七年級數(shù)學(xué)第10屆“希望杯”第2試試題

1、山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)七年級數(shù)學(xué)第10屆“希望杯”第2試試題一、選擇題:(每小題6分,共60分)以下每題的四個結(jié)論中,僅有一個是正確的,請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內(nèi).1.的相反數(shù)是( ). (a)1999 (b)-1999 (c)-; (d)2.已知a、b、c都是負數(shù),并且x-a+y-b+z-c=0,則xyz是( ). (a)負數(shù) (b)非負數(shù) (c)正數(shù) (d)非正數(shù)3.下面四個命題中正確的是( ). (a)相等的兩個角是對頂角 (b)和等于180的兩個角是互為鄰補角 (c)連接兩點的最短線是過這兩點的直線 (d)兩條直線相交所成的四個角都相等,則這兩條直線互相垂直4

2、.a、b、c三個有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,則( ). (a); (b) (c); (d)5.7-a的倒數(shù)的相反數(shù)是-2,那么a=( ). (a)9 (b)7.5 (c)5 (d)6.56.一個角的補角的是6,則這個角是( ). (a)68 (b)78 (c)88 (d)987.如果ac0,那么下面的不等式:0;ac20;a2c0;c3a0;ca30中,必定成立的有( ) (a)1個 (b)2個 (c)3個 (d)4個8.不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘減去不超過60且個位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得之差的個位數(shù)字是( ). (a)3 (b)1 (c)7 (d)99.已知0a4,那么a-2+3-a

3、的最大值等于( ). (a)1 (b)5 (c)8 (d)310.若n是奇自然數(shù),a1,a2, ,an是n個互不相同的負整數(shù),則( ). (a)(a1+1)(a2+2)(an+n) 是正整數(shù); (b) (a1-1)(a2-2)(an-n) 是正整數(shù). (c)是正數(shù); (d)是正數(shù).二、填空題(每小題6分,共60分)11.如圖,線段ab= bc= cd= de= 1 厘米, 那么圖中所有線段的長度之和等于_厘米.12.=_13.p是長方形abcd的對角線bd上的一點,m為線段pc的中點.如果三角形apb的面積是2平方厘米,則三角形bcm的面積等于_平方厘米.14.五位數(shù) 能被3,7和11整除,則

4、x2-y2 =_.15.如圖,om平分aob,on平分cod.若mon=50,boc=10,則aod= _.16.三個不同的質(zhì)數(shù),a,b,c滿足abbc+a=200,則a+b+c=_.17.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)中選出五個組成五位數(shù), 使得這個五位數(shù)都被3,5,7,13整除.這樣的五位數(shù)中最大的是_.18.a、b兩個港口相距300公里.若甲船順?biāo)詀駛向b,乙船同時自b 逆水駛向a,兩船在c處相遇.若乙船順?biāo)詀駛向b,甲船同時自b逆水駛向a,則兩船于d 處相遇,c、d相距30公里.已知甲船速度為27公里/小時,則乙船速度是_公里/ 小時.19.已知x=1999,則4

5、x2-5x+9-4x2+2x+2+3x+7=_.20.甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加推鉛球比賽,通過抽簽決定出賽順序. 在未公布順序前每人都對出賽順序進行了猜測.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中,則出賽順序中,第一是_, 第三是_,第五是_.三、解答題:(每小題15分,共30分)要求:寫出推算過程.21.一個長方形如圖所示恰分成六個正方形,其中最小的正方形面積是1 平方厘米.求這個長方形的面積. 22.已知一組兩兩不等的四位數(shù),它們的最大公約數(shù)是42, 最小公倍數(shù)是90090

6、.問這組四位數(shù)最多能有多少個?它們的和是多少?1999年度初一第二試“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽答案：一、選擇題1.根據(jù)相反數(shù)的定義,的相反數(shù)是-,選(c).2.由絕對值定義x-a0,y-b0,z-c0.而已知x-a+y-b+z-c=0,當(dāng)且僅當(dāng)x-a=y-b=z-c=0,即x=a且y=b且z=c.已知a, b,c均為負數(shù),則x,y,z均為負數(shù),因此xyz是負數(shù).選(a).3.如圖8,aoc=boc=90,但aoc與boc不是對頂角,排除(a). 如圖9,ab,同旁內(nèi)角1+2=180,但1與2并非互為鄰補角,排除(b). 兩點之間最短距離是連接這兩點的線段,不能表述為過這兩點的直線,排除( c).

7、因此應(yīng)選(d).事實上,(d)正是兩條直線互相垂直的定義. 4.由圖10可見cba,所以0a-ba-c,0b-ca-c,由此 由有 由有 由知,應(yīng)排除(d),由 及可知應(yīng)排除(a).由及可知應(yīng)排除(c), 肯定(b),所以應(yīng)選(b).5.7-a的倒數(shù)是,的相反數(shù)是-.依題意列方程:. 解得:a=6.5,選(d)6.設(shè)這個角為a,a的補角等于180-a,其為,依題意它是6,所以=6. 解得=78.選(b).7.由ac0,可知a0,c0,a,c符號相反.所以0,c20,因此a2ac0,ca30,且c2ac0,c3a0. 若a=-1,c=1,ac=-10; 若a=1,c=-1,ac=-10; 可見,

8、ac20,a2c0 不一定成立. 所以ac0時,只有0,c3a0,ca30 三個不等式必然成立.選(c).8.不超過1000的所有質(zhì)數(shù)中包含質(zhì)數(shù)2與5,所以不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積個位數(shù)字是0.不超過60的個位數(shù)字是7的質(zhì)數(shù)只有7,17,37,47四個,其乘積的末位數(shù)字是1,所以,不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積減去不超過60的個位數(shù)字為7 的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得差的個位數(shù)字為9.選(d).9.當(dāng)0a2時, a-2+3-a=2-a+3-a=5-2a5,當(dāng)a=0時達到最大值5. 當(dāng)2a3時, a-2+3-a=a-2+3-a=1 當(dāng)3a4時, a-2+3-a=a-2+a-3=2a-524-5=3.當(dāng)

9、a=4時,達到最大值3. 綜合、的討論可知,在0a4上,a-2+3-a的最大值是5,選(b).10.a1,a2,an 是n個互不相同的負整數(shù),其中n是奇自然數(shù).若a1=-1,a2=-2,a3=-3,an=-n,時,(a1-1)(a2-2)(an-n)=(-2)(-4)(-6)(-2n)=(-1)n246(2n)0(因為n是奇數(shù)),故排除(b).若a1=-1時,=0,故,排除(c).故選(d).實事上,若a10, a20, an0,故選(d).二、填空題11.圖中,長為1厘米的線段共4條,長為2厘米的線段共3條,長為3 厘米的線段共2條,長為4厘米的線段僅1條. 圖中所有線段長度之和為 14+2

10、3+32+41=20(厘米). 12.設(shè)s=,又s=,相加得 2s=1+2+3+4+49,又 2s=49+48+47+2+1,相加得 4s=5049=2450,故 s=612.513.根據(jù)題意畫圖,如圖12所示.連接ac交bd于o,則abo的面積等于cbo 的面積,apo的面積等于cpo的面積.因此,abp的面積等于cbp的面積,所以由apb面積是2平方厘米,可知cbp面積是2平方厘米.而bm是cbp的一條中線,三角形中線平分三角形的面積,所以bcm的面積等于1平方厘米.14.由于五位數(shù)能被3,7和11整除,可知3711=231整除. 試除知 231230=53130 231231=53361

11、 231232=53592 231233=53823 231234=54054 可見x=2,y=3.x2-y2=4-9=5.15.如圖13:aod=aob+boc+cod =2mob+boc+2con =2(mob+boc+con)-boc =2mon-boc =250-10 =9016.易知a(bbc+1)=2000=2453. 若a=5,則bbc+1=400, bbc=399=3133=3719 無論c=3,7或19都不能求得質(zhì)數(shù)b,故a5. 只能取a=2,此時bbc+1=1000, bbc=999=3337,則b=3,c=37, 因此,a+b+c=2+3+37=42.17.所求五位數(shù)能被

12、3、5、7、13整除,當(dāng)然也能被3、5、7、13的最小公倍數(shù)整除.即這個五位數(shù)是35713=1365的倍數(shù). 通過除法,可算出五位數(shù)中1365的最大倍數(shù)是731365=99645. 但99645的五個數(shù)碼中有兩個9,不合題意要求,可依次算出 721364=98280(兩個8重復(fù),不合要求). 711365=96915(兩個9重復(fù),不合要求). 701365=95550(三個5重復(fù),不合要求). 691365=94185(五個數(shù)碼不同). 因此,所求的五位數(shù)最大的是94185.18.已知a、b兩港相距300公里,甲船速為27公里/小時.設(shè)乙船速為v公里/ 小時,小流速為x公里/小時,則甲船順?biāo)?/p>

13、為(27+x)公里/小時,逆水速為(27-x)公里/小時.乙船順?biāo)贋?v+x)公里/小時,逆水速為(v-x)公里/小時.甲船自a順?biāo)?乙船自b逆水同時相向而行,相遇在c處時間為:同理,乙船自a順?biāo)?甲船自b逆水同時相向而行,相遇在d處所需時間為: 可見,兩個時間相等.由圖易見,小時中,乙船比甲船多走30公里,即:,v=33.如果c在d的右邊,由圖15易見,小時中,甲船比乙船多走30公里,即: ,v=22. 答:若c在d的左邊,乙船速度是33公里/小時;若c在d的右邊,乙船速度是22 公里/小時.19.由觀察可知,當(dāng)x1時,4x2-5x+90,x2-2x+20, 所以,當(dāng)x=1999時, 原式

14、=4x2-5x+9-4(x2-2x+2)+3x+7 =-13x+9-8+3x+7 =-10x+8 將x=1999代入, 原式的值=-19990+8=-19982.20.將每人猜測的出賽順序列如下表:12345甲乙丙丁戊 由于每人的出賽順序至少被一人猜中,戊被猜測的兩個順序號都是第四、 故可確定戊是第四位出賽.這時丁不能第四位出賽,而丁的順序至少被一人猜中, 所以丁應(yīng)第五位出賽.順序推得丙只能第一位出賽,甲第三位出賽,乙第二位出賽. 答:出賽順序第一個是丙,第三個是甲,第五個是丁.三、解答題21.圖中的正方形分別標(biāo)以a,b,c,d,e,f,顯然最小的正方形a的面積是1 平方厘米,它的邊為長1厘米

15、. 設(shè)最大正方形b的邊長為x厘米,則c的邊長為(x-1)厘米,d的邊長為(x-2)厘米,e的邊長為(x-3)厘米,f的邊長也為(x-3)厘米. 根據(jù)矩形對邊相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)于是,c的邊長為6厘米,d的邊長為5厘米,e和f的邊長均為4厘米. 長方形的面積為 (7+6)(7+4)=1311=143(平方厘米).22.設(shè)這組四位數(shù)共n個,分別為a1=42x1, a2=42x2, a3=42x3, an=42xn,其中的每個 ai=42xi是四位數(shù),所以 100042xi10000,. 由題設(shè)知 90090=a1,a2,an=42x1, 42x2, 42xn=42x1, x2, xn 所以 x1, x2, xn=2145=351113,其中23xi239. (*) 可知xi 是由3,5,11,13每個至多用一次組合成的在23和239之間的自然數(shù),并且兩兩不同.其中兩個質(zhì)因數(shù)組合且滿足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三個質(zhì)因