09現(xiàn)代控制理論chp4-2

1、第四章穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法a4-1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義a4-2 李亞普諾夫第一法a4-3 李亞普諾夫第二法4-4 李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4-5 李亞普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用14-4 李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用1. 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判椐2. 線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判據(jù)3. 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)4. 線性時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)24-4-1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程是 x& = Ax平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的正實(shí)對(duì)稱矩陣Q, 必存在正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P,滿足李亞普諾夫方程AT P + P

2、A = -QV ( x) = xT Px并且是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)3 證明若選V (x) =xT Px為李亞普諾夫函數(shù)，設(shè)P為n n維正定實(shí)對(duì)稱陣，則V (x)是正定的。將V (x)取時(shí)間導(dǎo)數(shù)得V&( x) = xT Px& + x&T Px將系統(tǒng)的狀態(tài)方程式代入，得V&(x) =xT PAx + ( Ax)T Px= xT (PA +AT P)x欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，則要求V& (x)必須為負(fù)定，即V&(x) = - xT QxQ = -AT P + PA式中為正定的4AT P + PA = -Q 應(yīng)用注意(1) 通常先選取一個(gè)正定矩陣Q,代入李亞普諾夫方程式，解出矩陣P, 然后按希爾維斯

3、特判據(jù)判定P的正定性，進(jìn)而作出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定結(jié)論(2) 為了計(jì)算方便，通常取Q=I,這時(shí)P應(yīng)滿足AT P + PA = -I(3) 若V& (x)沿任一軌跡不恒等于零，則Q可取為半正定的(4) 上述判據(jù)所確定的條件與矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)部的條件等價(jià)，因而判據(jù)所給出的條件是充分必要的。5 例：4-9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1 x- 3- 2x& = 0試分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。 解：設(shè)P = p11p12 pp,Q = -I2122 代入 AT P + PA = -I，有0- 2 p11p12 + p11p12 01 = -10 1- 3 pp pp- 2- 3 0-121解得22 2122 51 P =

4、4411 4464 41 411 5P = 4根據(jù)希爾維斯特判據(jù)知。D1 =5 0,452D= 41414 = 1 0144故矩陣P是正定的，因而系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定?；蛘哂捎赩 (x) = xT Px = 1 (5x2 + 2x x+ x2 )411 2212是正定的，而V&( x) = - xT Qx= -( x2+ x2 )是負(fù)定的。也可得出上述結(jié)論74-4-2線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程是 x& = A(t)x平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣Q(t), 必存在連續(xù)對(duì)稱正定矩陣P(t), 滿足李亞普諾夫方程P

5、& (t) = - AT (t)P(t) - P(t) A(t) - Q(t)V ( x,t) = xT (t)P(t)x(t)并且是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)8 證明設(shè)李亞普諾夫函數(shù)為V ( x,t) = xT (t)P(t)x(t)式中P(t)為連續(xù)的正定對(duì)稱矩陣. 取V(x,t)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)得V (x,t) =xT P(t)x/= x&T P(t)x +xT P& (t)x +xT P(t)x&= xT AT (t)P(t)x +xT P& (t)x +xT P(t)A(t)x= xT AT (t)P(t) +P& (t) +P(t) A(t)xV&(x,t) = - xTQ(t)x即Q(t

6、) = - AT (t)P(t) - P(t) A(t) - P& (t)式中9應(yīng)用注意P& (t) = - AT (t)P(t) - P(t) A(t) - Q(t)是黎卡提(Riccati)矩陣微分方程的特殊情況,其解為0FT (t ,t)Q(t )F(t ,t)dttt000P(t) = FT (t ,t)P(t )F(t ,t) -特別地,當(dāng)取Q(t)=Q=I,則得0FT (t ,t)F(t ,t)dttt000P(t) = FT (t ,t)P(t )F(t ,t) -當(dāng)選取正定矩陣Q = I時(shí)，可由F(t，t)計(jì)算出P(t);再根據(jù)P(t)是否具有連續(xù)、對(duì)稱、正定性來判別線性時(shí)變系

7、統(tǒng)的穩(wěn)定性。104-4-3線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程是 x(k +1) = Gx(k)平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣Q, 必存在連續(xù)對(duì)稱正定矩陣P,滿足李亞普諾夫方程GT PG - P = -QV (x(k ) = xT (k )Px(k )并且是系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)11 證明設(shè)李亞普諾夫函數(shù)為V (x(k ) = xT (k )Px(k )DV x(k )= V x(k+1)-V x(k )= xT (k+ 1)Px(k+ 1) -xT (k )Px(k )= Gx(k)T PGx(k)-xT (k)Px(k)=

8、 xT (k )GT PGx(k ) - xT (k )Px(k )= xT (k )GT PG - Px(k )由于Vx(k)是正定的,根據(jù)漸近穩(wěn)定判據(jù),必要求DV x(k )= - xT (k )Qx(k )Q = -GT PG - P為負(fù)定的,因此矩陣必須是正定的12(1)應(yīng)用注意若DV x(k )=GT PG - P = -Q-xT (k )Qx(k )沿任一解的序列不為零，則Q可取為半正定矩陣。(2) P,Q矩陣滿足上述條件與矩陣G的特征值的絕對(duì)值小于1的條件完全等價(jià), 因而也是充要的.(3) 為了計(jì)算方便，通常取Q=I, 然后驗(yàn)算GT PG - P = -I所確定的實(shí)對(duì)稱矩陣P是否

9、正定,從而做出穩(wěn)定性的結(jié)論.13 例：4-11設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為2 0 x(k )l 0x(k +1) = l1試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的條件。 解：設(shè)P = p11p12 pp,Q = -I2122 代入GT PG - P = -I，有l(wèi)10 p11p12 l10 - p11p12 = -10 0l pp 0l pp 0-12 2122 2 2122 化簡整理得p11(1- l2 ) = 112p12 (1- l1l2 ) = 0p22(1- l2 ) = 114解得101- l2P = 1012 1- l2 要使P為正定的實(shí)對(duì)稱陣，必須滿足l1 1和l2 0,6D2 = - 2

10、- 222 + 6x2= 8 + 36x2 02表明對(duì)x0,Q(x)為正定。此外，當(dāng) x 時(shí)，有V (x) =f T (x) f (x) = - 3x + xx - x- x3 - 3x1 + x2 12122 x - x- x3 = (-3x1 +2x )2+ ( x1 - x22- x3 )2 122 因此，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的。254-5-2變量梯度法 變量梯度法，又稱舒茨基布遜 (ShultzGibson)法設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x& = f (x)xn n V V 2 = gradV (x)M2MV V1 1 V = x = VxV = x V 如果找到一個(gè)特

11、定的李雅普諾夫函數(shù)V(x),能夠證明所給系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，則該李雅普諾夫函數(shù)V(x)的梯度必定存在且唯一264-5-2變量梯度法V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可表達(dá)為xndtx2dtx1dtV&(x) = Vdx1 + Vdx2 +L+ Vdxn或?qū)懗删仃囆问接衝 x& xn M T = gradV x&V x&2 LVx2x1V&V (x) = x&1 274-5-2變量梯度法有關(guān)場論的幾個(gè)基本概念 1. 標(biāo)量函數(shù)的梯度設(shè)V(x)為矢量x的標(biāo)量函數(shù)，則V(x)沿矢量x方向的變化率就是V(x)的梯度n x V M1 V VV = x = x2 x V 284-5-2變量梯度法有關(guān)場論的幾個(gè)基本

12、概念 2. 矢量的曲線積分任意矢量H沿給定曲線的積分可用曲線積分L HdL表示，其中L表示積分路徑。若矢量沿曲線的積分，只決定于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)的位置，則積分與路徑無關(guān)，則該曲線積分可表示為。Hdx0x294-5-2 變量梯度法有關(guān)場論的幾個(gè)基本概念 3. 矢量的旋度在三維空間中，設(shè)矢量H用三個(gè)分量表示為H = Hxi + Hy j + Hzk則矢量H的旋度rotH也是具有三個(gè)分量的矢量，定義為yxxzziy= Hz - Hy + Hx - Hz j + Hy - Hx kkz Hzjy HyHxxrotH =i30 3. 矢量的旋度y= Hxx= Hzz= H yHzyHxzH yx若旋

13、度為零，即可得旋度方程 rotH = 0若矢量H的旋度為零，則H的曲線積分與積分路徑無關(guān)， 反之亦然31 變量梯度法設(shè)非線性系統(tǒng) x& = f (x)在平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。假設(shè)V(x)為矢量x的標(biāo)量函數(shù)，但不是時(shí)間t的顯函數(shù)，則有xndtx2dtx1dtV&(x) = Vdx1 + Vdx2 +L+ Vdxn或?qū)懗删仃囆问接衝 x& = (V )T x&xn M V x&2 LVx2x1V&V (x) = x&1 32n x& = (V )T x&xn M V x&2 LVx2x1V&V (x) = x&1 根據(jù)上式，舒茨和基布遜提出：(1) 先假定V為某一形式，譬如一個(gè)帶待定系數(shù)的

14、n維矢量nnn n22n1 1LLLax + ax+L+ ax x 2nn 22221 1ax + ax+L+ aV = a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn (2) 根據(jù)V& (x)為負(fù)定(或半負(fù)定)的要求確定待定系數(shù)aij (i, j = 1,2,L,n)33(3) 由該V，通過下列積分導(dǎo)出V(x)V )dx0TxV (x) =(它是對(duì)整個(gè)狀態(tài)空間中任意點(diǎn)x=x1,x2,xnT的線積分nnV dx0)= xn-1n-1n1122x ( x = x ,x = x ,L,x+L+ 22V dx0n21134x ( x = x ,x = x =L= x =0)+ V1dx1x1 (

15、 x2 = x3 =L= xn =0)0V (x) =34nnV dx0)= xn-1n-1n1122x ( x = x ,x = x ,L,x+L+ 22V dx0n21134x ( x = x ,x = x =L= x =0)+ V1dx1x1 ( x2 = x3 =L= xn =0)0V (x) =設(shè)單位矢量100100e1 =0, e2M= 0,L, enM= 0,M001積分路徑是從原點(diǎn)坐標(biāo)開始，沿著e1到達(dá)x1,再由這點(diǎn)沿著e2 到達(dá)x2,最后沿著en到達(dá)點(diǎn)x(x1,x2,xn)35為了使上述的線積分與積分路徑無關(guān)，必須保證V的旋度為零。這就要求滿足n維廣義旋度方程雅可比矩陣Vix

16、j= Vjxi(i,j = 1,2,L, n)xnV n LV n x2 n x1MMxnLx2MVV2 n2V2V2= x1VJ =xTxV1 LV1x1x V1必須是對(duì)稱的。36nnV dx0)= xn-1n-1n1122x ( x = x ,x = x ,L,x+L+ 22V dx0n21134x ( x = x ,x = x =L= x =0)+ V1dx1x1 ( x2 = x3 =L= xn =0)0V (x) =如果由上式求得的V(x)是正定的，則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果當(dāng) x , 還有V (x) ,則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的37 例：4-13試用變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng)

17、122= - x+ x x22x&x&1 = - x1的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)定性a21x1 + a22 x2 V2 V = a11x1 + a12 x2 = V1 解： （1）假設(shè)V(x)的梯度為（2）計(jì)算V(x)的導(dǎo)數(shù)V&(x) = (V )T x&= ax+ axax+ ax - x111 112221 1222 -x2 + x12 x2= -ax2 - (a+ a)x x- ax2 + ax2 x2 + ax x31111221122222112221238x x322 1 221 12x2 + ax2 x2 + a222211 2+ a)x x- a1211 1V

18、&( x) = -ax2 - (a2 V 222 21 1ax + ax V = a11x1 + a12 x2 = V1 （3）選擇參數(shù)若試選a=a=1,a=a=0,則2112212211V&( x) = - x2- (1- x1x2)x2如果使1-x1x2 0,則V&(x)是負(fù)定的。因此x1x2 1是x1和x2的約束條件,于是得V = x1 顯然滿足旋度方程x2 V1x2= V2x1,即V1x2= V2 = 0x139221221 1222221121211 1V&( x) = -ax2 - (a+ a)x x- ax2 + ax2 x2 + ax x3（4）計(jì)算V(x)V (x) =x1 ( x2 =0)+x dxx2 ( x1 = x1 )x dx= 1 (x2+ x2 )011022212是正定的。因此在x1x21范圍內(nèi)，xe=0是漸近穩(wěn)定的40第四章穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法（1）李亞普諾夫第一法是一種間接法（2） 李亞普諾夫第二法是一種直接法，其關(guān)鍵是構(gòu)造能量函數(shù)V(x) V(x)是滿足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)x應(yīng)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)