2018年初三數(shù)學中考模型之費馬點問題

1、費馬點的問題定義：數(shù)學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：1. 如果三角形有一個內角大于或等于120，這個內角的頂點就是費馬點；2. 如果3個內角均小于120，則在三角形內部對3邊張角均為120的點，是三角形的費馬點。 3. 費馬點與3個頂點連成的線段是溝通3點的最短路線，容易理解，這個路線是唯一的。我們稱這一結果為最短路線原理。性質：費馬點有如下主要性質：1 費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2 費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120。 3 費馬點為三角形中能量最低點。4 三力平衡時三力夾角皆為120，所以費馬點是三力平衡的點。 例1：已知：ABH是等邊三角形。

2、求證：GA+GB+GH最小證明： ABH是等邊三角形。G是其重心。 AGH=AGB=BGH=120。 以HB為邊向右上方作等邊三角形DBH. 以HG為邊向右上方作等邊三角形GHP. AH=BH=AB=12. AGH=120, HGP=60. A、G、P三點一線。 再連PD兩點。 ABH、GHP和BDH都是等邊三角形,GHB=30. PHD=30,. 在HGB和HPD中 HG=HP GHB=PHD； HB=HD； HGBHPD； （SAS） HPD=HGB=120； HPG=60. G、P、D三點一線。 AG=GP=PD,且同在一條直線上。 GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. G點是等邊

3、三角形內到三個頂點的距離之和最小的哪一點，費馬點。也就是重心。 例2：已知：ABC是等腰三角形，G是三角形內一點。AGC=AGB=BGC=120。求證：GA+GB+GC最小證明：將BGC逆時針旋轉60，連GP,DB.則 HGBHPD； CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60, BCD=60, GCP和BCD都是等邊三角形。 AGC=120, CGP=60. A、G、P三點一線。 CPD=120, CPG=60. G、P、D三點一線。 AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G點是等腰三角形內到三

4、個頂點的距離之和最小的哪一點，費馬點。但它不同于等邊三角形的費馬點是重心。 例3：已知：ABC是銳角三角形，G是三角形內一點。AGC=AGB=BGC=120。求證：GA+GB+GC最小證明：將BGC逆時針旋轉60，連GP,DB.則 CGBCPD； CPD=CGB=120,CG=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60, BCD=60, GCP和BCD都是等邊三角形。 AGC=120, CGP=60. A、G、P三點一線。 CPD=120, CPG=60. G、P、D三點一線。 AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G點是等腰

5、三角形內到三個頂點的距離之和最小的哪一點，費馬點。但它不同于等邊三角形的費馬點是重心。（費馬點問題）如圖，是邊長為1的等邊內的任意一點，求的取值范圍.解：Part1:將繞點順時針旋轉60得到，易知為等邊三角形.從而（兩點之間線段最短），從而.Part2:過作的平行線分別交于點，易知.因為在和中， 。又，所以. +可得，即.綜上，的取值范圍為.“費馬點”與中考試題費爾馬，法國業(yè)余數(shù)學家，擁有業(yè)余數(shù)學之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點 費爾馬的結論：對于一個各角不超過120的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120的點，對于有一個角超過120的三角形，

6、費馬點就是這個內角的頂點下面簡單說明如何找點P使它到三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。窟@就是所謂的費爾馬問題 圖1解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小這時BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，當?shù)拿恳粋€內角都小于1

7、20時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換本文列舉近年“費馬點”走進中考試卷的實例，供同學們學習參考本文列舉近年“費馬點”走進中考試卷的實例，供同學們學習參考例1 （2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長 圖2 圖3 分析：連接AC，發(fā)現(xiàn)點E到A、B、C三點的距離之和就是到三個頂點的距離之和，這實際是費爾馬問題的變

8、形，只是背景不同解 如圖2，連接AC，把AEC繞點C順時針旋轉60，得到GFC，連接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等邊三角形，則EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（圖4） 點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉60所得） 線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上（圖3）設正方形的邊長為，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為 +=，解得=2注 本題旋轉AEB、BEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉，讀者不妨一試例2 （2009年北京中考題） 如圖4，在平面直

9、角坐標系中，ABC三個頂點的坐標分別為，延長AC到點D, 使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標； （2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式； （3）設G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短分析和解：（1）D點的坐標（3，）（過程略）（2） 直線BM的解析式為（過程略） 圖4 （3）如何確定點G的位置是本題的難點也是關健所在

10、設Q點為y軸上一點，P在y軸上運動的速度為v，則P沿MQA運動的時間為，使P點到達A點所用的時間最短，就是MQAQ最小，或MQ2AQ最小解法1 BQ=AQ， MQ2AQ最小就是MQAQBQ最小，就是在直線MO上找點G使他到A、B、M三點的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個費爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉變換 把MQB繞點B順時針旋轉60，得到MQB，連接QQ、MM（圖5），可知QQB、MMB都是等邊三角形，則QQ=BQ又MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ點A、M為定點，所以當Q、Q兩點在線段A M上時，MQAQBQ最小由條件可證明Q點總在AM上，所以A M

11、與OM的交點就是所要的G點（圖6）可證OG=MG 圖5 圖6 圖7解法2 考慮MQAQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K，由OB=6，OM=，可得BMO30，所以QKMQ要使MQAQ最小，只需使AQQK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當點A、Q、K在一條直線上時，AQ+QK最小，并且此時的QK垂直于BM，此時的點Q即為所求的點G（圖7）過A點作AHBM于H,則AH與y軸的交點為所求的G點.由OB=6，OM=，可得OBM=60， BAH=30在RtOAG中，OG=AOtanBAH=G點的坐標為（0，）（G點為線段OC的中點）例3 （2009年湖州中考題）若點P 為ABC所在平面上一點，且APB=B

12、PC=CPA=120, 則點P叫做ABC的費馬點（1） 若P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60，PA=3，PC=4, 則PB的值為 ；（2）如圖8，在銳角ABC的外側作等邊ACB，連結BB求證：BB 過ABC的費馬點P，且BB=PA+PB+PC 圖8 解：（1）利用相似三角形可求PB的值為 （2）設點P為銳角ABC的費馬點，即APB=BPC=CPA=120如圖8，把ACP繞點C順時針旋轉60到BCE，連結PE，則EPC為正三角形 BEC = APC =120，PEC=60 BEC+PEC=180 即 P、E、B 三點在同一直線上 BPC=120, CPE=60 ， BPC +CPE =180，即 B、P、E 三點在同一直線上 B、P、E、B 四點在同一直線上，即BB 過ABC的費馬點P 又PE=PC，BE= PA， BB=E B+