2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題解析

1、高一數(shù)學競賽訓練試題（2）一填空題：本大題共10小題，每小題7分，共70分1設方程的根大于，且小于，則實數(shù)的范圍是 2從6雙不同號碼的鞋中取出4只，至少配成一雙的概率為 3設實數(shù)，滿足x2-4x+y2+30，則的最大值與最小值之差是 4若存在正實數(shù)，滿足（是虛數(shù)單位，），則的最小值是 5若三角形的三邊，成等差數(shù)列，則的取值范圍是 6若數(shù)列滿足，（），則滿足條件的的所有可能值之積是 7已知，則 8設，且滿足，則的最大值為 9復數(shù)z1，z2滿足|z1|3，|z2|5，|z1+z2|6，則|z1-z2| _10將小王和小孫現(xiàn)在的年齡按從左到右的順序排列得到一個四位數(shù)，這個四位數(shù)為完全平方數(shù)，再過31

2、年，將他們倆的年齡以同樣方式排列又得到一個四位數(shù)，這個數(shù)仍為完全平方數(shù)，小王現(xiàn)在的年齡是 二解答題：本大題共4小題，每小題20分，共80分11在中，分別是角的對邊，設求的值12如圖，梯形中，、關于對角線對稱的點分別是、，、關于對角線對稱的點分別是、證明：四邊形是梯形13設關于x的一元二次方程2x2tx20的兩個根為a、b，(t為實數(shù)，ab) 若x1，x2為區(qū)間a，b上的兩個不同點，求證：4x1x2t(x1x2)40； 設f(x)，f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值分別為fmax與fmin，g(t)fmaxfmin，求g(t)的最小值14正100邊形的每個頂點染紅、黃、藍三色之一證明：必存在

3、四個同色點，恰為某等腰梯形的頂點11在中，分別是角的對邊，設求的值分析化角為邊轉(zhuǎn)化為三角關系處理解由正弦定理及角變換求解由，得再由三角形內(nèi)角和定理及得，所以，又，代入到中得，由得，從而，所以13設關于x的一元二次方程2x2tx20的兩個根為a、b，(t為實數(shù)，ab) 若x1，x2為區(qū)間a，b上的兩個不同點，求證：4x1x2t(x1x2)40； 設f(x)，f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值分別為fmax與fmin，g(t)fmaxfmin，求g(t)的最小值(湖南省2002年高中數(shù)學競賽)解 考察函數(shù)h(x)=2x2tx2由于ax1，x2b，故2x12tx120，2x22tx220，兩式相加得2(x12x22)t(x1x2)40又4x1x22(x12x22)所以4x1x2t(x1x2)42(x12x22)t(x1x2)40。對于t0，及tx40，f(x)=(4)此時f(x)單調(diào)增所以 fmaxf(b)，fmin