7.3曲面及其方程

1、,四、二次曲面,第三節(jié),一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱面,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡得,即,說明: 動點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為,軌跡方程.,1.定義,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0,(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,(2) 不在

2、曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,有下述關(guān)系:,故所求方程為,例1. 求動點(diǎn)到定點(diǎn),軌跡方程.,特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為,解: 設(shè)軌跡上動點(diǎn)為,即,依題意,距離為 R 的,表示上(下)球面 .,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，

3、求曲面方程,二、旋轉(zhuǎn)曲面,1.定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,播放,這條旋轉(zhuǎn)曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線,例如 :,旋轉(zhuǎn)過程中的特征：,如圖,將 代入,得方程,思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？,解,圓錐面方程,例4 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙曲面,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,柱面舉例,拋物柱面,平面,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實(shí) 例,橢圓

4、柱面 / 軸,雙曲柱面 / 軸,拋物柱面 / 軸,四、二次曲面,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅,就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),1. 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.,(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換,得到, 見書 P316 ),2. 橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,與,的交線為橢圓：,(4) 當(dāng) ab 時(shí)

5、為旋轉(zhuǎn)橢球面;,同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當(dāng)abc 時(shí)為球面.,(3) 截痕:,為正數(shù)),3. 雙曲面,(1)單葉雙曲面,橢圓.,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于x 軸；,虛軸平行于z 軸）,平面,上的截痕情況:,雙曲線:,虛軸平行于x 軸）,時(shí), 截痕為,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于z 軸;,相交直線:,雙曲線:,(2) 雙葉雙曲面,雙曲線,橢圓,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,雙曲線,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,圖形,4. 拋物面,(1) 橢圓拋物面,( p , q 同號),(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的 旋轉(zhuǎn)拋物面.,( p , q 同號),曲面方程的

6、概念,旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.,柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).,四、小結(jié),思考題,指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？,思考題解答,平面解析幾何中,空間解析幾何中,斜率為1的直線,方程,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸

7、,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定

8、直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的

9、曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為

10、柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)