抽象函數(shù)的單調(diào)性專題

1、.抽象函數(shù)的單調(diào)性專題突破一類：一次函數(shù)型函數(shù)滿足： f (a b)f (a)f (b) k 或f (a b)f (a) f (b)k例 1、f (x) 對任意 x, y R 都有： f (x y)f (x)f ( y) ，當(dāng) x0時, f (x)0 ，又知 f (1)2 ，求 f ( x) 在x 3,3 上的值域。例 2、 f (x) 對任意實數(shù) x 與 y 都有 f ( x) f ( y)f (x y) 2 , 當(dāng) x0 時 , f ( x) 2（ 1）求證 : f ( x) 在 R上是增函數(shù)； （ 2）若 f (1)5, 解不等式 f (2 a3) 32【專練】：1、已知函數(shù)f ( x)

2、 對任意 x， yR 有 f ( x)f ( y) 2 f ( x y) ，當(dāng) x0時， f ( x)2 ， f (3)5，求不等式 f (a 22a)2 3的解集。2、定義在 R 上的函數(shù) f(x) 滿足：對任意 x， y R 都有f ( x y) f (x) f ( y) ，且當(dāng) x0時, f ( x) 0(1) 求證 f (x) 為奇函數(shù)；(2) 若 f(k 3 x )+f(3 x -9 x -2) 0 對任意 xR 恒成立，求實數(shù) k的取值范圍.二類：對數(shù)函數(shù)型函數(shù)滿足： f (agb) f (a)f (b) 或 f ( a) f (a) f (b)b例 1、 f (x) 是定義在 x

3、0 的函數(shù) , 且 f(xy) = f(x) + f(y);當(dāng) x1 時有 f(x)0 上是減函數(shù)；（ 3）解不等式 f(x) + f(2-x) 1 。、若非零函數(shù)f ( x) 對任意實數(shù) a,b 均有 f (a b)f (a) f (b) ，且當(dāng)x0時， f (x)1 ；2（ 1）求證： f ( x) 0；（2）求證： f ( x) 為減函數(shù)（ 3）當(dāng) f (4)1時，解不等式 f ( x 3) f (5 x2 )1；164.四類：冪函數(shù)型函數(shù)滿足： f (agb)f (a)gf (b) 或f ( a )f (a)bf (b)例 1、已知函數(shù) f ( x) 滿足： 對任意 x, yR ，都有

4、 f ( xy)f ( x)gf ( y) ， f ( 1) 1, f (27)9,且當(dāng) 0x 1時， f (x)0,1。（ I）判斷 f ( x) 的奇偶性，（ II ）判斷 f (x) 在 0,上的單調(diào)性，并證明。 （ III）若 a0 ，且f (a 1)3 9 ，求 a 的取值范圍。五類：其他類數(shù)函數(shù)型例 1、定義在1,1 上的奇函數(shù)y f ( x) 有 f (1)1 ,且當(dāng) m, n1,1時 , 總有 : f ( m)f (n)0,( mn) ,1 )f ( 1mn（ I ）證明 : f (x) 在1,1上為增函數(shù) ,(II) 解不等式 : f ( x) ,(III) 若 f ( x)

5、t 22at1 對所有2x1x1,1 , a1,1,.恒成立 求實數(shù) t 的取值范圍.例 2 、定義在（）上的函數(shù)滿足，對任意都有，且當(dāng)時，有， （ 1）試判斷的奇偶性；（ 2）判斷的單調(diào)性；【專練】： 1、已知定義在,1 U (1,) 上的奇函數(shù)滿足： f (3)1 ；對任意的 x2 ，均有 f ( x) 0 ；對任意的 x, yR ，均有 f (x1)f ( y1)f ( xy 1) ；（ 1 ）試求f (2)的值； （ 2 ）求證：f (x) 在 (1,) 上是單調(diào)遞增；（ 3）已知對任意的(0, ) ，不等式f (cos2a sin) 3 恒成立，求 a的取值范圍，2、已知函數(shù) f（ x）的定義域為 x| x k， k Z ，且對于定義域內(nèi)的任何x、 y，有 f（ xy）=f (x) f(y) 1成立，f (y) f (x)且 f（ a） = 1（ a 為正常數(shù)），當(dāng) 0 x 0（ I ）判斷 f（ x）奇偶性；（ II ）證明 f（ x）為周期函數(shù)；（ III ）求 f （ x）在 2a， 3a 上的最小值和最大值3、已知 f (x) 是定義在 - 1,1上的奇函數(shù)，且 f (1) 1，若任意的a、b 1,1 ，總有 ( ab )( f ( a)f (b )0 （ 1 ）判斷函數(shù) f ( x) 在 - 1,1 上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論