第四章習(xí)題.ppt

1、第四章習(xí)題,2.,某產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次.每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1,就去調(diào)整設(shè)備.以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù),試求E(X).(設(shè)諸產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的.),解 設(shè)Zi表示第i次檢驗(yàn)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的次品數(shù)(i=1,2,3,4),則Zib(10, 0.1),PZi=k= 0.1k0.910-k ,k=0,1,2,10.,設(shè)隨機(jī)變量Xi=,1, 第i次檢驗(yàn)時(shí)要調(diào)整設(shè)備(Zi1),0, 第i次檢驗(yàn)時(shí)不調(diào)整設(shè)備(Zi1),(i=1,2,3,4),則 X=X1+ X2+ X3+ X4 ,由于,PXi=0=PZi1=PZi=0+PZi=1,=0.910+

2、100.10.99=1.90.99,PXi=1=1-PXi=0=1-1.90.99,Xi服從(0-1)分布,故其數(shù)學(xué)期望,而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=41-1.90.99=1.0556,E(Xi)=PXi=1=1-1.90.99 (i=1,2,3,4),1(1),5.,在下列句子中隨機(jī)地取一單詞,以X表示取到的單詞所包含的字母?jìng)€(gè)數(shù),寫出X的分布律并求E(X).,“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”,解 共有8個(gè)單詞,隨機(jī)取到每個(gè)單詞的概率都是1/8,X的分布律為,設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里,某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X

3、(以分計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度為,求E(X).,解,6.,7.,設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,求E(X),E(X2),E(3X2+5).,解,或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的數(shù)學(xué)期望.,解,9.,設(shè)(X,Y)的概率密度為,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).,解 如圖,陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域,也可以先求邊緣概率密度,13.,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2的概率密度分別為,(1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22); (2)又設(shè)X1,X2相互獨(dú)立,求E(X1X2

4、).,解 法一:利用已知概率密度計(jì)算積分,(1) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22),(2)E(X1X2),(2),設(shè)隨機(jī)變量Xi=,0, 第i次未抽到開門鑰匙,1, 第i次抽到開門鑰匙,(i=1,2,n),基本事件是從n把鑰匙中抽取一把, 故基本事件總數(shù)為n.而取到每把鑰匙是等可能的.由于只有一把鑰匙能打開門上的鎖,每把鑰匙試開一次后除去,所以第i次抽到開門鑰匙,只能從n-(i-1)把中抽取.,故 PXi=1=(n-i+1)/n,由(0-1)分布的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=PXi=1=(n-i+1)/n, (i=1,2,n),而 X=X1

5、+ X2+ + Xn ,17.,設(shè)隨機(jī)變量X服從瑞利分布,其概率密度為,其中0是常數(shù),求E(X),D(X).,解 法一:利用,令t=x/,則,法二:利用函數(shù)的定義及性質(zhì),令 t=x2/22 ,則,20.,設(shè)長(zhǎng)方形的高(以m計(jì))XU(0,2),己知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)(以m計(jì))為20,求長(zhǎng)方形面積A的數(shù)學(xué)期望和方差.,解 法一: X的概率密度為,A=x(10-x)=10 x-x2,法二:利用已知均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差的結(jié)果和性質(zhì)求解,D(A)=D(10X-X2),=D(10X)+D(X2)-2Cov(10X,X2),=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-2E(10X3)-E(10X)E(X2),

6、=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-20E(X3)+20E(X)E(X2),21(1),設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2,X3,X4相互獨(dú)立,且有E(Xi)=i, D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4.設(shè),求E(Y),D(Y).,解,E(Z2)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=720-640=80.,D(Z2)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 Z2N(80,1525) .,E(X+Y)=E(X)+E(Y)=720+640=1360 ,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 X+YN(1360,1525) .,PXY=PX-Y0=PZ

7、20=1-PZ20,PX+Y1400=1-PX+Y1400,設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立,且 XN(720, 302), YN(640, 252) ,求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布,并求概率PXY,PX+Y1400.,解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 .,E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080,D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652,故 Z1N(2080,652),21(2),24.,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的, 但X和Y不是相互獨(dú)立的.,解 先求邊緣概率密度,同理,顯然,在單位圓內(nèi),即 時(shí),因此X和Y不是相互獨(dú)立的.,同理,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相關(guān)的.,25.,設(shè)隨機(jī)變量 X,Y的分布律為,PX=i 3/8 2/8 3/8,驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的, 但X和Y不是相互獨(dú)立的.,解 先求出關(guān)于X,Y的邊緣分布律如右,顯然,對(duì)每一組(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此X和Y不是相互獨(dú)立的.,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相關(guān)的.,27.,設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度,求