)求ABP的面積與P移動(dòng)的路程的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求f(x)的最大值解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,12)當(dāng)0x4時(shí)，Sf(x)4x2x；當(dāng)4x8時(shí)，Sf(x)448；當(dāng)8x12時(shí)，Sf(x)4(12x)242x.函數(shù)解析式為f(x)(2)圖象如圖所示從圖象可以看出f(x)max8.12設(shè)A1,2,3，m，B4,7