歐拉方程的求解

1、歐拉方程的求解1.引言在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，我們經(jīng)常會(huì)看到以數(shù)學(xué)家名字命名的概念、公式、定理等等，讓人敬佩跟羨慕.但是，迄今為止，哪位數(shù)學(xué)家的名字出現(xiàn)得最多呢？他就是數(shù)學(xué)史上與阿基米德、牛頓、高斯齊名的“四杰”之一，人稱“分析學(xué)的化身”的盲人數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）.幾乎在每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到他的名字，譬如我們熟悉的“歐拉線”、“歐拉圓”、“歐拉公式”、“歐拉定理”、“歐拉函數(shù)”、“歐拉積分”、“歐拉變換”、“歐拉常數(shù)”歐拉還是許多數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明者，例如用表示圓周率、表示自然對(duì)數(shù)的底、表示函數(shù)、表示求和、表示虛數(shù)單位以歐拉命名的數(shù)學(xué)名詞有很多，本文主要講解以

2、歐拉命名的方程即“歐拉方程”.在文獻(xiàn)1中，關(guān)于歐拉方程的求解通常采用的是變量變換的方法.變量變換法就是將所求的歐拉方程化為常系數(shù)齊次線性微分方程，然后再來(lái)求解這個(gè)常系數(shù)齊次線性微分方程的解，亦即求其形如的解，進(jìn)而求得歐拉方程的解.但有些歐拉方程在用變量變換法求解時(shí)比較困難.本文在所學(xué)的歐拉方程的求解的基礎(chǔ)上，對(duì)歐拉方程進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分類，并針對(duì)不同階的歐拉方程的求解給出了不同的定理.最后在每類歐拉方程后面給出了典型的例題加以說(shuō)明.2.幾類歐拉方程的求解定義1 形狀為 （1）的方程稱為歐拉方程. （其中，為常數(shù)）2.1二階齊次歐拉方程的求解（求形如的解）二階齊次歐拉方程： . （2）(其中,為已知

3、常數(shù)）我們注意到，方程（2）的左邊、和的系數(shù)都是冪函數(shù)（分別是、和），且其次依次降低一次.所以根據(jù)冪函數(shù)求導(dǎo)的性質(zhì)，我們用冪函數(shù)來(lái)嘗試，看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)，使得滿足方程（2）.對(duì)求一、二階導(dǎo)數(shù)，并帶入方程（2），得或,消去，有 . （3）定義2 以為未知數(shù)的一元二次方程（3）稱為二階齊次歐拉方程（2）的特征方程.由此可見(jiàn)，只要常數(shù)滿足特征方程（3），則冪函數(shù)就是方程（2）的解.于是，對(duì)于方程（2）的通解，我們有如下結(jié)論：定理1 方程（2）的通解為(i) , （是方程（3）的相等的實(shí)根）(ii), (是方程（3）的不等的實(shí)根)(iii).（是方程（3）的一對(duì)共軛復(fù)根）（其中、為任意常數(shù)）證明

4、（i）若特征方程（3）有兩個(gè)相等的實(shí)根: ，則是方程（2）的解,且設(shè)，（為待定函數(shù)）也是方程（2）的解（由于，即，線性無(wú)關(guān)），將其帶入方程（2），得,約去，并以、為準(zhǔn)合并同類項(xiàng)，得.由于是特征方程（3）的二重根，因此或,于是，得或,即 ,故 .不妨取，可得方程（2）的另一個(gè)特解,所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數(shù)）（ii）若特征方程（3）有兩個(gè)不等的實(shí)根: ，則，是方程（2）的解.又不是常數(shù)，即，是線性無(wú)關(guān)的.所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數(shù)）（iii）若特征方程（3）有一對(duì)共軛復(fù)根：（），則，是方程（2）的兩個(gè)解，利用歐拉公式，有，,顯然，和 是方程（2）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)

5、的實(shí)函數(shù)解.所以，方程（2）的通解為.（其中，為任意常數(shù)）例1求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ,所以原方程的通解為.（其中，為任意常數(shù)）例2 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ，所以原方程的通解為.（其中，為任意常數(shù)）例3 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，即 ,其根為： ,所以原方程的通解為.（其中，為任意常數(shù)）2.2二階非齊次歐拉方程的求解（初等積分法）二階非齊次歐拉方程：. （4） （其中，為已知實(shí)常數(shù)，為已知實(shí)函數(shù)）為了使方程（4）降階為一階線性微分方程，不妨設(shè)，, （5）則方程（4）變?yōu)椋? （6）根據(jù)韋達(dá)定理，由（5）式可

6、知，是一元二次代數(shù)方程 （3）的兩個(gè)根.具體求解方法：定理2 若，為方程（2）的兩個(gè)特征根，則方程（4）的通解為 . （7）證明 因?yàn)?，為方程?）的兩個(gè)特征根，于是方程（4）等價(jià)于方程（6），令 ,代入方程（6）并整理，得和,解之，得方程（4）的通解為.由定理2知，只需要通過(guò)兩個(gè)不定積分（當(dāng)（7）式中的積分可積時(shí)）即可求得方程（4）的通解.為了方便計(jì)算，給出如下更直接的結(jié)論.定理3 若， 為方程（2）的兩個(gè)特征根，則（i）當(dāng)是方程（2）的相等的實(shí)特征根時(shí)，方程（4）的通解為,（ii）當(dāng)是方程（2）的互不相等的實(shí)特征根時(shí)，方程（4）的通解為,（iii）當(dāng)是方程（2）的共軛復(fù)特征根時(shí)，方程（4）

7、的通解為證明 （ii）當(dāng)是方程（2）的互不相等的的實(shí)特征根時(shí)，將方程（1）的通解（7）進(jìn)行分部積分，得 （8）（iii）當(dāng)是方程（2）的共軛復(fù)特征根時(shí)，再由歐拉公式有,將其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解為（i）的證明和（ii）類似.例1求方程的通解.解 該歐拉方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根為 ,所以由定理3，原方程的通解為（其中，為任意常數(shù)）例2求方程的通解.解 該歐拉方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根為 ，所以由定理3，原方程的通解為（其中，為任意常數(shù)）例3求方程的通解.解 該歐拉方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根為 ,所以由定理3，原方程的通解為（其中，為任意

8、常數(shù)）在定理3中，若令，則得到二階齊次歐拉方程（2）的通解.推論 方程（2）的通解為(i), （是方程（2）的相等的實(shí)特征根）(ii), （是方程（2）的不等的實(shí)特征根）(iii).（是方程（2）的共軛復(fù)特征根）（其中，為任意常數(shù)）2.3三階非齊次歐拉方程的求解（常數(shù)變易法）三階非齊次歐拉方程：. （9）（其中，為常數(shù)） （9）對(duì)應(yīng)的齊次方程為. （10）特征方程為. （11）定理4 設(shè)是方程（11）的根，是方程的根，則（9）的通解為 . （12）證明 根據(jù)條件（為任意常數(shù)）是方程（10）的解.設(shè)是方程（9）的解（其中是待定的未知數(shù)），將其代入方程（9），整理得 （13）因?yàn)槭牵?1）的根，則

9、,于是（13）式化為（14）這是以為未知函數(shù)的二階歐拉方程.設(shè)為（14）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程, （15）的根，則.從而.故方程（1）的通解為.定理5 設(shè)是方程（11）的根，是方程（15）的根，則（i）當(dāng)是方程（11）的單實(shí)根，是方程（15）的單實(shí)根，則（9）的通解為（ii）當(dāng)是方程（11）的單實(shí)根，是方程（15）的單虛根，則（9）的通解為（其中，）(iii）當(dāng)是方程（11）的單實(shí)根，是方程（15）的重實(shí)根，則（9）的通解為,（iv）當(dāng)是方程（11）的三重實(shí)根，方程（15）變?yōu)?，有，則（9）的通解為.證明 （i）因?yàn)槭欠匠蹋?5）的單實(shí)根，得（14）的通解為則（9）的通解為（ii）因?yàn)槭欠匠?/p>

10、（14）的單虛根，此時(shí)方程（15）有一對(duì)共軛虛根,得（14）的通解為則（9）的通解為（其中，）（iii）因?yàn)槭欠匠蹋?5）的重實(shí)根，得（9）的通解為.（iv）當(dāng)是方程（10）的三重實(shí)根（），方程（15）變?yōu)?，有，將，代入?2）式得,對(duì)上式分部積分得（9）的通解為.例1 求三階歐拉方程的通解.解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為,其特征方程為，解得其特征根為，取 ，將，代入方程（15），得,解得或，利用定理5（i）的通解公式有.（其中，為任意常數(shù)）例2 求三階歐拉方程的通解.解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為,其特征方程為，從而解得特征單實(shí)根為，將，代入方程（15），得到，解得 .令，則，利用定理5（ii）的通

11、解公式有（其中，為任意常數(shù)）2.4 階齊次歐拉方程的求解（求形如的解）令是方程（1）的解，將其求導(dǎo)（需要求出、）代入方程（1），并消去，得 . (16）定義3 以為未知數(shù)的一元次方程（16）稱為階齊次歐拉方程（1）的特征方程.由此可見(jiàn)，如果選取是特征方程（16）的根，那么冪函數(shù)就是方程（1）的解.于是，對(duì)于方程（1）的通解，我們有如下結(jié)論：定理6 方程（1）的通解為（其中，為任意常數(shù)），且通解中的每一項(xiàng)都有特征方程（16）的一個(gè)根所對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)情況如下表：方程（16）的根方程（1）通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根：給出一項(xiàng)：一對(duì)單共軛復(fù)根：給出兩項(xiàng)：重實(shí)根：給出項(xiàng)：一對(duì)重共軛復(fù)根：給出項(xiàng)：例1 求方程的通

12、解.解 該歐拉方程的特征方程為,整理，得，其根為，所以原方程的通解為.（其中，為任意常數(shù)）例2 求方程的通解.解 該歐拉方程的特征方程為，整理，得，其根為，（即一對(duì)二重共軛復(fù)根），所以原方程的通解為.（其中，為任意常數(shù)）3.結(jié)束語(yǔ)從前面的討論過(guò)程來(lái)看，和教材中的變量變換法相比，本文中的解決辦法更直接、更簡(jiǎn)單.但需要說(shuō)明的是，本文中的定理和例題都是在范圍內(nèi)對(duì)齊次歐拉方程求解的，如果要在范圍內(nèi)對(duì)其求解，則文中的所有都將變?yōu)椋玫慕Y(jié)果和范圍內(nèi)的結(jié)果相似.4.致謝經(jīng)過(guò)這好幾個(gè)月忙碌的學(xué)習(xí)跟工作，本次畢業(yè)論文的寫作已經(jīng)接近尾聲了，但這次畢業(yè)論文的寫作經(jīng)歷讓我感受頗多.首先，自己要有很好的專業(yè)知識(shí)的儲(chǔ)備

13、，這也是寫作的基礎(chǔ).其次，自己要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯.再次，自己要善于思考，遇到不懂得問(wèn)題就要勤于思考，查資料，問(wèn)老師.最后，自己一定要有堅(jiān)持不懈的精神.畢業(yè)論文的寫作是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在寫作過(guò)程中我們難免會(huì)遇到各種各樣的過(guò)程，但我們不能因此就放棄，而要做到堅(jiān)持.要相信“有付出就一定會(huì)有所收獲”的.在這里首先要感謝我的指導(dǎo)老師胡宏昌教授.胡老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)論文階段，他都給予了我悉心的指導(dǎo)，細(xì)心地糾正論文中的錯(cuò)誤并給予指導(dǎo).如果沒(méi)有他的大力支持，此次論文的完成將變得非常困難.除了敬佩胡老師的專業(yè)水平外，他的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)研究的精神也值得我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)，并將積極影響我今后的學(xué)習(xí)和工作.然后還要感謝大學(xué)四年來(lái)我的所有的老師跟領(lǐng)導(dǎo)，為我們打下了堅(jiān)實(shí)的專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ).最后祝各位評(píng)審老師身體健康，工作順利！5、參考文獻(xiàn)1王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程M.第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）M.第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.3鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論M.第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.4胡勁松.一類歐拉方程特解的求解.重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)J,2009,11(2):143-144.5胡勁松，鄭克龍.常數(shù)變易