高中數(shù)學(xué)講義微專題34《向量的模長問題幾何法》講義

1、微專題34 向量的模長問題幾何法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點(diǎn)，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個(gè)三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：對(duì)于（1）共線（平行）特點(diǎn)：與為共線向量，其中時(shí)，與同向；時(shí)，與反向（2）模長關(guān)系：3、與向量模長問題相關(guān)的定理：（1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為 正弦定理： 余弦定理：（2）菱形：對(duì)角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對(duì)于底角的菱形，其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形。（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對(duì)角線相等是該四

2、邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長二、典型例題：例1：（2015屆北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）已知向量的夾角為，且，則（ ）A. B. C. D. 思路：本題利用幾何圖形可解，運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出 即可。解：如圖可得：，在中，有： 即： 解得或（舍）所以，答案：選 例2：若平面向量兩兩所成的角相等，且，則等于（ ）A. B. C. 或 D. 或思路：首先由兩兩所成的角相等可判斷出存在兩種情況：一是同向（如圖1，此時(shí)夾角均為

3、0），則為 ，另一種情況為兩兩夾角 （如圖2），以為突破口，由平行四邊形法則作圖得到與夾角相等，（底角為的菱形性質(zhì)），且與反向，進(jìn)而由圖得到，選C答案：C例3：已知向量，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：先作出，即有向線段，考慮，將的起點(diǎn)與重合，終點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)且，則即為的長度，通過觀察可得與共線時(shí)達(dá)到最值。所以，且連續(xù)變化，所以的取值范圍是 答案：C例4：設(shè)是兩個(gè)非零向量，且，則_思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊和一條對(duì)角線，由可知滿足條件的只能是底角為，邊長 的菱形，從而可求出另一條對(duì)角線的長度為 答案： 例5：已知為平面向量，若與的夾角為，與的夾角為，則（ ）A. B. C

4、. D. 思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊及對(duì)角線，通過作圖和平行四邊形性質(zhì)得：在中，由正弦定理可得：，即答案：D例6：已知是單位向量，且的夾角為，若向量滿足，則的最大值為（ ）A. B. C. D.思路：本題已知模長且夾角特殊，通過作圖可得為模長為，設(shè)，則可得且，而可視為以共起點(diǎn)，終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上。通過數(shù)形結(jié)合可得的最大值為（此時(shí)的終點(diǎn)位于點(diǎn)）答案：A例7：在中，設(shè)是的中點(diǎn)，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的值是（ ）A. B. C. D. 思路：本題的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)的位置，從而將與已知線段找到聯(lián)系，將考慮變形為，即，設(shè)，則三點(diǎn)共線，且，所以由平行四邊形性質(zhì)可得： 答案：B例8：

5、已知向量，對(duì)任意的，恒有，則的值為_思路：本題以作為突破口，通過作圖設(shè)，為直線上一點(diǎn)，則有。從而可得，即，所以點(diǎn)為直線上到距離最短的線段，由平面幾何知識(shí)可得最短的線段為到的垂線段。所以，即，所以有答案：0小煉有話說：本題若用圖形解決，找到在圖上的位置和兩個(gè)向量的聯(lián)系是關(guān)鍵例9：已知平面向量滿足，且，若向量的夾角為，則的最大值是_思路：由條件可得夾角的余弦值，若用代數(shù)方法處理夾角的條件，則運(yùn)算量較大。所以考慮利用圖形，設(shè)，則，即，從而，可判定四點(diǎn)共圓，則的最大值為四邊形外接圓的直徑，即的直徑。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即答案：小煉有話說：若條件中向量的夾角為特殊角且很難用數(shù)量積，模長進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可考慮尋找?guī)缀螆D形進(jìn)行求解。例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量滿足 ，且與的夾角為，則的取值范圍是_思路：本題很難找到與數(shù)量積相關(guān)的條件，那么考慮利用圖形輔助求解。從圖中可觀察到構(gòu)成，從而可利用正余弦定理求出即的取值范圍解：在中，由正弦定理可得： 而 答案：的取值范圍是小煉有話說：例題中的部分問題也可采用模長平方的方式，從而轉(zhuǎn)化成為數(shù)量積求解。具體解法如下：例1：解：，解得例2：解：夾角相同當(dāng)同向時(shí)，可得，所以當(dāng)