導(dǎo)數(shù)含參數(shù)取值范圍分類討論題型總結(jié)與方法歸納

1、導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型十七：含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論問題含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論問題1求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的解析式含有參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）, 導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根中有參數(shù)也落在定義域內(nèi)，但不知這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起討論。 已知函數(shù)（a0）,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例1 已知函數(shù)（a0）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例3已知函數(shù)，其中。（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）由于，所以 ,由，得。這兩個(gè)實(shí)根都在定義域R內(nèi)，但不知它們之間 的大小。因此，需對(duì)參數(shù)的取值分和兩種情況進(jìn)行討論。 (1)當(dāng)時(shí)，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，

2、在區(qū)間為增函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值； 函數(shù)在處取得極大值。（1） 當(dāng)時(shí)，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。 以上三點(diǎn)即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個(gè)基本討論點(diǎn)，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，可按上述三點(diǎn)的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。因此，對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時(shí)的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握。 (區(qū)間確定零點(diǎn)不確定的典例)例4 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3a5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9x11）時(shí)，一年的銷售量

3、為（12-x）2萬件.（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).X=12y 令L=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）. 3a5,86+a.912x 在x=6+a兩側(cè)L的值由正變負(fù).0 所以當(dāng)86+a9即3a時(shí)， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).

4、當(dāng)96+a即a5時(shí)，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若a5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6+a)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(萬元).（導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定，但區(qū)間端點(diǎn)不確定引起討論的典例）例2、已知 ().求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; ().求函數(shù)在上的最小值; ()對(duì)一切的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：() ()()0tt+2，t無解； ()0tt+2，即0t0）,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例3 已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（

5、）設(shè)為在區(qū)間上的最小值。 （）寫出的表達(dá)式； （）求的取值范圍，使得。解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?，由得?？紤]是否落在導(dǎo)函數(shù)的定義域內(nèi)，需對(duì)參數(shù)的取值分及兩種情況進(jìn)行討論。（1） 當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2） 當(dāng)時(shí)，由，得；由，得。因此，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為。（）（）由第（）問的結(jié)論可知：（1） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，所以。（2） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以： 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以。 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以。綜上所述，（）令。若，無解；若，由解得； 若，由解得。綜上所述，的取值范圍為。三.求導(dǎo)后，因?qū)Ш瘮?shù)

6、為零是否有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式）不確定，而引起的討論。例1已知函數(shù) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例3 設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性。解： ?？紤]導(dǎo)函數(shù)是否有實(shí)根，從而需要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。（一）若，則。由于當(dāng)時(shí)，無實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；（2） 當(dāng)時(shí)，。由，得，因?yàn)?，所以。由，得；由，得。因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。（二）若，則。由于當(dāng)時(shí)，無實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；（2） 當(dāng)時(shí)，。由，得；由，得

7、。因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。綜上所述：（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（3） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。 19設(shè)a0,討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)?shù)呐袆e式當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)，（1）且當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，由 0 0是增函數(shù)，在上0是增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a時(shí)，所以函數(shù)在x=a時(shí)，因?qū)τ泻愠闪ⅲ?求實(shí)數(shù)的取值范圍.極值點(diǎn) 指定區(qū)間端點(diǎn)位置關(guān)系不確定引起討論。討論如下： a0 當(dāng)兩個(gè)極值

8、點(diǎn)都在指定區(qū)間內(nèi)時(shí)。即03a3，也就是0a0時(shí)為什么分為0a0是增函數(shù)，在上0是增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a時(shí)，所以函數(shù)在x=a時(shí)， 有恒成立，等價(jià)于 解得即0a1 當(dāng)兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在指定區(qū)間內(nèi)時(shí)。即03時(shí)，也就是10時(shí)為什么分為0a0是增函數(shù)，在上3時(shí)， （當(dāng)a0時(shí)為什么分為0a0是增函數(shù)， 與 矛盾。 綜上：對(duì)有恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例4設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)的極值點(diǎn)。解：由題意可得的定義域?yàn)?，的分母在定義域上恒為正，方程是否有實(shí)根，需要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。（1）當(dāng)，即時(shí)，方程無實(shí)根或只有唯一根，所以,在上恒成立，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上無極值點(diǎn)。（2）當(dāng)，即時(shí)

9、，方程，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根：。這兩個(gè)根是否都在定義域內(nèi)呢？又需要對(duì)參數(shù)的取值分情況作如下討論：（）當(dāng)時(shí)，所以。此時(shí)，與隨的變化情況如下表：0遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)。（）當(dāng)時(shí)，所以。此時(shí)，與隨的變化情況如下表：遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)。綜上所述：（1） 當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；（2） 當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；（3） 當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)。從以上諸例不難看出，在對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論時(shí)，只要把握以上三個(gè)基本討論點(diǎn)，那么討論就有了方向和切入點(diǎn)，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會(huì)得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。 (19)

10、()小問5分，()小問7分.)已知函數(shù)(其中常數(shù)a,bR),是奇函數(shù).()求的表達(dá)式;()討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.（21）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解：（） 當(dāng) 所以 因此， 即 曲線又所以曲線 （）因?yàn)?，所以 ，令 （1）當(dāng)所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞 （2）當(dāng) 即，解得當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（，）上單調(diào)遞減；函數(shù)在（，）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，

11、+）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)上單調(diào)遞減， (22)已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（）因?yàn)?，所?，令 ， 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)， 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，由于， ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：0（）因?yàn)閍=，由（）知，=1，=3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=

12、，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，同樣與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁?-4b，可得綜上，b的取值范圍是。（21）已知函數(shù). （）討論函數(shù)的單調(diào)性； （）設(shè)，證明：對(duì)任意，.解：() f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+

13、4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，.（21）已知函數(shù)（I） 討論函數(shù)的單調(diào)性；（II） （II）設(shè).如果對(duì)任意，求的取值范圍。解：（）的定義域?yàn)椋?，+）. .當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當(dāng)-10時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，0；時(shí)，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（）不妨假設(shè)，而-1，由（）知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價(jià)于 ， 令，則等價(jià)于在（0，+）單調(diào)減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-2. (18)已知函數(shù)()=In

14、(1+)-+(0)。()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當(dāng)時(shí)，由于， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 即 （II），.當(dāng)時(shí)，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是20、（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。(i)求證：函數(shù)

15、具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|0，所以對(duì)任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|，符合題設(shè)。當(dāng)時(shí)，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。待研究的以下問題在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)涉及的分類討論問題；在求函數(shù)的極值與最值問題引出分類討論問題；在涉及函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)引起的分類討論問題；參考資

16、料：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與分類討論【例】 設(shè)函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中aR. （）若f（x）在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值； （）若f（x）在（-，）上為增函數(shù)，求a的取值范圍. 解： （）f （x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）. f（x）在x=3處取得極值， f （）（-a）=0，a=3，檢驗(yàn)知成立. （）由f （x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1. 若a0，所以f （x）在（，a）和（，）上為增函數(shù)，而f（x）在（，）上為增函數(shù)，所以a0，所以f （x）在（，1）和（a，）上為增函數(shù)，f（x）在（，）上也為增函數(shù). 綜上，所求a的取值范圍為，）. 【點(diǎn)評(píng)】 （）中對(duì)a的值進(jìn)行分類討論，當(dāng)a0，當(dāng)x變化時(shí)，函數(shù)遞增與遞減及極值情況如下表：若ax0時(shí)， h（x）0；當(dāng)xx0時(shí)，h（x）0，且b1”是不等式成立的必要條件. 下面在a0，且0b1的條件下求a與b所滿足的關(guān)系式及b的取值范圍. x2+1ax+b x2-ax+（1-b）0，對(duì)任意x 0，）成立的充要