二叉樹模型入門.ppt

1、,第12章 二叉樹模型介紹,2,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,3,二項式期權(quán)定價模型,要對期權(quán)進行定價，我們需要知道標的資產(chǎn)價格如何變動 簡單但非常有力的一個模型是二項式模型 - 在每個（很短）的時間間隔期末，股票價格只能有兩個可能的取值 - 當時間間隔足夠短，這是很好的近似 - 有利于解釋期權(quán)定價模型背后所包含的原理 - 可以用于對象美式期權(quán)這樣的衍生證券進行定價,4,把期權(quán)的有效期分為很多

2、很小的時間間隔 ，并假設在每一個時間間隔 內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：,1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；,2、下降到原先的 倍，即 相應地，期權(quán)價值也會有所不同， 分別為 和,5,相同期限下步長越小,精確度越高,5,二叉樹模型的思想實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動,6,此時,因為是無風險組合，可用無風險利率貼現(xiàn)，得,將 代入上式就可得到：,其中,6,無套利定價法： 構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當 時,股票價格的變動對組合無影響則組合為無風險組合,7,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性

3、定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,8,假設一種股票當前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。 假設股票三個月內(nèi)不付紅利。 歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格$21，有效期為三個月后以買入股票的進行估值。,9,單步二叉樹模型,10,定價思路： 構(gòu)造一個股票和期權(quán)的組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的。 它的收益率一定等于無風險收益率。 由此得出該期權(quán)的價格。 構(gòu)造組合： 該組合包含一個股股票多頭頭寸 和一個看漲期權(quán)的空頭頭寸。,11,上升時：股票價格從$20上升到$22，期權(quán)的價

4、值為$l，該證券組合的總價值為22-1； 下降時：股票價格從$20下降到$18，期權(quán)的價值為零，該證券組合的總價值為18。 如果選取某個值，以使得該組合的終值對兩個股票價格都是相等的，則該組合就是無風險的。 221=18 =0.25,12,一個無風險的組合是： 多頭：0.25股股票 空頭：一個期權(quán) 定價： 如果股票價格上升到$22，該組合的價值為： 220.25-14.5 如果股票價格下跌到$18，該組合的價值為：180.254.5 無論股票價格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。,13,在無套利均衡的情況下，無風險證券組合的盈利必定為無風險利率。 假設在這種情況下，

5、無風險利率為年率12。 該組合現(xiàn)在價值一定是$4.5的現(xiàn)值。 即：4.5e-0.120.25=4.3674 股票現(xiàn)在的價格已知為$20。 假設期權(quán)的價格由f來表示。 現(xiàn)在該組合的價值：200.25f=5f=4.3674 即f=0.633,14,偏離均衡價格時的套利： 如果期權(quán)的價值超過了$0.633，構(gòu)造該組合的成本就有可能低于$4.367，并將獲得超過無風險利率的額外收益； 如果期權(quán)的價值低于$0.633，那么賣空該證券組合將獲得低于無風險利率的資金。,15,單步二叉樹的一般結(jié)論,假設：期權(quán)的期限為T，U1,d1 股票上漲的比率為u-1 股票下跌的比率為1-d u+d=2,16,組合 股股票

6、多頭 期權(quán)空頭 當股票上升，有效期末組合價值S0u-fu 當股票下降，有效期末組合價值S0d-fd 得S0u-fu= S0d-fd,17,T0 成本S0-f 組合現(xiàn)值 得 得,18,已知 u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，fu=1，fd=0,19,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,20,風險中性,上述期權(quán)定價是根據(jù)標的股票的價格估計期權(quán)的價值，未來上升和下降的概率已包括在股票價格

7、中，說明，當根據(jù)股票的價格為期權(quán)定價時，不需要股票價格上升和下降的概率。,21,E（f）=pfu+（1-p）fd，期權(quán)的預期收益 根據(jù)p的解釋，p是上升的概率，（1-p）下降的概率 得，f的價值是其未來預期收益按照無風險利率的貼現(xiàn)值,22,風險中性,變量p解釋為股票價格上升的概率，于是變量1p，就是股票價格下降的概率。 在T時刻預期的股票價格ST： E（ST）=pS0u+(1-p)S0d 即E（ST）=pS0（u-d）+S0d 。 將 代入上式，化簡得： E（ST）=S0erT 即：平均來說，股票價格以無風險利率增長。 因此，設定上升運動的概率等于p就是等價于假設股票收益等于無風險利率,23,

8、風險中性的例子,S0=20 S0u=22，S0d=18 K=21 fu=1，fd=0 r=0.12，T=0.25,E（f）=pfu+（1-p）fd,24,12.2,用單步二叉樹圖說明無套利和風險中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值 解：在無套利方法中，我們通過期權(quán)及股票建立無風險資產(chǎn)組合，使組合收益率等價于無風險利率，從而對期權(quán)估值。 在風險中性估值方法中，我們選取二叉樹概率，以使股票的期望收益率等價于無風險利率，而后通過計算期權(quán)的期望收益并以無風險利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價值。,25,12.4,某個股票現(xiàn)價為$50。已知6個月后將為$45或$55。無風險年利率為10（連續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$50，6個月后

9、到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？,-f+50=-26.16 所以，f =-50*0.5+26.16=1.16,看跌期權(quán)的價值f=（0*0.7564+5*0.2436）e-0.1*0.5 =1.16,26,12.16,某個股票現(xiàn)價為$50。已知在6個月后，股價將變?yōu)?60或$42。無風險年利率為12（連續(xù)復利）。計算執(zhí)行價格為$48，有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少。證明無套利原理和風險中性估價原理得出相同的答案。,27,12.16,28,12.16,29,12.1,股票現(xiàn)價為$40。已知在一個月后股價為$42或$38。無風險年利率為8（連續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$39的1個月期歐式看漲期權(quán)

10、的價值為多少？ 解：考慮一資產(chǎn)組合：賣空1份看漲期權(quán)；買入份股票。 若股價為$42，組合價值則為423； 若股價為$38，組合價值則為38 當42338，即0.75時， 組合價值在任何情況下均為$28.5，其現(xiàn)值為： 28.5e0.08*0.08333=28.31 即：f4028.31 其中f為看漲期權(quán)價格。 所以，f400.75 - 28.31=$1.69 另解：（計算風險中性概率p） 42p+38(1-p)=40erT =40e0.08*0.08333 4p=40e0.08*0.08333 -38 P=0.5669. 期權(quán)的價值應是其預期收益以無風險利率的貼現(xiàn)值。 f=(3*0.5669+

11、0*0.4331) e-0.08*0.08333 =1.69美元,30,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,31,兩步二叉樹圖的例子 1）條件： 開始的股票價格為$20，并在兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價格可以上升10或者下降10。 我們假設在每個單步二叉樹的步長是三個月，無風險利率是年率12。 期權(quán)的執(zhí)行價格為$21,32,33,34,35,計算在節(jié)點B的期權(quán)價格： u=1.1,d=0.

12、9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 節(jié)點B的期權(quán)價格為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 同理求出節(jié)點C的期權(quán)價格為：0 計算節(jié)點A的期權(quán)價格: 知道在節(jié)點B的期權(quán)價值為2.0257;以及在節(jié)點C的期權(quán)價值為零。 因此，節(jié)點A的期權(quán)價值： e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 于是期權(quán)的價格為:$1.2823,36,二叉樹的一般結(jié)論,無風險利率是r。每個單步二叉樹的時間長度t,37,因為 所以 將1式，2式，帶入3式，得到,38,p2, 2p(1-p), (1-p)2是達到最后上、中、下三個節(jié)點

13、的概率。 衍生證券的價格等于它在它在風險中性世界的預期收益按無風險利率貼現(xiàn)的值。,39,12.5,某個股票現(xiàn)價為$100。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為6個月，每個單步二叉樹預期上漲10，或下降10。無風險年利率為8（連續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？,40,41,12.6,考慮習題12.5中的情況，執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價關系。,42,12.6,43,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌

14、期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,44,看跌期權(quán)的例子P203,兩年歐式看跌期權(quán)，K=52,S0=50,t=1，股票價格或者按比例 （+-）=20%,u=1.2,d=0.8,r=0.05，風險中性概率p,45,12.9,某個股票現(xiàn)價為$50。已知在兩個月后，股票價格為$53或$48。無風險年利率為10（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$49的兩個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？,46,12.9,u1,d1 股票上漲的比率為u-1=0.06 股票下跌的比率為1-d=0.04 u+d=2 3/50=0.06,2/

15、50=0.04,47,12.10,某個股票現(xiàn)價為$80。已知在4個月后，股票價格為$75或$85。無風險年利率為5（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$80的4個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？,48,12.10,49,12.12,某個股票現(xiàn)價為$50。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為3個月，每個單步二叉樹的股價或者上漲6或者下跌5。無風險年利率為5（連續(xù)復利）。執(zhí)行價格為$51,有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？,50,12.13,考慮習題12.12中的情況，執(zhí)行價格為$51，有效期為6個月的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價關系

16、。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點，提前執(zhí)行期權(quán)是否會更優(yōu)呢？ 解：（1）如上題u=1.06, d=0.95,p=0.5689 計算二叉樹圖的結(jié)果如下,51,如上圖，當?shù)竭_中間的終節(jié)點時，期權(quán)的損益為5150.350.65；當?shù)竭_最低的終節(jié)點時，期權(quán)的損益為5145.1255.875。 因此，期權(quán)的價值為：,（3）為確定提前執(zhí)行是否會更優(yōu)，我們要計算比較每一節(jié)點處立即執(zhí)行期權(quán)的損益。 在C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為5147.53.5，大于2.8664。因此，期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行，在A、B節(jié)點處均不執(zhí)行。,52,12.17,某個股票現(xiàn)價為$40。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長

17、為3個月，每個單位二叉樹的股價或者上漲10或者下跌10。無風險年利率為12（連續(xù)復利）。 (A)執(zhí)行價格為$42的6個月期限的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？ (B)執(zhí)行價格為$42的6個月期限的美式看跌期權(quán)的價值為多少？,53,54,12.17,55,12.18,用“試錯法”來估算習題12.17中的期權(quán)的執(zhí)行價格為多高時，立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的？,在此C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為37-36=1，小于1.552. 因此美式看跌期權(quán)不會在此節(jié)點處被執(zhí)行。,56,（2）假設美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為$38，計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下： 在此C節(jié)點處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為38362，比1.890多0.11收益。因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行。從以上分析可得，當執(zhí)行價格高于或等于$38時，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇。,57,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價 12.2 風險中性定價 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問題 課堂練習,58,Dalta-期權(quán)價格變化與股票價格變化之間的比率,59,結(jié)論 隨著時間而變化 Delta是為了構(gòu)造一個無風險對沖，對每一個賣空的期權(quán)頭寸我們應該持