2018年初三數(shù)學(xué)中考模型之費(fèi)馬點(diǎn)問題

1、費(fèi)馬點(diǎn)的問題定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)。它是這樣確定的：1. 如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；2. 如果3個(gè)內(nèi)角均小于120，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。 3. 費(fèi)馬點(diǎn)與3個(gè)頂點(diǎn)連成的線段是溝通3點(diǎn)的最短路線，容易理解，這個(gè)路線是唯一的。我們稱這一結(jié)果為最短路線原理。性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)有如下主要性質(zhì)：1 費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。2 費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120。 3 費(fèi)馬點(diǎn)為三角形中能量最低點(diǎn)。4 三力平衡時(shí)三力夾角皆為120，所以費(fèi)馬點(diǎn)是三力平衡的點(diǎn)。 例1：已知：ABH是等邊三角形。

2、求證：GA+GB+GH最小證明： ABH是等邊三角形。G是其重心。 AGH=AGB=BGH=120。 以HB為邊向右上方作等邊三角形DBH. 以HG為邊向右上方作等邊三角形GHP. AH=BH=AB=12. AGH=120, HGP=60. A、G、P三點(diǎn)一線。 再連PD兩點(diǎn)。 ABH、GHP和BDH都是等邊三角形,GHB=30. PHD=30,. 在HGB和HPD中 HG=HP GHB=PHD； HB=HD； HGBHPD； （SAS） HPD=HGB=120； HPG=60. G、P、D三點(diǎn)一線。 AG=GP=PD,且同在一條直線上。 GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. G點(diǎn)是等邊

3、三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的哪一點(diǎn)，費(fèi)馬點(diǎn)。也就是重心。 例2：已知：ABC是等腰三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。AGC=AGB=BGC=120。求證：GA+GB+GC最小證明：將BGC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，連GP,DB.則 HGBHPD； CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60, BCD=60, GCP和BCD都是等邊三角形。 AGC=120, CGP=60. A、G、P三點(diǎn)一線。 CPD=120, CPG=60. G、P、D三點(diǎn)一線。 AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G點(diǎn)是等腰三角形內(nèi)到三

4、個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的哪一點(diǎn)，費(fèi)馬點(diǎn)。但它不同于等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是重心。 例3：已知：ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。AGC=AGB=BGC=120。求證：GA+GB+GC最小證明：將BGC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，連GP,DB.則 CGBCPD； CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60, BCD=60, GCP和BCD都是等邊三角形。 AGC=120, CGP=60. A、G、P三點(diǎn)一線。 CPD=120, CPG=60. G、P、D三點(diǎn)一線。 AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G點(diǎn)是等腰

5、三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的哪一點(diǎn)，費(fèi)馬點(diǎn)。但它不同于等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是重心。（費(fèi)馬點(diǎn)問題）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊內(nèi)的任意一點(diǎn)，求的取值范圍.解：Part1:將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到，易知為等邊三角形.從而（兩點(diǎn)之間線段最短），從而.Part2:過作的平行線分別交于點(diǎn)，易知.因?yàn)樵诤椭校?。又，所以. +可得，即.綜上，的取值范圍為.“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)爾馬，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者之一費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn) 費(fèi)爾馬的結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過120的三角形，

6、費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡(jiǎn)單說(shuō)明如何找點(diǎn)P使它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最?。窟@就是所謂的費(fèi)爾馬問題 圖1解析：如圖1，把APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC點(diǎn)C可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而得的定點(diǎn)，BC為定長(zhǎng) ，所以當(dāng)B、P、P、C 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小這時(shí)BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€(gè)內(nèi)角都小于1

7、20時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考例1 （2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng) 圖2 圖3 分析：連接AC，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和就是到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問題的變

8、形，只是背景不同解 如圖2，連接AC，把AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到GFC，連接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等邊三角形，則EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（圖4） 點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60所得） 線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、F兩點(diǎn)都在BG上（圖3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為 +=，解得=2注 本題旋轉(zhuǎn)AEB、BEC也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試?yán)? （2009年北京中考題） 如圖4，在平面直

9、角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D, 使CD=,過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式； （3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短分析和解：（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)（3，）（過程略）（2） 直線BM的解析式為（過程略） 圖4 （3）如何確定點(diǎn)G的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在

10、設(shè)Q點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度為v，則P沿MQA運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，使P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，就是MQAQ最小，或MQ2AQ最小解法1 BQ=AQ， MQ2AQ最小就是MQAQBQ最小，就是在直線MO上找點(diǎn)G使他到A、B、M三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換 把MQB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到MQB，連接QQ、MM（圖5），可知QQB、MMB都是等邊三角形，則QQ=BQ又MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ點(diǎn)A、M為定點(diǎn)，所以當(dāng)Q、Q兩點(diǎn)在線段A M上時(shí)，MQAQBQ最小由條件可證明Q點(diǎn)總在AM上，所以A M

11、與OM的交點(diǎn)就是所要的G點(diǎn)（圖6）可證OG=MG 圖5 圖6 圖7解法2 考慮MQAQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K，由OB=6，OM=，可得BMO30，所以QKMQ要使MQAQ最小，只需使AQQK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn)A、Q、K在一條直線上時(shí)，AQ+QK最小，并且此時(shí)的QK垂直于BM，此時(shí)的點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)G（圖7）過A點(diǎn)作AHBM于H,則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn).由OB=6，OM=，可得OBM=60， BAH=30在RtOAG中，OG=AOtanBAH=G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）（G點(diǎn)為線段OC的中點(diǎn)）例3 （2009年湖州中考題）若點(diǎn)P 為ABC所在平面上一點(diǎn)，且APB=B

12、PC=CPA=120, 則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（1） 若P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且ABC=60，PA=3，PC=4, 則PB的值為 ；（2）如圖8，在銳角ABC的外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BB 過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB=PA+PB+PC 圖8 解：（1）利用相似三角形可求PB的值為 （2）設(shè)點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即APB=BPC=CPA=120如圖8，把ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到BCE，連結(jié)PE，則EPC為正三角形 BEC = APC =120，PEC=60 BEC+PEC=180 即 P、E、B 三點(diǎn)在同一直線上 BPC=120, CPE=60 ， BPC +CPE =180，即 B、P、E 三點(diǎn)在同一直線上 B、P、E、B 四點(diǎn)在同一直線上，即BB 過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P 又PE=PC，BE= PA， BB=E B+