2012年數(shù)學建模C題全國一等獎作品

1、腦卒中發(fā)病環(huán)境因素分析及干預摘要環(huán)境因素已被證實與腦卒中的誘發(fā)密切相關，本文從定量角度給出了腦卒中的發(fā)病率與環(huán)境因素之間的關系，并提出發(fā)病預警和干預的建議方案。問題一要求對發(fā)病人群進行統(tǒng)計描述，我們首先對原始數(shù)據(jù)進行再加工整理，得到不同性別、不同職業(yè)及不同年齡段的發(fā)病率數(shù)據(jù)，通過計算發(fā)病人群分布的眾數(shù)、四分位差、偏度、峰度等統(tǒng)計指標，得到了發(fā)病人群分布的特征：如發(fā)病人群的年齡呈左偏、平峰分布等。針對問題二，為全面分析發(fā)病率與環(huán)境因素的關系，我們增加考慮溫度差、和濕度差因素，通過建立統(tǒng)計回歸模型，得到了腦卒中發(fā)病率與氣壓、溫度、濕度、溫度差和濕度差之間的量化關系，結果分析顯示擬合優(yōu)度和顯著性檢驗

2、都令人滿意。最后，根據(jù)問題一和問題二得到的結果，我們對不同的年齡層次、職業(yè)人群，氣候條件等提出了相應的預警干預方案。關鍵詞：眾數(shù)、四分位數(shù)、偏度、峰度、統(tǒng)計回歸問題的重述腦卒中（俗稱腦中風）是目前威脅人類生命的嚴重疾病之一，它的發(fā)生是一個漫長的過程，一旦得病就很難逆轉。這種疾病的誘發(fā)已經(jīng)被證實與環(huán)境因素，包括氣溫和濕度之間存在密切的關系。對腦卒中的發(fā)病環(huán)境因素進行分析，其目的是為了進行疾病的風險評估，對腦卒中高危人群能夠及時采取干預措施，也讓尚未得病的健康人，或者亞健康人了解自己得腦卒中風險程度，進行自我保護。同時，通過數(shù)據(jù)模型的建立，掌握疾病發(fā)病率的規(guī)律，對于衛(wèi)生行政部門和醫(yī)療機構合理調配醫(yī)

3、務力量、改善就診治療環(huán)境、配置床位和醫(yī)療藥物等都具有實際的指導意義。數(shù)據(jù)來源于中國某城市各家醫(yī)院2007年1月至2010年12月的腦卒中發(fā)病病例信息以及相應期間當?shù)氐闹鹑諝庀筚Y料。根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，回答以下問題：1根據(jù)病人基本信息，對發(fā)病人群進行統(tǒng)計描述。2建立數(shù)學模型研究腦卒中發(fā)病率與氣溫、氣壓、相對濕度間的關系。3查閱和搜集文獻中有關腦卒中高危人群的重要特征和關鍵指標，結合1，2中所得結論，對高危人群提出預警和干預的建議方案。問題假設1.腦卒中發(fā)病因素只考慮氣壓、溫度、濕度、溫度差、濕度差，不考慮其它非環(huán)境因素；2.在07至10年的相應時間段上，當環(huán)境因素穩(wěn)定時，腦卒中人群的發(fā)病率服從正

4、態(tài)分布；3.忽略數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程中的微小誤差。符號的假設 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的眾數(shù) 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的中位數(shù) 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的上四分位數(shù) 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的下四分位數(shù) 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的異眾比率 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的均值 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的四分位數(shù)差 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的偏態(tài)系數(shù) 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的峰態(tài)系數(shù) 回歸系數(shù)問題分析問題一: 發(fā)病人群的統(tǒng)計描述附表中提供給我們的數(shù)據(jù)信息量非常多，首先需對原始數(shù)據(jù)進行處理，得出不同性別，不同年齡段，不同職業(yè)腦卒中的人數(shù)及發(fā)病率，使得我們對腦卒中發(fā)病率分布的類型和特點有一個大致的了解。為進一步掌握數(shù)據(jù)分布的特點

5、和規(guī)律，進行深入的分析，就要找到反映數(shù)據(jù)分布特點的各個代表值。我們考慮對腦卒中發(fā)病率從三個方面進行統(tǒng)計描述4：一是腦卒中發(fā)病人群分布的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚集的程度；二是腦卒中發(fā)病人群分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠離其中心值的趨勢；三是發(fā)病人群分布的偏態(tài)和峰度，反映數(shù)據(jù)分布的形狀。從這三個方面反映腦卒中發(fā)病人群的不同側面。問題二：發(fā)病率與氣溫、氣壓、相對濕度間的關系在不考慮腦卒中發(fā)病的其它因素的前提下，腦卒中的發(fā)病率與環(huán)境因素密切相關，與氣溫、氣壓、相對濕度的變化緊密聯(lián)系。這些環(huán)境因素推動或制約著腦卒中的發(fā)病情況。我們考慮對附表數(shù)據(jù)進行處理，得出2007-2010年中1-12月的

6、腦卒中發(fā)病率、平均氣壓、平均氣溫、平均相對濕度、氣壓差、氣溫差和濕度差數(shù)據(jù)，然后應用多元回歸統(tǒng)計的方法得出它們之間的定量關系。問題三：查閱和搜集文獻中有關腦卒中高危人群的重要特征和關鍵指標，結合1,2中所得結論，對高危人群提出預警和干預的建議方案。模型的建立與求解一. 發(fā)病人群的統(tǒng)計描述(一) 腦卒中發(fā)病數(shù)據(jù)統(tǒng)計為了對腦卒中發(fā)病人群進行深入地統(tǒng)計分析，我們首先對附表數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理，得出07至10年腦卒中發(fā)病人群中，男性33298人，女性28462，分別占總人數(shù)的54%和46%。進一步統(tǒng)計出不同性別各年齡段腦卒中的發(fā)病人數(shù)(見表1和圖1)。表1 不同性別各年齡段腦卒中的發(fā)病人數(shù)年齡段01011

7、20213031404150516061707180男713314457919695088860011458女1232712129511683604628610093表1中數(shù)據(jù)的折線圖見圖1圖1 不同性別各年齡段腦卒中的發(fā)病人數(shù)由圖1可以看出男性和女性的腦卒中發(fā)病主要人群都是集中在50歲至90歲之間。同時我們得到不同年齡段和不同職業(yè)腦卒中發(fā)病人數(shù)（分別見表2、表3）。表2 07-10年不同年齡段腦卒中發(fā)病人數(shù)年齡段0-1011-2021-3031-4041-5051-6061-7071-8081-9091-100100-110人數(shù)19459265874313786921488621551112

8、768179比例0.31%0.1%0.43%1.42%5.08%14%24.1%34.89%18.26%1.32%0.01%表3 07-10年不同職業(yè)腦卒中發(fā)病人數(shù)職業(yè)農(nóng)民工人退休教師漁民醫(yī)務職工離退其他人數(shù)29632484466342166690735175117792比例0.47980.07840.10740.00350.0010.00150.0110.030.29不同年齡段腦卒中發(fā)病人數(shù)柱狀圖如圖2所示，各職業(yè)腦卒中發(fā)病人數(shù)如圖3：圖2 不同年齡段腦卒中發(fā)病人數(shù)圖3 不同職業(yè)腦卒中發(fā)病率從表1和圖1可以看出，腦卒中的主要發(fā)病年齡段集中在50歲到90歲之間，占了總發(fā)病人數(shù)的88.33%，因

9、此該年齡段的人群是腦卒中發(fā)病的高危人群。進一步地，我們得到同一職業(yè)中，腦卒中各年齡段的發(fā)病情況(表3)。表4 同一職業(yè)中，各年齡段腦卒中的發(fā)病人數(shù) 職業(yè) 年齡段12345678其他010216920401016112074100010462130375821041211503140214220972239138041501068682611731012481164516037981124622321017177149276361707094101618645825271334664203718011069105126917914181616905778819059315131264228118

10、242130249110040942114001514232101110304000011總計29632487966342166690735175117757圖4同一職業(yè)中，各年齡段腦卒中的發(fā)病人數(shù)折線圖從表4的數(shù)據(jù)和圖4的折線圖可以看，在統(tǒng)計的8各行業(yè)中，腦卒中發(fā)病的主要人群集中在50歲至90歲之間。通過對原始數(shù)據(jù)整理，我們得到07年至10年不同職業(yè)人群腦卒中的發(fā)病人數(shù)(表5)，其柱狀圖見圖5表5 07-10年不同職業(yè)發(fā)病人數(shù)數(shù)據(jù)農(nóng)民工人退休人員教師漁民醫(yī)務人員職工離退休人員其他200770368141898381823624179800200880171005200063381810280

11、74013200914911156103716353132363982010815011731700443132345004178 合計24694414857012166589711174724389圖5 07-10年不同職業(yè)發(fā)病人數(shù)數(shù)據(jù)柱狀圖從圖5可知，農(nóng)民和其他職業(yè)腦卒中發(fā)病人數(shù)遠遠高于工人等另外六個職業(yè)。（二） 腦卒中發(fā)病人群的進一步分析在前面得到的不同性別、各年齡段及不同職業(yè)的腦卒中發(fā)病數(shù)據(jù)的基礎上，我們對數(shù)據(jù)進一步分析。主要從三個方面進行描述一是腦卒中發(fā)病人群分布的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚集的程度；二是腦卒中發(fā)病人群分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠離其中心值的趨勢；三是發(fā)病

12、人群分布的偏態(tài)和峰度，反映數(shù)據(jù)分布的形狀。從這三個方面反映腦卒中發(fā)病人群的不同側面。從前面的分析可知，不同性別，不同職業(yè)，其各年齡段腦卒中發(fā)病的趨勢是大致相同的，因此我們只對腦卒中發(fā)病人群的年齡分布做進一步分析。1. 腦卒中發(fā)病人群年齡分布的集中趨勢集中趨勢是指數(shù)據(jù)像某一中心值靠攏的傾向，也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。我們根據(jù)表2得到的數(shù)據(jù)，計算年齡分布的眾數(shù)、中位數(shù)和(上下)分位數(shù)及均值。(1) 年齡分布的眾數(shù) 我們利用以下公式(1)4計算眾數(shù)： (1)其中為眾數(shù)組的下限值，為眾數(shù)組的組距(我們取定10)。由公式1，我們算得眾數(shù)為：(2) 年齡分布的中位數(shù)和分位數(shù)根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算中

13、位數(shù)，先根據(jù)確定中位數(shù)的位置，確定中位數(shù)所在的組，采用公式24計算中位數(shù)的近似值： (2)其中為數(shù)據(jù)的個數(shù)(總次數(shù))；為中位數(shù)所在組的下限值；為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的組距(我們取定為10)。根據(jù)(2)式算得腦卒中發(fā)病人群年齡分布的中位數(shù)約為72。 四分位數(shù)也稱四分位點，他是通過三個點將全部數(shù)據(jù)等分為四部分，其中每部分包含25%的數(shù)據(jù)，處在分為點上的數(shù)值就是四分位數(shù)。由公式(2)很容易算出上下四分位點：(3) 年齡分布的均值根據(jù)表2中的分組數(shù)據(jù)計算均值4。原始數(shù)據(jù)被分為K組(表2為11組)，各組的組中值為各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分別為，則均值的計算公式

14、為： (3)由公式(3)算得年齡分布的均值為69.78。(4) 年齡分布的眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較 從分布的角度看，眾數(shù)始終是一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值，中位數(shù)是出于一組數(shù)據(jù)中間位置上的值，二均值則是全部數(shù)據(jù)的算術平均。將前面計算的眾數(shù)、中位數(shù)和均值標在表2數(shù)據(jù)的曲線圖上，如圖4所示，腦卒中發(fā)病的年齡分布為左 圖4 左偏分布：偏分布，說明數(shù)據(jù)存在極小值，拉動均值像極小值一方靠，而眾數(shù)和中位數(shù)由于是位置代表值，不受極值的影響，因此三者之間的關系表現(xiàn)為：。2.腦卒中發(fā)病人群分布的離散程度數(shù)據(jù)的分散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征，它反映的是各變量值遠離其中心值的程度，因此成為離中趨勢。數(shù)據(jù)的離散程度越大

15、，集中趨勢的測度值對該組數(shù)據(jù)的代表性就越差，離散程度越小，其代表性就越好。我們主要計算異眾比率和四分位差4。(1) 年齡分布的異眾比率異眾比率的計算公式為： (4)有公式(4)算出年齡分布的異眾比率為，這說明在患病的人群中,7180歲以外的人數(shù)占65.11%,異眾比率比較大.因此,用7180歲來代表患病人群的狀況,其代表性不是很好.(2) 年齡分布的四分位差四分位差即上四分位數(shù)與下四分位之差，計算公式為：，有前面四分位數(shù)算出的結果得到6.96, 其值較小，說明腦卒中的發(fā)病年齡比較集中。3. 腦卒中發(fā)病人群分布的偏態(tài)和峰度 為了得到腦卒中發(fā)病人群年齡分布的形狀、偏斜程度以及分布的扁平程度等，我們

16、計算腦卒中發(fā)病人群分布的偏態(tài)和峰度。(1) 年齡分布的偏態(tài)系數(shù) 偏態(tài)是對分布偏斜方向和程度的測度，其計算公式為: (5)式中為標準差的三次方。利用公式(5)，算得1.0,說明正偏離差值較大，即年齡分布為右偏。 (2) 年齡分布的峰度系數(shù)峰度為分布集中趨勢高峰的形狀，其計算公式為： （6）式中為標準差的四次方。利用公式(6)，算得0. 附錄二 問題2中模型2的程序Y=0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.08565 0. 0. 0. 0.;X1=1027.825 1022.15 1018.7 1015.825 1009.375 1006.155 1004. 1005. 1011.1 10

17、18.25 1023.7 1024.15;X2=4.025 5.875 6.35 5.725 4.525 3.55 7.275 4. 3.4 3.85 4.475 5.525;X3=3.75 6.725 10.35 14.85 21.575 24.475 29.15 28.9 24.75 19.425 12.175 6.8;X4=6.775 7.425 8.15 8.45 9.4 7.22 7.62 6.925 6.5 7.575 8.025 7.625;X5=67.8 70.725 67.25 65.475 64.45 77.175 73.825 74.875 78.175 73.15 70

18、.975 66.85;X6=33.6 37.55 41.7 42.2 48.5 37.2 36.95 37.4 36.05 45.2 44.15 39.75;X=ones(12,1),X1,X2,X3,X4,X6,X1.*X2,(X2.*X3).2,X1.*X3;b,bint,r,rint,stats = regress(Y,X)b = -7.8187 0.7215 2.2258 0.5769 -0.4576 0.7427 -0.6350 -0.1962 -0.7192bint = -9.7359 -4.9014 0.0254 0.4175 1.0520 2.3995 0.1028 0.0511 -0.1926 -0.7227 0.2601 0.2253 -0.2738 -0.9963 -0.7057 -0.6867 -0.6175 -0.8210r = 1.0e-003 * -0.1647 0.4680 -0.9408 -