截面的幾何性質

1、., -1 截面的靜矩和形心位置, I2 極慣性矩 慣性矩 慣性積,Lectures (八),Appendix Geometric Properties of An Area,附錄1 截面的幾何性質, -1 Static Moment Center of An Area, I2 Polar Inertia Moment Moment of Inertia Product of Inertia,.,附錄 截面的幾何性質, -1 截面的靜矩和形心位置,設任意形狀截面如圖所示。,1. 靜矩（或面積的一次矩）,(常用單位： m3 或mm3 。值：可為正、負或 0 。）,2.形心坐標公式（可由均質等厚薄

2、板的重心坐標而得）,.,3. 靜矩與形心坐標的關系,結論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。,4. 組合截面的靜矩,整個截面對某軸的靜矩應等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和:,.,5. 組合截面的形心坐標公式,將,代入,解得組合截面的形心坐標公式為：,（注：被“減去”部分圖形的面積應代入負值）,.,例1 試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。,解：,取平行于x軸的狹長條，,所以對x軸的靜矩為,.,例2求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標yC。,解：過圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個與x軸平行的窄條，,方法1：直接積分法,.,解：將此圖形分

3、成I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則,例3 求圖示圖形的形心。,由于對稱知： xC=0,矩形I,矩形II、III,.,例4 試計算圖示截面形心C的位置。,解：將截面分為I、II兩個矩形。,建立坐標系如圖示。,各矩形的面積和形心坐標如下：,矩形I,矩形II,.,代入組合截面的形心坐標公式,解得：,方法2：分組疊加法,矩形I,A1=70110=7700mm2,x1=45mm, y1=65mm,矩形II,A2=80120=9600mm2,x1=40mm, y1=60mm,方法3：負面積法,組合圖形,., I2 極慣性矩 慣性矩 慣性積

4、,設任意形狀截面如圖所示。,1.極慣性矩（或截面二次極矩）,2.慣性矩（或截面二次軸矩）,（為正值，單位m4 或 mm4),所以,（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。）,.,3. 慣性積,（其值可為正、負或0，單位:m4 或 mm4),（3）慣性半徑,（單位m 或 mm）,（1）若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為零；,（2）慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩,特點,.,例5 試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩和慣性積。,解：,取平行于x軸的狹長條，,則 dA=b dy,同理,因為x、y軸皆為

5、對稱軸，故Ixy=0,.,例6 試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。,解：,由于圓截面有極對稱性，,所以,所以,y,.,-3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣性矩和慣性積,1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式,1.公式推導,.,b和a是圖形的形心C在Oxy坐標系中的坐標，所以它們是有正負的。,3.注意：,xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最小；,2.平行移軸公式,二、組合圖形的慣性矩：,組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其 各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和,.,例7 求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩,解：,（1）求形

6、心坐標,.,（2）求對形心軸xc的慣性矩,由平行移軸公式得：,.,例8 試求圖a 所示截面對于對稱軸x的慣性矩。,解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。,（1）矩形對x的慣性矩：,（2）一個半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）,.,（3）一個半圓對x的慣性矩：,由平行移軸公式得：,（4）整個截面對于對稱軸x的慣性矩：,.,問題？,x1,每個組合圖形的形心慣性矩對 新坐標的慣性矩的代數(shù)和！,注意：,.,思考 2.,已知矩形截面對x1軸的慣性矩Ix1=bh3/3， x2與x1軸平行，二者之間的距離為a， 求矩形截面對軸x2的慣性矩。,解法一：,直接用Ixc計算對x2軸的慣性矩,xc,a2,解法

7、二：,用平行移軸定理,作業(yè)：I-1d I-3a,.,.,-4 慣性矩和慣性積的轉軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩,1.慣性矩和慣性積的轉軸公式,任意面元dA 在舊坐標系oxy和新坐標系ox1y1的關系為：,代入慣性矩的定義式：,.,利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉軸公式 ：,.,注：,上式中的 的符號為：從舊軸x至新軸x1逆時針為正，順時針為負。,（上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩 ）,將前兩式相加得,.,由慣性積的轉軸公式可知，當坐標軸旋轉時，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角度0，使截面對于

8、新坐標軸x0、y0的慣性積等于零。,2.截面的主慣性軸和主慣性矩,(1) 主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標軸。,(2) 主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。,(3) 形心主慣性軸：當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時。,(4) 形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。,.,(5)確定主慣性軸的位置,設0是舊軸x 逆時針轉向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉軸公式及主慣性軸的定義，得,可改寫為,（注：將負號置于分子上有利于確定2 0角的象限）,.,(6) 幾個結論,若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。,若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。,若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。,.,例I-7 計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩,圖形的對稱中心C為形心，在C點建立坐標系xCy如圖,將整個圖形分成I