線性代數(shù)課件：5_2隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第五章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1,定義1 設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為,若無窮級數(shù),絕對收斂，則稱其和為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ),隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2,定義2 設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量, 其密度函數(shù)為,若廣義積分,絕對收斂，則稱此積分為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ),隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加 權(quán) 平 均， 它是一個數(shù)不再是隨機(jī)變量,3,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),當(dāng)X ,Y 相互獨(dú)立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,4,市場上對某種產(chǎn)品

2、每年的需求量為X 噸 ， X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 , 售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問 應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤 最大？,解,設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤為 Y,顯然，2000 y 4000,例8,5,6,顯然，,故 y = 3500 時，E (Y )最大， E (Y )= 8250萬元,7,例9 假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1). 已知銷售每個零件的利潤 T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關(guān)系：,問平均直徑 為何值時，銷售一個零件的平均 利潤最大？,8,解：,9,即,可以驗(yàn)證，,零件的平均利潤最大,10,引例

3、 甲、乙兩射手各打了10發(fā)子彈，每發(fā)子彈 擊中的環(huán)數(shù)分別為：,甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10,乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9,問哪一個射手的技術(shù)較好？,解 首先比較平均環(huán)數(shù),5.2 方差,11,再比較穩(wěn)定程度,甲：,乙：,乙比甲技術(shù)穩(wěn)定,12,進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度,甲,乙,13,定義 若E (X - E(X)2) 存在，則稱其為隨機(jī)變 量 X 的方差, 記為D (X ) D (X ) = E (X - E(X)2),(X - E(X)2 隨機(jī)變量X 的取值偏離平均值 的情況, 是X的函數(shù), 也是隨機(jī)變量,E(X -

4、 E(X)2 隨機(jī)變量X的取值偏離平均 值的平均偏離程度是一個數(shù)。,14,若 X 為離散型變量，概率分布為,若 X 為連續(xù)型，概率密度為f (x),常用的計算方差的公式：,15,證明：,16,D (C) = 0,D (aX ) = a2D(X),D (aX + b ) = a2D(X),特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則,17,則,若X ,Y 相互獨(dú)立,對任意常數(shù)C, D (X ) E(X C)2 , 當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時等號成立,D (X ) = 0,P (X = E(X)=1 稱為X 依概率 1 等于常數(shù)E(X),18,性質(zhì) 1 的證明：,性質(zhì) 2 的證明：,19,性質(zhì) 3 的證明：

5、,當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)立時，,注意到，,20,性質(zhì) 4 的證明：,當(dāng)C = E(X )時，顯然等號成立；,當(dāng)C E(X )時，,21,例1 設(shè)X P (), 求D ( X ).,解,22,例2 設(shè)X B( n , p)，求D(X ).,解一 仿照上例求D (X ).,解二 引入隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，,故,23,例3 設(shè) X N ( , 2), 求 D( X ),解,24,常見隨機(jī)變量的方差,25,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),26,例4 已知X ,Y 相互獨(dú)立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).,解,故,27,例5 設(shè)X 表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo) n 次為止 所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概 率為 p ，求E(X ), D(X ).,令 X i 表示擊中目標(biāo) i - 1 次后到第 i 次擊中 目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i = 1