2016全國一卷理科數(shù)學(xué)高考真題和答案

1、.2016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）理科數(shù)學(xué)一 . 選擇題：本大題共12 小題 , 每小題 5 分 , 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1. 設(shè)集合 Ax x24x 30 ， x 2x 3 0, 則 A I B（ A） 3, 3（ B）3, 3（ C） 1, 3（ D） 3 ,322222.設(shè) (1 i )x1yi，其中 x, y 是實(shí)數(shù)，則xyi（ A） 1（ B） 2（C） 3（D） 23.已知等差數(shù)列an前 9 項(xiàng)的和為 27， a108，則 a100（ A） 100（B） 99（ C） 98 （ D） 974. 某公司的班車在 7:00 ，8:0

2、0 ，8:30 發(fā)車，小明在 7:50 至 8:30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10 分鐘的概率是1123（ A） 3（B） 2（ C） 3（ D）45. 已知方程x2y21表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4, 則 n 的取值范圍m2n3m2n是（ A） 1,3（ B）1,3 （C） 0,3（ D） 0, 36. 如圖 , 某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直28的半徑 . 若該幾何體的體積是, 則它的表面積是（ A） 17（ B） 187. 函數(shù) y 2x2 ex 在（ A）22;.3（ C） 20（D） 282,2 的圖

3、像大致為yy11O2 x （ B）2O2 xyy11O2 x2O2 x.（ C）（ D）8. 若 ab10，c1, 則（ A） acbc（ B） abcba c（ C） alog b cblog a c （ D） log a clog b c9. 執(zhí)行右面的程序框圖, 如果輸入的 x0， y1， n1, 則輸出 x, y 的值滿足（ A） y 2x（ B） y3x（C） y 4x（ D） y 5x開始10. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于 、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線A于、 兩點(diǎn).已知| AB|= 42 ,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距輸入x,y,nD E離為n-1(A)2(B)4(C)6(D

4、)8n=n+1x=x+，y=ny211. 平面過正方體 ABCD-A B CD 的頂點(diǎn) A,/ 平面 CBD,否11111122是x +y 36？I 平面 ABCD=m, I 平面 AB B1A1=n, 則 m、 n 所成角的正弦值為3(B)2(C)31輸出x,y(A)23(D)32結(jié)束12. 已知函數(shù) f ( x)sin(x+)(0，), x為24f (x) 的零點(diǎn) , x為 yf ( x) 圖像的對稱軸，且f ( x) 在5單調(diào)，則的最大值為，41836（ A） 11（B） 9（ C） 7（ D） 5二、填空題：本大題共3 小題 , 每小題5 分13. 設(shè)向量a=( ,1) ，=(1,2)

5、，且 |+| 2=|a|2+| |2，則 =mba bbm14. (2 xx )5 的展開式中， x3 的系數(shù)是（用數(shù)字填寫答案）15. 設(shè)等比數(shù)列 an 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 滿足 a1+a3=10，a2+a4=5，則 a1a2 an的最大值為16. 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品 A 和產(chǎn)品 B需要甲、乙兩種新型材料 生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A 的利潤為2100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B 的利潤為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg ，乙材料 90kg，則在

6、不超過600 個(gè)工時(shí)的條件下， 生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品 B 的利潤之和的最大值為元三 . 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.;.17. （本小題滿分為 12 分）ABC 的內(nèi)角 A， B， C的對邊分別為a，b， c，已知 2cos C (a cos B+b cos A)c.（ I ）求 C；（ II ）若 c7 ，ABC 的面積為 3 3 ，求ABC 的周長218. （本小題滿分為 12 分）如圖，在以 A，B，C， D， E，F(xiàn) 為頂點(diǎn)的五面體中，面 ABEF為正方形，AF=2FD，AFD90o ，且二面角D- AF- E 與二面角 C- BE- F 都是 60o （ I ）證

7、明：平面ABEF 平面 EFDC；DC（ II ）求二面角E- BC- A 的余弦值F19. （本小題滿分12 分）某公司計(jì)劃購買2 臺(tái)機(jī)器 , 該種機(jī)器使用三年后即被淘汰. 機(jī)器有一易損零件 , 在購進(jìn)機(jī)器時(shí) , 可以額外購買這種零件作為備件, 每個(gè) 200 元. 在機(jī)器使用期間, 如果備件不足再購買 , 則每個(gè) 500 元. 現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件, 為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù), 得下面柱狀圖：以這 100 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺(tái)機(jī)器, 記 X 表示 2頻數(shù)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率臺(tái)機(jī)器三年40內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)

8、, n 表示購買2 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).（ I ）求 X 的分布列；20（ II）若要求 P( Xn) 0.5 , 確定 n 的最小值；（ III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在 n19 與 n 20之中選其一 , 應(yīng)選用哪個(gè)？0891011更換的易損零件數(shù)20. （本小題滿分12分）設(shè)圓x2y22x 15 0的圓心為,直線 l 過點(diǎn) B（1,0）且與 x 軸不A重合， l 交圓 A于 C,D兩點(diǎn)，過 B 作 AC的平行線交 AD于點(diǎn) E.（ I ）證明 EAEB 為定值，并寫出點(diǎn)E 的軌跡方程；;.（ II ）設(shè)點(diǎn) E 的軌跡為曲線C1，直線 l 交 C1 于 M,

9、N兩點(diǎn)，過B且與 l 垂直的直線與圓A 交于 P, Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.21. （本小題滿分 12 分）已知函數(shù) 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 有兩個(gè)零點(diǎn) .(I)求 a的取值范圍；(II) 設(shè) x1, x2 是 fx 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 的兩個(gè)零點(diǎn) , 證明： x1x2 2 .請考生在22、23、24題中任選一題作答, 如果多做 , 則按所做的第一題計(jì)分 .DC22.（本小題滿分 10分）選修4-1 ：幾何證明選講O如圖，是等腰三角形，=120. 以為圓心，1為半徑作OABAOBO2OA圓 .AB(I) 證明：直線 AB與 O相切；(II) 點(diǎn) C， D在 O上，且 A

10、， B， C， D四點(diǎn)共圓，證明： AB CD.23. （本小題滿分 10 分）選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程xa cost在直角坐標(biāo)系xy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。 （ t 為參數(shù)， ay1a sin t 0）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C： =4cos .2（ I ）說明 C 是哪一種曲線，并將C 的方程化為極坐標(biāo)方程；11（ II ）直線 C3 的極坐標(biāo)方程為0 ，其中 0 滿足 tan 0123=2，若曲線 C與 C 的公共點(diǎn)都在C 上，求 a24. （本小題滿分 10 分）選修 4 5：不等式選講已知函數(shù)fxx12x3 .（ I

11、）畫出 y f x 的圖像；（ II ）求不等式 f x1 的解集;.2016 年高考全國1 卷理科數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案DBCBAADCCBAB1. Ax x24 x 3 0x 1 x 3 ， Bx 2 x 3 0x x3 x 32故 A IBx3 故選 D22. 由1 ix1yi 可知： xxi1yi ，故x1 ，解得：x1 x2y2xyy1所以， xyi2 故選 B3. 由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S99 a1a992a59a527 ，故 a53 ，22a10而 a108，因此公差 da51105 a100a1090d98 故選 C7:407:508:008:108:

12、208:307:304. 如圖所示，畫出時(shí)間軸：ACDB小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB 中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC 或 DB 時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10 分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率10101P故選 B4025.x2y21 表示雙曲線，則222n3m2mn 3m n 0mn m2 n 3m2由雙曲線性質(zhì)知：c2m2n3m2n 4m2 ，其中 c 是半焦距焦距 2c 2 2 m4，解得m1;. 1 n 3故選 A6. 原立體圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的1 后的三視圖表面積是 78的球面面積和三個(gè)扇形面積之和S= 7822 +3122 =17484故選 A7. f 28e

13、282.820，排除 Af28e282.721 ，排除 Bx 0 時(shí)， fx2x2ex f x4x ex ，當(dāng) x0, 1 時(shí)， f x1 4 e00因此 fx在 0, 1C44單調(diào)遞減，排除故選 D48. 對 A：由于 0c1，函數(shù) y xc 在 R 上單調(diào)遞增，因此 a b 1acbc ，A 錯(cuò)誤對 B：由于1c10，函數(shù) y xc 1 在 1,上單調(diào)遞減， a b 1 ac 1bc 1bacabc ， B 錯(cuò)誤對 C：要比較 alogb c 和 bloga c ，只需比較 a ln c 和 b ln c ，只需比較ln c和 ln c，只需 bln bln bln abln baln a

14、和 a ln a構(gòu)造函數(shù)fxx ln x x1 ，則 f x因此 faf b 0aln a bln b0又由 0c1得 ln c0， ln cln caln ab ln b對 D： 要比較 loga c 和 logb c ，只需比較ln c和而函數(shù) yln x 在 1,ln a上單調(diào)遞增，故又由 0c1得 ln c0， ln cln cln aln b故選 C9. 如下表：ln x110 ， f x在 1,上單調(diào)遞增，11a ln ab ln bblog a ca logb c ， C 正確ln cln b11a b1ln a ln b0ln aln blog a clog b c ， D 錯(cuò)

15、誤循環(huán)節(jié)運(yùn)x x xn 1y y ny判斷是否n n n 1x2y2行次數(shù)236輸出運(yùn)行前01/1;.第一次01否否2第二次12否否32第三次36是是23 ， y 出 x6 ， 足 y4x2故 C10. 以開口向右的拋物 例來解答，其他開口同理 拋物 y22 px p 0， 的方程 x2y2r 2 ， 目條件翻 如 ：設(shè) A x0 ,22， Dp , 5，2點(diǎn) A x0 ,22在拋物 y22 px 上， 82 px0 點(diǎn)Dp , 5在圓x2y2r 2上，2 2 5pr 2 22 在 x2y2r 2 上， x02r 2 點(diǎn) A x0 ,28 立解得： p4 ，焦點(diǎn)到準(zhǔn) 的距離 p 4 DC故 B

16、AB11. 如 所示： 平面 CB1D1 ，若 平面 CB1 D1 I 平面 ABCDm1 ，則 m1 mC1D 1又平面 ABCD 平面 A1B1C1 D1 ， 合平面B1D1C I 平A1B 1面 A1 B1C1D1 B1 D1 B1D1m1 ，故 B1D1m同理可得： CD1n故 m 、 n 的所成角的大小與 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等，即CD1B1 的大小而 B1C B1D1 CD1 （均 面 交 ） ，因此CD1 B1，即 sinCD1 B13 32故 A12. 由 意知：+ k1 4 +k+ 則42k21 ，其2中 k ZQ f ( x) 在5 ，5 T ,12,36

17、181836122;.接下來用排除法若11,sin11x， f(x) 在 3遞增，在3,5 遞減，不滿4，此時(shí) f (x)418,444436足 f ( x) 在,5 單調(diào)1836 5若9,sin 9x，滿足f ( x) 在單調(diào)遞減，此時(shí) f ( x)4,36故選 B41813.-214.1015 6416 21600013.rrm 1,3由已知得： abrr2r 2r 212m2121222 ，解得 m2 ababm3214 設(shè)展開式的第 k1項(xiàng)為 Tk1 ， k0,1,2,3,4,55kk5kC5kC5k 25 k x Tk 12 xx2 當(dāng) 5k3 時(shí)， k4 ，即 T5C54 2554

18、4 x2 10x32故答案為 1015. 由于 an是等比數(shù)列，設(shè) ana1q n1 ，其中 a1 是首項(xiàng)， q 是公比2a18 a1a310a1 a1q310 ，解得：1 117 249a2a45a1q a1q53qn 4n n7n1n 412 .1122224故 an， a1 a2 . an22217249172491n當(dāng) n3或 4 時(shí)，222462n4取到最小值6 ，此時(shí)2取到最大值22所以 a1a2. an 的最大值為 6416 設(shè)生產(chǎn) A 產(chǎn)品 x 件， B 產(chǎn)品 y 件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為目標(biāo)函數(shù) z2100 x 900 y作出可行域

19、為圖中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在 (60,100) 處取得最大值， z 2100 6090010021600017. 解： 2cos Ca cos Bb cos Ac由正弦定理得： 2cos C sin Acos Bsin Bcos Asin C2cos C sin ABsin C A B C ， A 、B 、C0 ， sin ABsin C0 2cosC1 ， cosC12;. C0 ， C3222 由余弦定理得：2 ab cosCcab7a2b22ab 122ab3ab7S1 absin C3 ab3 3242 ab6 ab218

20、7ab5 ABC 周長為 ab c5718解： (1) ABEF 為正方形 AF EF AFD 90 AF DF DF I EF =F AF 面 EFDCAF面 ABEF平面 ABEF平面 EFDC 由知DFECEF60 AB EFAB平面 EFDCEF平面 EFDC AB 平面 ABCDAB平面 ABCD面 ABCD I 面 EFDCCD AB CD CD EF四邊形 EFDC 為等腰梯形以 E 為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)FD aE 0 ，0 ，0B 0 ，2a ，0Ca ， ，3， ，0aA 2a 2a 022;.uuur，uuura ，3，uuurEB0，BC2aaAB2a ，0 ，02

21、a0ur22設(shè)面 BEC 法向量為 mx ，y ，z .uruuur02a y10m EB，即x13 ，y1 0 ，z11uruuur0ax12ay13 az10m BCur22m3， ，10r設(shè)面 ABC 法向量為 nruuuran BC=0x2ruuur. 即 2rn AB02ax20，n3 4x2 ，y2 ，z22ay230az2x20 ，y23 ，z2 420設(shè)二面角 ErBCA的大小為 .ur4219cosm nurr31 31619mn二面角 EBCA 的余弦值為2191919 解： 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8， 9， 10， 11記事件 Ai為第一臺(tái)機(jī)器 3年內(nèi)換掉 i7 個(gè)零

22、件 i1,2,3,4記事件 Bi為第二臺(tái)機(jī)器 3年內(nèi)換掉 i7 個(gè)零件 i1,2,3,4由題知 PA1PA3PA4PB1P B3P B40.2， P A2P B20.4設(shè) 2 臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X ，則 X 的可能的取值為16， 17，18，19， 20， 21， 22PX16P A1PB10.20.20.04PX17P A1P B2P A2 P B10.20.40.40.20.16PX18P A1P B3P A2 P B2P A3 P B10.20.20.20.20.40.40.24PX19P A1P B4P A2 PB3P A3P B2P A4PB10.20.20.20

23、.2 0.4 0.20.20.40.24PX20P A2P B4P A3 P B3P A4 P B20.40.20.20.40.20.20.2Px21P A3PB4P A4 P B30.2 0.20.20.20.08Px22P A4PB40.20.20.04X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 要令 P x n 0.5 ， Q 0.040.160.240.5 ， 0.040.160.24 0.24 0.5則 n 的最小值為 19 購買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購買機(jī)器時(shí)購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足;.時(shí)額外購買的費(fèi)用當(dāng) n19 時(shí)，費(fèi)

24、用的期望為192005000.2 1000 0.08 1500 0.04 4040當(dāng) n20時(shí)，費(fèi)用的期望為202005000.08 1000 0.04 4080所以應(yīng)選用 n 1920. (1) 圓 A 整理為2y216 ， A 坐標(biāo)1,0 ，如圖，x 1Q BEAC ，則 CEBD ，由 ACAD ,則 D C ，432 EBDD，則 EBEDC1AxAE EB AE ED AD 442B24E1x2y22所以 E 的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為1 ， ( y0 ) ；433D C :x2y2，P1 ；設(shè)l : xmy1143因?yàn)?PQ l ，設(shè) PQ : ym x 1，聯(lián)立 l與橢圓 C1xm

25、y1Ax2y2得 3m24y26my9 0；42則431M22212236m 36 3m412 m| MN | 1 m | yMyN | 1 m3m243m24；44321NxB241Q234圓心 A 到 PQ 距離 d|m11 | 2m |，122m1m所以 | PQ | 2 | AQ |2d 22 164 m24 3m24 ，21m221 12 m 121 m14 3m4 24 m211SMPNQ| PQ |2412,8 3| MN |2122x 3m 41 m2x 3m24321.2（）f()(x1)2(x1) (x1)(e2 )m 1xeaa（ i ）設(shè) a0 ，則 f ( x) (x

26、 2)ex ， f (x) 只有一個(gè)零點(diǎn)（ ii）設(shè) a0 ，則當(dāng) x(,1) 時(shí)， f (x)0 ；當(dāng) x(1,) 時(shí)， f (x)0 所以 f ( x) 在 ( ,1)上單調(diào)遞減，在 (1, )上單調(diào)遞增又 f(1)e ， f (2)a ，取 b 滿足 b0 且 bln a ，則f (b)a (b2)a(b1)2a(b23b)0 ，222故 f (x) 存在兩個(gè)零點(diǎn)（ iii）設(shè) a0 ，由 f (x)0 得 x1或 xln(2a) 若 ae2a)1 ，故當(dāng) x(1,) 時(shí)， f (x)0 ，因此 f (x) 在 (1,) 上單調(diào)遞增 又，則 ln(2;.當(dāng) x1時(shí)， f (x)0 ，所以 f ( x) 不存在兩個(gè)零點(diǎn)若 ae2a)1 ，故當(dāng) x (1,ln( 2a) 時(shí)，f (x)0 ；當(dāng) x (ln( 2a),) 時(shí)，則 ln(2f (x)0 因此 f (x) 在 (1,ln( 2a) 單調(diào)遞減，在 (ln(2a),) 單調(diào)遞增又當(dāng)x 1 時(shí)，f (x)0，所以 f ( x