趣味數(shù)學(xué)157：《九章算術(shù)》中的應(yīng)用題

1、九章算術(shù)中一些常見(jiàn)的應(yīng)用題下面是從九章算術(shù)中選錄的一些常見(jiàn)的應(yīng)用題。從這些題目的解法中，可以體會(huì)到古人是怎樣思考問(wèn)題的，對(duì)于活躍我們的解題思路，加深對(duì)傳統(tǒng)文化的認(rèn)識(shí)，都有一定好處。原題1：今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問(wèn)：本持米幾何？答曰：十斗九升八分升之三。術(shù)曰：置米五以所稅者三之五之七之為實(shí)，以余不稅者二、四、六互相乘為法。實(shí)如法得一斗。譯述：“實(shí)如法得一斗”是古算書(shū)的一種習(xí)慣性說(shuō)法，實(shí)如法得一“什么”的意思是“這樣就得到什么數(shù)”?！皩?shí)如法得一斗”的意思是“這樣就得到斗數(shù)”?！敖裼腥顺置壮鋈P(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問(wèn)：

2、本持米幾何？”有人帶了一批米出三道關(guān)口，外關(guān)按貨物的三分之一收稅，中關(guān)按貨物的五分之一收稅，內(nèi)關(guān)按貨物的七分之一收稅，最后還剩下五斗米。問(wèn)：這個(gè)人本來(lái)帶了多少米？“答曰：十斗九升八分升之三?！贝鸢甘牵?0斗9升?！靶g(shù)曰：置米五斗以所稅者三之五之七之為實(shí)，以余不稅者二、四、六互相乘為法。實(shí)如法得一斗?！苯夥ㄊ牵河酶麝P(guān)口計(jì)稅時(shí)的總份數(shù)3、5、7乘5斗作為被除數(shù)，以各關(guān)口收稅后余下的份數(shù)2、4、6相乘的積作為除數(shù)。這樣就得到斗數(shù)。5357(31)(51)(71)10.9375(斗)，10.9斗10斗9升，0.0375升升，所以，這個(gè)人本來(lái)帶了10斗9升米?，F(xiàn)在的解法是：5(1)(1)(1)55575

3、3642，與上式基本相同。原題2：今有鳧(f)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今鳧雁俱起，問(wèn)：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。術(shù)曰：并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實(shí)。實(shí)如法得一日。“鳧”就是野鴨。譯述：“今有鳧起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今鳧雁俱起，問(wèn)：何日相逢？”野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天。野鴨和大雁同時(shí)分別從南海和北海出發(fā)，多少天相遇？“答曰：三日十六分日之十五”答案是：3日。“術(shù)曰：并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實(shí)。實(shí)如法得一日。”解法是：以各自需要的天數(shù)的和為除數(shù)，以各自需要的天數(shù)的積為被除數(shù)。這樣就得到日數(shù)。(79)(79)3(日)現(xiàn)在的解法是：1()

4、1(79)(79)3(日)，與上式基本相同。原題3：今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問(wèn)：幾何步及之？答曰：二百五十步。術(shù)曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，余四十步為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步為實(shí)。實(shí)如法得一步。譯述：“今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問(wèn)：幾何步及之？”有一個(gè)善于走路的人和一個(gè)不善于走路的人。善于走路的人走100步的同時(shí)，不善于走路的人只能走60步?，F(xiàn)在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？“答曰：二百五十步?！贝鸢甘牵?50步。“術(shù)曰：置善行者一百步，減不善

5、行者六十步，余四十步為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步為實(shí)。實(shí)如法得一步?！苯夥ㄊ牵河蒙朴谧呗返娜说?00步，減不善于走路的人的60步，所得的差40步為除數(shù)，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的積為被除數(shù)。這樣就得到步數(shù)。100100(10060)250(步)現(xiàn)在的解法是：100(10060)100250(步)，與上式基本相同。原題4：今有乘傳委輸空車(chē)日行七十里，重車(chē)日行五十里。今載太倉(cāng)粟輸上林五日三返。問(wèn)：太倉(cāng)去上林幾何？答曰：四十八里十八分里之十一。術(shù)曰：并空重里數(shù)以三返乘之為法，令空重相乘，又以五日乘之為實(shí)。實(shí)如法得一里。譯述：“乘傳”的意思是駕馬車(chē)在

6、驛站間行駛?！拔敗钡囊馑际前沿浳锓旁谲?chē)上運(yùn)到別處?！敖裼谐藗魑斂哲?chē)日行七十里，重車(chē)日行五十里。今載太倉(cāng)粟輸上林五日三返。問(wèn)：太倉(cāng)去上林幾何？”駕馬車(chē)在驛站間運(yùn)送貨物，空車(chē)一日行70里，重車(chē)一日行50里?，F(xiàn)在從太倉(cāng)運(yùn)谷子到上林，5日往返3次。問(wèn)：太倉(cāng)距上林多少里？“答曰：四十八里十八分里之十一?！贝鸢甘牵?8里。“術(shù)曰：并空重里數(shù)以三返乘之為法，令空重相乘，又以五日乘之為實(shí)。實(shí)如法得一里?！苯夥ㄊ牵嚎哲?chē)與重車(chē)所行里數(shù)的和乘3作為除數(shù)，空車(chē)與重車(chē)所行里數(shù)相乘的積乘5作為被除數(shù)。這樣就得到里數(shù)。70505(7050)348(里)現(xiàn)在的解法是：5()3548(里)，與上式基本相同。原題5：今有池五

7、渠注之，其一渠開(kāi)之少半日一滿(mǎn)，次一日一滿(mǎn)，次二日半一滿(mǎn)，次三日一滿(mǎn)，次五日一滿(mǎn)。今皆決之，問(wèn)：幾何日滿(mǎn)也？答曰：七十四分日之十五。術(shù)曰：各置渠一日滿(mǎn)池之?dāng)?shù)，并以為法。(按此術(shù)，其一渠少半日滿(mǎn)者，是一日三滿(mǎn)也；次一日一滿(mǎn)；次二日半滿(mǎn)者，是一日五分滿(mǎn)之二也；次三日滿(mǎn)者，是一日三分滿(mǎn)之一也；次五日滿(mǎn)者，是一日五分滿(mǎn)之一也。并之，得四滿(mǎn)十五分滿(mǎn)之十四也。)以一日為實(shí)。實(shí)如法得一日。譯述：“今有池五渠注之，其一渠開(kāi)之少半日一滿(mǎn)，次一日一滿(mǎn)，次二日半一滿(mǎn)，次三日一滿(mǎn)，次五日一滿(mǎn)。今皆決之，問(wèn)：幾何日滿(mǎn)也？”一個(gè)水池有五條進(jìn)水渠。單開(kāi)第一條水渠日注滿(mǎn)，單開(kāi)第二條水渠1日注滿(mǎn)，單開(kāi)第三條水渠2日注滿(mǎn)，單開(kāi)第四條渠3日注滿(mǎn)，單開(kāi)第五條水渠5日注滿(mǎn)。五條水渠一齊開(kāi)，問(wèn)：幾日注滿(mǎn)水池？“答曰：七十四分日之十五?！贝鸢甘牵喝??！靶g(shù)曰：各置渠一日滿(mǎn)池之?dāng)?shù)，并以為法。(按此術(shù)，其一渠少半日滿(mǎn)者，是一日三滿(mǎn)也；次一日一滿(mǎn)；次二日半滿(mǎn)者，是一日五分滿(mǎn)之二也；次三日滿(mǎn)者，是一日三分滿(mǎn)之一也；次五日滿(mǎn)者，是一日五分滿(mǎn)之一也。并之，得四滿(mǎn)十五分滿(mǎn)之十四也。)以一日為實(shí)。實(shí)如法得一日。”解法是：把各渠一日注滿(mǎn)水池的次數(shù)相加作為除數(shù)。(按照這個(gè)方法：第一條水渠1日注滿(mǎn)3次，第二條水渠1日注滿(mǎn)1次，第三條水渠1日注滿(mǎn)水池的，第四條水渠1日注滿(mǎn)水池的，第五條水渠1日注滿(mǎn)水池的。加在一起，得4。)以1日為被除數(shù)。這