2019年長沙市高三統(tǒng)一檢測 理科數(shù)學試卷_W

1、 科目：數(shù)學（理科）（試題卷）注意事項：1. 答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和 該試題卷的封面上，并認真核對條形碼的姓名、準考證號和科目。 2. 選擇題和非選擇題均須在答題卡上作答，在本試題卷和草 稿紙上作答無效?？忌诖痤}卡上按答題卡中注意事項的要求答 題。3. 本試題卷共 7 頁。如缺頁，考生須及時報告監(jiān)考老師，否則后果自負。4. 考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.姓名 準考證號 啟用前理科數(shù)學長沙市教科院組織名優(yōu)教師聯(lián)合命制本試題卷共 7 頁，全卷滿分 150 分，考試用時 120 分鐘。一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給

2、出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的.1設(shè)集合 M = x x = 4n +1 , n Z， N = x x = 2n +1, n Z，則 C M ND N MA MNB NMm + i2在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于第一象限，則實數(shù)m 的取值范圍是 m - iB (-,0)A (-,-1)C (0,+)D (1,+)3在等比數(shù)列a 中，“ a ， a 是方程 x2 + 3x +1 = 0 的兩根”是“ a = 1”的 nA充分不必要條件C.充要條件 132B必要不充分條件 D既不充分也不必要條件4下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是A. f ( x) = sin x - x

3、B. f ( x) = ln( x -1) - ln( x +1)D. f ( x) =ex+1ex + e- xex -1C. f ( x) =25已知一種元件的使用壽命超過 1 年的概率為 0.8，超過 2 年的概率為 0.6，若一個這 種元件使用到 1 年時還未失效，則這個元件使用壽命超過 2 年的概率為 A 0.75B 0.6C 0.52D 0.486已知 F1, F2 是雙曲線C : y2 - x2 = 1的上、下焦點，點 P 是其一條漸近線上一點，且以 F1F2為直徑的圓經(jīng)過點 P ，則DPF1F2 的面積為 22A.B1CD227在D ABC 中， A16AB = 10 ， BC

4、 = 6 ， CA = 8 ，且O 是D ABC 的外心，則CA AO =C -16D - 32B 32理科數(shù)學試卷 第 1 頁（共 7 頁） 8我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“緣冪勢即同， 則積不容異也”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所 對應的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為 4pA8 3B8 p2pC8 3pD4 29已知 P(1,2) 是函數(shù) f (x) = Asin(wx +j)(A 0,w 0) 圖象的一個最高點， B,C 是 與 P

5、相鄰的兩個最低點設(shè)BPC = q ，若tan q= 3 ，則 f (x) 的圖象對稱中心可24以是 A (0,0)35B (1,0),0,0C 2D 210已知 f (x) = ex -1 +1，若函數(shù) g(x) = f (x)2 + (a - 2) f (x) - 2a 有三個零點，則實數(shù)a 的取值范圍是 A (-2,-1)B (-1, 0)C (0,1)(1,2)Dp= 3 .11已知拋物線C : y2 = 2 px( p 0) 的焦點為 F ，點 A( , a)(a 0) 4在C 上，AFAB若直線 AF 與C 交于另一點 B ，則的值是A12B10C 9D 4.512設(shè)正方體 ABCD

6、- A1B1C1D1的棱長為1，E 為 DD1的中點，M 為直線 BD1上一點，N為平面 AEC 內(nèi)一點，則 M，N 兩點間距離的最小值為 63663436ABCD二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 5 分，共 20 分.把各題答案的最簡形式寫在題中的橫線上.13. 設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項的和為 Sn，且 S13=52，則 a4+a8+a9 = .14. 為培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)，某校準備在高二年級開設(shè) A,B,C,D,E,F 六門選修課程，學 校規(guī)定每個學生必須從這 6 門課程中選 3 門，且 A,B 兩門課程至少要選 1 門，則學生甲共有 種不同的選法 理科數(shù)學試卷 第 2 頁（共

7、7 頁） 15在平面直角坐標系 xOy 中，角q 的頂點在原點，始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊 p過點( 1 ,3cos 2 q +=)3 .，則2216已知二次函數(shù) f (x) = ax2 + bx + c ，且 4c 9a ，若不等式 f (x) 0 恒成立，則f (1)f (-1) 的取值范圍是 .f (0) -三、解答題：本大題共 7 個小題,共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答，第 22，23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60 分.17.（本小題滿分 12 分） 已知ABC 的內(nèi)角 A ，B

8、，C 的對邊分別為 a ，b ，c 且a sin( A + B) = c sin B + C .2（I）求 A ； （）若ABC 的面積為 3 ，周長為8 ，求a .理科數(shù)學試卷 第 3 頁（共 7 頁） 18（本小題滿分 12 分） 已知三棱錐 P - ABC （如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形 ABCD 為邊長等于 2 的正方形，ABE 和BCF 均為正三角形，在三棱錐 P - ABC 中： （I）證明：平面 PAC 平面 ABC ；（）若點 M 在棱 PA 上運動，當直線 BM 與平面 PAC 所成的角最大時，求二面角 P - BC - M 的余弦值 圖一圖二19.（本小題滿分

9、12 分）x22y1+ = 1(a b 0) 的離心率為 ，左、右焦點分別為 F1、 F2 ，已知橢圓C : a2b23 = 4 3AB =A 為橢圓C 上一點， AF 與 y 軸相交于 B ，F(xiàn) B ， OB12（）求橢圓C 的方程；（）設(shè)橢圓C 的左、右頂點為 A1、 A2 ，過 A1、 A2 分別作 x 軸的垂線l1 、l2 ，橢圓C 的一條切線l : y = kx + m( k 0) 與 l1 、l2 交于 M 、 N 兩點，求證： MF1N =MF2 N 理科數(shù)學試卷 第 4 頁（共 7 頁） 20（本小題滿分 12 分） 某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近 6

10、 個月廣告投入量 x （單位：萬元）和收益 y （單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表： 他們分別用兩種模型 y = bx + a ， y = aebx 分別進行擬合，得到相應的回歸方 程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值： （）根據(jù)殘差圖，比較模型，的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；（）殘差絕對值大于 2 的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除： （）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（）中所選模型的回歸方程； （）若廣告投入量 x = 18時，該模型收益的預報值是多少？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(x1, y1 )，(x2 , y2 )，(xn , yn ) ，其回歸直線 y=bx + a 的斜率和截距的最小

11、二乘估計分別為： n n (xi - x)( yi - y)i=1xi yi - nxyi=1n La=y - bx ， b =ni=1i=122(x - x)2x - nxii理科數(shù)學試卷 第 5 頁（共 7 頁）xy6 xi yii=16 xi 2i=17301464.24364月份 123456廣告投入量 24681012收益 14.2120.3131.831.1837.8344.67 21（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) f (x) = ex (1+ a ln x) ，其中a 0 ，設(shè) f (x) 為 f (x) 導函數(shù) （）設(shè) g(x) = e- x f (x) ，若 g(x) 2

12、 恒成立，求a 的范圍； （）設(shè)函數(shù) f (x) 的零點為 x0 ，函數(shù) f (x) 的極小值點為 x1 ，當a 2 時， 求證： x0 x1 理科數(shù)學試卷 第 6 頁（共 7 頁） （二）選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系 xOy 中，以O(shè) 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已 x = 1 + cosjja知曲線 M 的參數(shù)方程為 y = 1 + sinj （為參數(shù)），過原點O 且傾斜角為的直線l 交M 于 A 、 B 兩點.（）求l 和 M 的極坐標方