高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第一課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教A版選修

1、第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)提出問題圖中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)問題1：橢圓具有對(duì)稱性嗎？提示：有橢圓是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，也是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形問題2：可以求出橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？提示：可以，令y0得xa，故A1(a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)問題3：橢圓方程中x，y的取值范圍是什么？提示：xa，a，yb，b問題4：當(dāng)a的值不變，b逐漸變小時(shí)，橢圓的形狀有何變化？提示：b越小，橢圓越扁 導(dǎo)入新知橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)A1(a

2、,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e(0e1)化解疑難1由不等式11可得|x|a，由11可得|y|b，從而可得橢圓的范圍2橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)共六個(gè)特殊點(diǎn)，研究橢圓時(shí)一定要注意這六個(gè)特殊點(diǎn)的位置，注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2a，而不是a.3橢圓的離心率e的大小，描述了橢圓的扁平程度e越接近1，則c就越接近a，從而b越小，因此，橢圓越扁；反之，e越接近0，則c就越接近0

3、，從而b越接近a，這時(shí)橢圓越接近圓特別地，當(dāng)ab時(shí)，c0，橢圓就變?yōu)閳A了，此時(shí)方程為x2y2a2.橢圓的幾何性質(zhì)例1求橢圓4x29y236的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓方程變形為1，a3，b2，c .橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，離心率e.類題通法求橢圓的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分清楚焦點(diǎn)的位置，這樣便于直觀地寫出a，b的數(shù)值，進(jìn)而求出c，求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)活學(xué)活用已知橢圓C1：1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的

4、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)解：(1)由橢圓C1：1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，(6,0)，離心率e.(2)橢圓C2：1，性質(zhì)：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8,0)，(8,0)；離心率：e.利用橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程為1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)如圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，則cb3，a2b2c218，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.類題通法(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：確定焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)橢圓的方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式為b2a2c2，e等(2)在橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)中，

6、軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件確定的橢圓方程可能有兩個(gè)活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率e；(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且過點(diǎn)A(5,0)解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意知解得a，b1，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意，得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.橢圓的離心率例3如圖，已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，

7、P為橢圓上的一點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB(O為橢圓的中心)時(shí)，求橢圓的離心率解由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則由題意可知P.PF1OBOA，即bc，a22c2，e. 類題通法橢圓的離心率的求法求橢圓的離心率，關(guān)鍵是尋找a與c的關(guān)系，一般地：(1)若已知a，c，則直接代入e求解；(2)若已知a，b，則由e 求解；(3)若已知a，b，c的關(guān)系，則可轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為含e的方程求解即可活學(xué)活用若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析：選A依題意，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B

8、60，acos 60c，即橢圓的離心率e.典例已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率e，且過P(2,3)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由題意知解得b210，a240.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由題意得解得b2，a225.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.易錯(cuò)防范求解時(shí)不討論焦點(diǎn)的位置，而默認(rèn)為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，這是最常見的錯(cuò)解成功破障若橢圓1的離心率e，則k的值等于_解析：分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2k8，b29，得c2k1，又e，解得k4.當(dāng)

9、焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a29，b2k8，得c21k，又e，解得k.k4或k.答案：4或隨堂即時(shí)演練1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸3等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A因?yàn)?a18,2c2a6，所以a9，c3，b281972.2橢圓C1：1與橢圓C2：1(k9)()A有相同的長(zhǎng)軸 B有相同的短軸C有相同的焦點(diǎn) D有相等的離心率解析：選C259(25k)(9k)，故兩橢圓有相同的焦點(diǎn)3橢圓x24y216的短軸長(zhǎng)為_解析：由1可知b2，短軸長(zhǎng)2b4.答案：44直線x2y20經(jīng)過橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率e_.解析

10、：由題意知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，在直線x2y20中，令y0得c2；令x0得b1.a.e.答案：5求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12；(2)對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是(0,7)，一個(gè)頂點(diǎn)是(9,0)解：(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，2a12，即a6.橢圓的離心率為，e，b29.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則b9.因?yàn)閏7，所以a2b2c28149130，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1橢圓以兩條坐

11、標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(13,0) B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：選D由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)2已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1解析：選A由橢圓的性質(zhì)知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又AF1B的周長(zhǎng)|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，橢圓的方程為1.3已知橢圓1與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓1的短軸長(zhǎng)

12、與橢圓1的短軸長(zhǎng)相等，則()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29解析：選D因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓1的短軸長(zhǎng)為6，所以a225，b29.4已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若AP2PB，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.解析：選DAP2PB，|AP|2|PB|.又POBF，即，e.5過橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若F1PF260，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析：選B法一：將xc代入橢圓方程可解得點(diǎn)

13、Pc，故|PF1|，又在RtF1PF2中F1PF260，所以|PF2|，根據(jù)橢圓定義得2a，從而可得e.法二：設(shè)|F1F2|2c，則在RtF1PF2中，|PF1|c，|PF2|c.所以|PF1|PF2|2c2a，離心率e.二、填空題6與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4的橢圓方程是_解析：橢圓9x24y236可化為1，因此可設(shè)待求橢圓為1.又b2，故m20，得1.答案：17橢圓1的離心率為，則m_.解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，m3；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m.綜上，m3或m.答案：3或8已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為， 且過P(5,4)，則橢圓的方程為_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0)，橢圓過點(diǎn)P(5,4)，1.解得a245.橢圓的方程為1.答案：1三、解答題9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由e知，故，從而，.由ABF2的周長(zhǎng)為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程