高等數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題課(29)

1、習(xí) 題 課 二 十 九一、填空題1設(shè)C為閉曲線(xiàn)，取逆時(shí)針?lè)较?，則。解： 。2設(shè)為平面被圓柱截下的有限限部分，則解：，在面上的投影區(qū)域?yàn)椤?設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，C為半圓周，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，則。解：，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，?。鹤鳛榉e分路徑。二、解答題1計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中C曲線(xiàn)上從到的一段。解：若化為定積分計(jì)算，則會(huì)出現(xiàn)的項(xiàng)，無(wú)法積分，故應(yīng)該用公式，添加輔助線(xiàn)段：，則構(gòu)成正向封閉曲線(xiàn)。，C，。CC12求，其中C從點(diǎn)經(jīng)上半橢圓到達(dá)點(diǎn)的弧段，且。解：，且，.添加輔助線(xiàn)：，方向是從點(diǎn)到點(diǎn)，則 ，的參數(shù)方程為，。 故。3計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中C是由點(diǎn)經(jīng)半圓周到點(diǎn)再沿直線(xiàn)到點(diǎn)的路徑。解：， ，。添加線(xiàn)段：，：，則為

2、正向封閉曲線(xiàn)。在內(nèi)作正向橢圓：，則在由與所圍成的復(fù)連通區(qū)域D內(nèi)，由公式得：， 。4設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，計(jì)算的值。解：，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，代入，得，。取，作為積分路徑，則?；?，。注：由于本題并未要求，故可沿先鉛直后水平的折線(xiàn)計(jì)算：。5設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面內(nèi)有向分段光滑曲線(xiàn),其起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,記，（1） 證明：曲線(xiàn)積分I與路徑無(wú)關(guān)；（2）當(dāng)時(shí)，求I的值。證明：（1），曲線(xiàn)積分I與路徑無(wú)關(guān)。解：（2）I與路徑無(wú)關(guān)，可取從點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的路徑， 。另解：，使得 （）。，。6已知曲線(xiàn)積分，其中的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，C是圍繞原點(diǎn)一周的任一正向閉曲線(xiàn)，（1）證明在任一不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)；（2）確定，并求A的值。解：（1）在不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，任取兩條具有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)的曲線(xiàn)，再補(bǔ)上一條光滑曲線(xiàn)，使和成為圍繞原點(diǎn)的正向閉曲線(xiàn)，由題意知。即在任一不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)。（2），由（1）知，當(dāng)時(shí)，由得，即。取C為正向橢圓，則。7設(shè)，為連續(xù)可微函數(shù)，且，對(duì)的任一閉曲線(xiàn)C，有，求和積分的值，其中是由至的一段弧。解：（1）由。，從而， ，由，得，故。（2）。8. 計(jì)算, 其中C為擺線(xiàn)x = t - sint - p, y = 1 - cost, 從t = 0到t = p的一段.