2013屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第四十二講 拋物線》課件 新人教版

1、第四十二講 拋物線,回歸課本 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義,考點(diǎn)陪練 1.(2010湖南)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4B.6 C.8D.12 解析:由拋物線的方程得 再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6,故選B. 答案:B,解析:如圖,由直線的斜率為 得AFH=60,FAH=30, PAF=60.又由拋物線的定義知|PA|=|PF|, PAF為等邊三角形,由|HF|=4得|AF|=8, |PF|=8. 答案:B,3.(2010陜西)已知拋

2、物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為( ) 解析:由已知,可知拋物線的準(zhǔn)線 與圓(x-3)2+y2=16相切.圓心為(3,0),半徑為4,圓心到準(zhǔn)線的距離 解得p=2.故選C. 答案:C,4.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P的軌跡方程為( ) A.y2=8xB.y2=-8x C.x2=8yD.x2=-8y 解析:由題意知,P到F(0,2)的距離比它到y(tǒng)+4=0的距離小2,因此P到F(0,2)的距離與到直線y+2=0的距離相等,故P的軌跡是以F為焦點(diǎn),y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,所以P的軌跡方程為x2=8y. 答案:C,答案:A,

3、類型一拋物線的定義 解題準(zhǔn)備:利用拋物線定義可將拋物線上的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.例如若點(diǎn)P0(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上的任一點(diǎn),則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離 (焦半徑公式),這一公式的直接運(yùn)用會為我們求解有關(guān)到焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的距離的問題帶來方便. 在求過焦點(diǎn)的一弦長時,經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為兩端點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和,再用根與系數(shù)關(guān)系求解,有時也把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行求解.,【典例1】(1)在拋物線y2=4x上找一點(diǎn)M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點(diǎn)的坐標(biāo)及此時的最小值. (2)已知拋物線y2=2x和定點(diǎn) 拋物線上有動點(diǎn)P,

4、P到點(diǎn)A的距離為d1,P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d2,求d1+d2的最小值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo).,解要求最小值問題,可考慮拋物線的定義,通過定義轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結(jié)論. (1)如圖,點(diǎn)A在拋物線y2=4x的內(nèi)部,由拋物線的定義可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離.過A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1,垂足為B,則|MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在M1的位置時),此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).,(2)如圖,點(diǎn) 在拋物線y2=2x的外部,由拋物線的定義可知, (其中F為拋物線的焦點(diǎn)).此時

5、P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).,反思感悟熟練掌握和靈活運(yùn)用定義是解題的關(guān)鍵.利用拋物線定義可將拋物線上的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.例如若點(diǎn)P0(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上的任一點(diǎn),則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離 (焦半徑公式),這一公式的直接運(yùn)用會為我們求解有關(guān)到焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的距離的問題帶來方便.在求過焦點(diǎn)的一弦長時,經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為兩端點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和,再用韋達(dá)定理求解,有時也把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行求解.,類型二求拋物線的方程 解題準(zhǔn)備:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法.為避免開口方向不確定而設(shè)成多種形式的麻煩,可以將焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

6、統(tǒng)一設(shè)為y2=ax(a0);焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一設(shè)為x2=ay(a0).,【典例2】求下列各拋物線的方程: (1)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過點(diǎn)M(-2,-4); (2)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)Q(m,-3)到焦點(diǎn)的距離等于5.,解(1)設(shè)拋物線為y2=mx或x2=ny,則 (-4)2=m(-2)m=-8或(-2)2=n(-4)n=-1. 所求的拋物線方程為y2=-8x或x2=-y. (2)依題意,拋物線開口向下,故設(shè)其方程為 x2=-2py. 則準(zhǔn)線方程為 又設(shè)焦點(diǎn)為F, 則 故拋物線方程為x2=-8y.,反思感悟這里易犯的錯誤就是缺乏對開口方向的討

7、論,先入為主,設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解,以致失去另一解.,類型三拋物線的幾何性質(zhì) 解題準(zhǔn)備:1.以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)為例,有如下幾何性質(zhì): 范圍:拋物線y2=2px(p0)開口向右,且向右上方和右下方無限延伸;拋物線只有一條對稱軸x軸,沒有對稱中心;頂點(diǎn):拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn),即坐標(biāo)原點(diǎn).頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段的中點(diǎn);離心率:拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫拋物線的離心率,e=1.,2.拋物線的每一條過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成兩段焦半徑,由焦半徑公式可推出拋物線的焦點(diǎn)弦長公式:設(shè)過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的弦為AB,設(shè)A(x1,y

8、1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特別地,當(dāng)弦AB與拋物線的對稱軸垂直時,這條弦稱為通徑,其長度為2p.,分析考查拋物線的過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì).將拋物線的焦點(diǎn)弦的方程設(shè)出,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理等解決問題.,類型四直線與拋物線的位置關(guān)系 解題準(zhǔn)備:直線和拋物線的位置關(guān)系,可通過直線方程與拋物線方程組成的方程組實(shí)數(shù)解的個數(shù)來確定,同時注意過焦點(diǎn)的弦的一些性質(zhì),如: 弦長l=x1+x2+p.,(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,x=8與拋物線沒有交點(diǎn),不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的斜率為k,則l:y=k(x-8). 設(shè)M(x1,y1),N(x2

9、,y2), 即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97, (1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97, 將y=k(x-8)代入y2=-4x得 k2x2+(4-16k2)x+64k2=0, ,代入式得:64(1+k2)+(1-8k2) 整理得 l的方程為: 即x-2y-8=0或x+2y-8=0.,錯源一 對拋物線的定義理解不透而致錯 【典例1】若動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到定直線l:x-1=0距離,則動點(diǎn)M的軌跡是( ) A.拋物線B.直線 C.圓D.橢圓 錯解由拋物線的定義知動點(diǎn)M的軌跡是拋物線,故選A.,剖析拋物線的定義中隱含一個條件

10、“定點(diǎn)F不在定直線l上”.若“定點(diǎn)F在定直線l上”,那么動點(diǎn)的軌跡就不再是拋物線,而是過定點(diǎn)F且與定直線l垂直的直線. 正解因定點(diǎn)F(1,0)在定直線l:x-1=0上,故動點(diǎn)M的軌跡是直線,應(yīng)選B. 答案B,錯源二對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識不清而致誤,答案C,錯源三對問題考慮不全面而致錯 【典例3】過點(diǎn)M(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 錯解設(shè)拋物線方程為y2=2px,把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得2p=4,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. 剖析上面的解法漏掉了拋物線的焦點(diǎn)還可以在y軸的負(fù)半軸上的情形.,正解當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時,設(shè)方程為y2=mx(m0),把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得m

11、=4,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x; 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時,設(shè)方程為x2=ny(n0),把點(diǎn)M(1,-2)的坐標(biāo)代入得 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故應(yīng)填y2=4x和 答案,錯源四對直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)認(rèn)識不清 【典例4】求過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點(diǎn)的直線l的方程.,剖析事實(shí)上,上述解法只考慮了直線l的斜率存在且不為0時解的情形,而忽視了k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸這兩種情形. 正解(1)當(dāng)直線l的斜率為0時,則l:y=1,此時l平行于拋物線的對稱軸,且于拋物線只有一個公共點(diǎn) (2)當(dāng)直線l的斜率k0時,同錯解. (3)當(dāng)k不存在時,則l:x=0與拋物線y2

12、=2x相切于點(diǎn)(0,0). 綜上可知,所求直線l的方程為:,技法一 拋物線中過定點(diǎn)直線的性質(zhì) 【典例1】已知拋物線y2=2px(p0),過(2p,0)作直線交拋物線于兩點(diǎn),請寫出你所能得出的不同結(jié)論. 分析設(shè)直線與拋物線交于AB兩點(diǎn),有以下結(jié)論: 結(jié)論1:OAOB.,證明設(shè)P(2p,0),當(dāng)AB不垂直于x軸時,OPM為直角三角形,M在以O(shè)P為直徑的圓周上,方程為(x-p)2+y2=p2.當(dāng)ABx軸時,M點(diǎn)與P點(diǎn)重合,滿足上述方程.所以,M點(diǎn)軌跡方程為(x-p)2+y2=p2(除(0,0)點(diǎn)外). 結(jié)論1和結(jié)論3所對應(yīng)命題的逆命題也成立,不妨證明之. 思考若將定點(diǎn)(2p,0)改為(p,0)或(3p,0)等等,則又會有一些什么樣的結(jié)論呢?,技法二 焦點(diǎn)弦問題和焦半徑,【典例2】過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若A,B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影是A1,B1,求A1FB1的值. 解題切入點(diǎn)由題意先準(zhǔn)確畫出圖形,利用拋物線定義可推出AA1F與BB1F都是等腰三角