高中數(shù)學(xué)講義微專題45《均值不等式》講義

1、微專題45 利用均值不等式求最值一、基礎(chǔ)知識：1、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設(shè) （1）調(diào)和平均數(shù)： （2）幾何平均數(shù)： （3）代數(shù)平均數(shù)： （4）平方平均數(shù)：2、均值不等式：，等號成立的條件均為： 特別的，當(dāng)時，即基本不等式3、基本不等式的幾個變形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負數(shù)則考慮變形或使用其它方法（

2、2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量，例如：當(dāng)求的最小值。此時若直接使用均值不等式，則，右側(cè)依然含有，則無法找到最值。 求和的式子乘積為定值。例如：上式中為了乘積消掉，則要將拆為兩個，則 乘積的式子和為定值，例如，求的最大值。則考慮變積為和后保證能夠消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點： 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突） 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍。5、常見求最值的題目類型（1）構(gòu)造乘積與和為定值的

3、情況，如上面所舉的兩個例子（2）已知（為常數(shù)），求的最值，此類問題的特點在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達式變量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進行相乘，從而得到常數(shù)項與互為倒數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解。例如：已知，求的最小值解： （3）運用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解：例如：已知，求的最小值解： 所以即，可解得，即注：此類問題還可以通過消元求解：，在代入到所求表達式求出最值即可，但要注意的范圍由承擔(dān)，所以 二、典型例題：例1：設(shè)，求函數(shù)的最小值為_思路：考慮將分式進行分離常數(shù)，使用均值不等式可得：，等號成立

4、條件為，所以最小值為 答案： 例2：已知，且，則的最大值是_思路：本題觀察到所求與的聯(lián)系，從而想到調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系，即，代入方程中可得：，解得：，所以最大值為4答案：4例3：已知實數(shù)，若，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：本題可以直接代入消元解決，但運算較繁瑣?？紤]對所求表達式先變形再求值，可用分離常數(shù)法將分式進行簡化。，結(jié)合分母可將條件，變形為，進而利用均值不等式求出最值解：，即的最小值為答案：A例4：已知正實數(shù)滿足，則的最小值為_思路：本題所求表達式剛好在條件中有所體現(xiàn)，所以考慮將視為一個整體，將等式中的項往的形式進行構(gòu)造，而可以利用均值不等式化積為和，從而將

5、方程變形為關(guān)于的不等式，解不等式即可解： 方程變形為： 解得：答案：的最小值為例5：已知，則的最小值為_思路一：所求表達式為和式，故考慮構(gòu)造乘積為定值以便于利用均值不等式，分母為，所以可將構(gòu)造為，從而三項使用均值不等式即可求出最小值：思路二：觀察到表達式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，從而，設(shè)，可從函數(shù)角度求得最小值（利用導(dǎo)數(shù)），也可繼續(xù)構(gòu)造成乘積為定值：答案：3小煉有話說：（1）和式中含有分式，則在使用均值不等式時要關(guān)注分式分母的特點，并在變形的過程中傾向于各項乘積時能消去變量，從而利用均值不等式求解（2）思路二體現(xiàn)了均值不等式的一個作用，即消元（3）在思路二中連續(xù)使用兩次均值不等式

6、，若能取得最值，則需要兩次等號成立的條件不沖突。所以多次使用均值不等式時要注意對等號成立條件的檢驗例6：設(shè)二次函數(shù)的值域為，則的最大值為_思路：由二次函數(shù)的值域可判定，且，從而利用定值化簡所求表達式：，則只需確定的范圍即可求出的最值。由均值不等式可得：，進而解出最值解：二次函數(shù)的值域為答案：例7：已知，則的最大值是_思路：本題變量個數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠?qū)⒆兞肯?，觀察分子為均含，故考慮將分母中的拆分與搭配，即，而，所以答案：小煉有話說：本題在拆分時還有一個細節(jié)，因為分子的系數(shù)相同，所以要想分子分母消去變量，則分母中也要相同，從而在拆分的時

7、候要平均地進行拆分（因為系數(shù)也相同）。所以利用均值不等式消元要善于調(diào)整系數(shù)，使之達到消去變量的目的。例8：已知正實數(shù)滿足，若對任意滿足條件的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_思路：首先對恒成立不等式可進行參變分離，。進而只需求得的最小值。將視為一個整體，將中的利用均值不等式換成，然后解出的范圍再求最小值即可解： 解得：或（舍） （在時取得）例9：已知，則的最小值是_思路：觀察到所求的兩項中部分互為倒數(shù)，所以想到利用均值不等式構(gòu)造乘積為定值，所以結(jié)合第二項的分母變形的分子。因為，所以，則，所以原式，因為要求得最小值，所以時，故最小值為答案：小煉有話說：本題考驗學(xué)生對表達式特點的觀察能力，其中兩項

8、的互為倒數(shù)為突破口，從而聯(lián)想到均值不等式，在變形時才會奔著分子分母向消出定值的方向進行構(gòu)造例10：已知，且是常數(shù)，又的最小值是，則_思路：條件中有，且有，進而聯(lián)想到求最小值的過程中達到的最值條件與相關(guān)：，即的最小值為，所以，解得，所以答案：7三、歷年好題精選1、(2016，天津河西一模）如圖所示，在中，點在線段上，設(shè)，則的最小值為（ ）A. B. C. D.2、（2016，南昌二中四月考）已知都是負實數(shù)，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 3、（2016，重慶萬州二中）已知為正實數(shù)，且，則的最小值為_4、（揚州市2016屆高三上期末）已知且，則的最小值為_5、已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 不存在6、設(shè)，為坐標(biāo)原點。若三點共線，則的最小值是_7、已知，且，則的最大值是（ ）A. B. C. D. 8、設(shè)，若，則的最大值為 9、已知，且，則的最小值是 習(xí)題答案：1、答案：D解析：，因為三點共線，所以，根據(jù)所求表達式構(gòu)造等式為，所以有：，由均值不等式可得：，所以2、答案：B解析： 是正實數(shù)3、答案：解析： 4、答案：3解析： 或 5、答案：A解析：解得