2013年高考江蘇數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題 - 第20題）本卷滿分160分，考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙

2、、修正液、可擦洗的圓珠筆數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分 請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上（1）【2014年江蘇，1，5分】函數(shù)的最小正周期為_【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期（2）【2014年江蘇，2，5分】設(shè)(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的模為_【答案】5【解析】（3）【2014年江蘇，3，5分】雙曲線的兩條漸近線的方程為_【答案】【解析】由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為（4）【2014年江蘇，4，5分】集合共有 _個(gè)子集【答案】8【解析】由于集合有3個(gè)元素，故其子集個(gè)數(shù)為（5）【2014年江蘇，5，5分】右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是_【答案】3【解析】第一次循環(huán)

3、后：；第二次循環(huán)后：；由于，跳出循環(huán)，輸出（6）【2014年江蘇，6，5分】抽樣統(tǒng)計(jì)甲，乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為 【答案】2【解析】由題中數(shù)據(jù)可得， ，由，可知乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)穩(wěn)定故應(yīng)填2（7）【2014年江蘇，7，5分】現(xiàn)有某類病毒記作，其中正整數(shù)可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為_【答案】【解析】由題意知的可能取值為1，2，3，7；的可能取值為1，2，3，9由于是任取m，n：若時(shí)，可取1，2，3，9，共9種情況；同理m取2，3，7時(shí)，n

4、也各有9種情況，故m，n的取值情況共有種若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1，3，5，7，n的取值為1，3，5，7，9，因此滿足條件的情形有45=20種故所求概率為（8）【2014年江蘇，8，5分】如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則_【答案】【解析】由題意可知點(diǎn)到面的距離與點(diǎn)到面的距離之比為，因此（9）【2014年江蘇，9，5分】拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?包含三角形內(nèi)部和邊界)若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】由題意可知拋物線在處的切線方程為該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示：當(dāng)直線平移到過點(diǎn)時(shí)，取得最大值當(dāng)直線平

5、移到過點(diǎn)時(shí)，取得最小值因此所求的的取值范圍為（10）【2014年江蘇，10，5分】設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，若(為實(shí)數(shù))，則的值為_【答案】【解析】由題意作圖如圖在中，故（11）【2014年江蘇，11，5分】已知是定義在上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，則不等式的解集用區(qū)間表示為_【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)，則原不等式等價(jià)于或，由此可解得或（12）【2014年江蘇，12，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為若，則橢圓的離心率為_【答案】【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可設(shè)直線的方程為，即于是可知，即（13）【2014年江蘇，13，5

6、分】平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)圖像上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)之間最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為_【答案】，【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則令，則結(jié)合題意可知(1)當(dāng)，時(shí)，取得最小值此時(shí)，解得，(舍去)(2)當(dāng)，時(shí)，取得最小值此時(shí)，解得，(舍去)故滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為，（14）【2014年江蘇，14，5分】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則滿足的最大正整數(shù)的值為_【答案】12【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則由可得，于是，則， 當(dāng)取12時(shí)，成立；當(dāng)取13時(shí)， 當(dāng)時(shí)，隨著增大將恒小于因此所求的最大值為12二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟

7、（15）【2014年江蘇，15，14分】已知， （1）若，求證：； （2）設(shè)，若，求，的值解：（1）解法一：由，得：，即又，所以，故解法二：，由，得：，即：，化簡(jiǎn)，得：，所以（2），可得：解法一：由（1）得：，又，故代入（2），得：，又，所以解法二：，得：，又，故有：，代入（1）式：，化簡(jiǎn)，得：從而解法三：兩式和差化積，得：，可得：，又，所以代入（4）式，可得：，又，以上聯(lián)立，解得：（16）【2014年江蘇，16，14分】如圖，在三棱錐中，平面平面，過作，垂足為，點(diǎn)，分別是側(cè)棱，的中點(diǎn)求證： （1）平面平面； （2）解：（1）因?yàn)?，于，所以是的中點(diǎn)又是的中點(diǎn)，所以 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面同?/p>

8、可證平面又，所以平面平面（2）因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，又平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)椋矫?，所以平面又因?yàn)槠矫妫裕?7）【2014年江蘇，17，14分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線設(shè)圓的半徑為1，圓心在上 （1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程； （2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍解：（1）由題設(shè)，圓心是直線和的交點(diǎn)，解得點(diǎn)，于是切線的斜率必存在設(shè)過的圓的切線方程為，由題意，解得或，故所求切線方程為或（2）因?yàn)閳A心在直線上，所以圓的方程為設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，則，即由，得；由，得

9、所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（18）【2014年江蘇，18，16分】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑 一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為50m/min在甲出發(fā)2min后，乙從乘纜車到，在處停留1min后，再?gòu)膭蛩俨叫械郊僭O(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量， （1）求索道的長(zhǎng)； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處相互等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解：（1）在中，因?yàn)椋?，從而由正弦定理，得所以索道?/p>

10、長(zhǎng)為（2）假設(shè)乙出發(fā)min后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，因，即，故當(dāng)(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短（3）由正弦定理，得乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了(m)，還需走才能到達(dá)設(shè)乙步行的速度為m/min，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)（19）【2014年江蘇，19，16分】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和記，其中為實(shí)數(shù) （1）若，且，成等比數(shù)列，證明：； （2）若是等差數(shù)列，證明：解：由題設(shè)，（1）由，得又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得因?yàn)?，所以因此，?duì)于所有的，有從而對(duì)于所有

11、的，有（2）設(shè)數(shù)列的公差是，則，即，代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的，有令，則對(duì)于所有的，有(*)在(*)式中分別取，得，從而有，由，得，代入方程，得，從而即，=0，若d1=0，則由，得，與題設(shè)矛盾，所以又因?yàn)?，所以?0）【2014年江蘇，20，16分】設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù) （1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的范圍； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解：（1）令f(x)=，考慮到的定義域?yàn)?，故，進(jìn)而解得，即 在上是單調(diào)減函數(shù)同理，在上是單調(diào)增函數(shù)由于在上是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又在上有最小值，所以，即綜上，有（2）當(dāng)時(shí)，必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)

12、時(shí)，令，解得，即因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，類似（1）有，即結(jié)合上述兩種情況，有當(dāng)時(shí)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，所以在上存在零點(diǎn)另外，當(dāng)時(shí)，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，是的最大值點(diǎn)，且最大值為當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)際上，對(duì)于，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，所以在上存在零點(diǎn)另外，當(dāng)時(shí)， ，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)下面考慮在上的情況先證為此，我們要證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，再設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以在上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)時(shí)，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，又，且函數(shù)在上的圖象不間斷，

13、所以在上存在零點(diǎn)又當(dāng)時(shí)，故在(a-1，+)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a-1，+)上只有一個(gè)零點(diǎn)綜合，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共2頁(yè)，均為非選擇題（第21題第23題）。本卷滿分為40分。考試時(shí)間為30分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。2答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與您本人是否相符。4作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無(wú)

14、效。5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。數(shù)學(xué)【選做】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（21-A）【2014年江蘇，21-A，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，和分別與圓相切于點(diǎn)經(jīng)過圓心，且求證：解：連結(jié)因?yàn)楹头謩e與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以又因?yàn)?，所以所以又，故?1-B）【2014年江蘇，21-B，10分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣，求矩陣解：設(shè)矩陣的逆矩陣為，則=，即=，故，從而的逆矩陣為，所以=（21-C）【2014年江蘇，21-C，10分】

15、（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）試求直線和曲線的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，由得，代入，得到直線l的普通方程為同理得到曲線的普通方程為聯(lián)立,解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，（21-D）【2014年江蘇，21-D，10分】（選修4-4：不等式選講）已知，求證：解：因?yàn)椋?，從而，即【必做】?2、23題，每小題10分，計(jì)20分請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)（22）【2014年江蘇，22，10分】如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以?，即且，取，得，所以，是平面的一個(gè)法向量取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成二面角的大小為