高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯總講解大全

1、高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯總（高一）高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯總（高一）1一、集合和命題2二、不等式4三、函數(shù)的基本性質(zhì)6四、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)12（一）冪函數(shù)12（二）指數(shù)&指數(shù)函數(shù)13（三）反函數(shù)的概念及其性質(zhì)14（四）對數(shù)&對數(shù)函數(shù)15五、三角比17六、三角函數(shù)24一、集合和命題一、集合： （1）集合的元素的性質(zhì)： 確定性、互異性和無序性； （2）元素與集合的關(guān)系： 屬于集合； 不屬于集合 （3）常用的數(shù)集： 自然數(shù)集；正整數(shù)集；整數(shù)集； 有理數(shù)集；實(shí)數(shù)集；空集；復(fù)數(shù)集； ； （4）集合的表示方法： 集合； 例如：列舉法：；描述法： （5）集合之間的關(guān)系： 集合是集合的子集；特別地，； 或集合與集合

2、相等； 集合是集合的真子集 例：； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 （6）集合的運(yùn)算： 交集：集合與集合的交集； 并集：集合與集合的并集； 補(bǔ)集：設(shè)為全集，集合是的子集，則由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合在全集中的補(bǔ)集，記作 得摩根定律：； （7）集合的子集個(gè)數(shù)： 若集合有個(gè)元素，那么該集合有個(gè)子集；個(gè)真子集；個(gè)非空子集；個(gè)非空真子集二、四種命題的形式： （1）命題：能判斷真假的語句 （2）四種命題：如果用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和分別表示和的否定，那么四種命題形式就是：命題原命題逆命題否命題逆否命題表示形式若，則若，則；若，則；若，則逆命題關(guān)系原命題逆命題逆否命

3、題否命題否命題關(guān)系原命題否命題逆否命題逆命題逆否命題關(guān)系原命題逆否命題逆命題否命題同真同假關(guān)系 （3）充分條件，必要條件，充要條件： 若，那么叫做的充分條件，叫做的必要條件； 若且，即，那么既是的充分條件，又是的必要條件，也就是說，是的充分必要條件，簡稱充要條件 欲證明條件是結(jié)論的充分必要條件，可分兩步來證： 第一步：證明充分性：條件結(jié)論； 第二步：證明必要性：結(jié)論條件 （4）子集與推出關(guān)系： 設(shè)、是非空集合， 則與等價(jià) 結(jié)論：小范圍大范圍；例如：小明是上海人小明是中國人 小范圍是大范圍的充分非必要條件； 大范圍是小范圍的必要非充分條件二、不等式一、不等式的性質(zhì)：不等式的性質(zhì) 1、； 2、；

4、3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、二、一元一次不等式：一元一次不等式解集三、一元二次不等式：的根的判別式，四、含有絕對值不等式的性質(zhì)： （1）； （2）五、分式不等式： （1）； （2）六、含絕對值的不等式：七、指數(shù)不等式： （1）； （2）八、對數(shù)不等式： （1）； （2）九、不等式的證明： （1）常用的基本不等式： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號； ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號； 補(bǔ)充公式： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號； ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號； 為大于1的自然數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”號； （2）證明不等式的常用方法： 比較法； 分析法； 綜合法三、函數(shù)的基本性質(zhì)一、函數(shù)的概念： （1）若自變量因變量，則就

5、是的函數(shù)，記作； 的取值范圍函數(shù)的定義域；的取值范圍函數(shù)的值域 求定義域一般需要注意： ，； ，； ，； ，； ，且 （2）判斷是否函數(shù)圖像的方法：任取平行于軸的直線，與圖像最多只有一個(gè)公共點(diǎn)； （3）判斷兩個(gè)函數(shù)是否同一個(gè)函數(shù)的方法：定義域是否相同；對應(yīng)法則是否相同二、函數(shù)的基本性質(zhì)： （1）奇偶性：函數(shù)前提條件“定義域關(guān)于0對稱”成立“定義域關(guān)于0對稱”；“”； “”不成立或者成立成立奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇偶函數(shù)圖像性質(zhì)關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱 注意：定義域包括0的奇函數(shù)必過原點(diǎn) （2）單調(diào)性和最值：前提條件，任取單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)或最小值任取最大值 注意： 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)

6、單調(diào)性外函數(shù)內(nèi)函數(shù)復(fù)合函數(shù) 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （3）零點(diǎn)：若，且，則叫做函數(shù)的零點(diǎn) 零點(diǎn)定理：；特別地，當(dāng)是單調(diào)函數(shù)，且，則該函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即存在唯一，使得 （4）平移的規(guī)律：“左加右減，下加上減”函數(shù)向左平移向右平移向上平移向下平移備注 （5）對稱性： 軸對稱的兩個(gè)函數(shù)：函數(shù)對稱軸軸軸函數(shù) 中心對稱的兩個(gè)函數(shù)：函數(shù)對稱中心函數(shù) 軸對稱的函數(shù)：函數(shù)對稱軸軸條件 注意：關(guān)于對稱； 關(guān)于對稱； 關(guān)于對稱，即是偶函數(shù) 中心對稱的函數(shù)：函數(shù)對稱中心條件 注意：關(guān)于點(diǎn)對稱； 關(guān)于點(diǎn)對稱； 關(guān)于點(diǎn)對稱； 關(guān)于點(diǎn)對稱，即是

7、奇函數(shù) （6）凹凸性： 設(shè)函數(shù)，如果對任意，且，都有，則稱函數(shù)在上是凹函數(shù)；例如： 進(jìn)一步，如果對任意，都有，則稱函數(shù)在上是凹函數(shù)；該不等式也稱琴生不等式或詹森不等式； 設(shè)函數(shù)，如果對任意，且，都有，則稱函數(shù)在上是凸函數(shù)例如： 進(jìn)一步，如果對任意，都有，則稱函數(shù)在上是凸函數(shù)；該不等式也稱琴生不等式或詹森不等式 （7）翻折：函數(shù)翻折后翻折過程將在軸右邊的圖像不變，并將其翻折到軸左邊，并覆蓋將在軸上邊的圖像不變，并將其翻折到軸下邊，并覆蓋第一步：將在軸右邊的圖像不變，并將其翻折到左邊，并覆蓋；第二步：將軸上邊的圖像不變，并將其翻折到軸下邊，并覆蓋將在軸上邊的圖像保持不變，并將軸下邊的圖像翻折到軸上

8、邊，不覆蓋 （8）周期性： 若，恒有，則稱為這個(gè)函數(shù)的周期 注意：若是的周期，那么也是這個(gè)函數(shù)的周期； 周期函數(shù)的周期有無窮多個(gè)，但不一定有最小正周期 ，是周期函數(shù)，且其中一個(gè)周期； （陰影部分下略） ，； ，； 或，； 或，； 或，； 關(guān)于直線，都對稱； 關(guān)于兩點(diǎn)，都成中心對稱； 關(guān)于點(diǎn)，成中心對稱，且關(guān)于直線，對稱； 若（為常數(shù)，），則是以為周期的周期函數(shù)； 若（為常數(shù)，為正偶數(shù)），則是以為周期的周期函數(shù)三、V函數(shù)：定義形如的函數(shù)，稱作V函數(shù)分類圖像定義域值域?qū)ΨQ軸開口向上向下頂點(diǎn)單調(diào)性在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減注意當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)四、分式函數(shù)：定義形如的函數(shù)

9、，稱作分式函數(shù)分類（耐克函數(shù)）圖像定義域值域漸近線，單調(diào)性在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減在，上單調(diào)遞增；五、曼哈頓距離： 在平面上，則稱為的曼哈頓距離六、某類帶有絕對值的函數(shù)： 1、對于函數(shù)，在時(shí)取最小值； 2、對于函數(shù)，在時(shí)取最小值； 3、對于函數(shù)，在時(shí)取最小值； 4、對于函數(shù)，在時(shí)取最小值； 5、推廣到，在時(shí)取最小值； ，在時(shí)取最小值思考：對于函數(shù)，在_時(shí)取最小值四、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（一）冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的定義： 形如的函數(shù)稱作冪函數(shù)，定義域因而異 （2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間上的圖像分三類，如圖所示 （3）作冪函數(shù)的草圖，可分兩步： 根據(jù)的大小，作出該函數(shù)在區(qū)間上的圖像； 根據(jù)

10、該函數(shù)的定義域及其奇偶性，補(bǔ)全該函數(shù)在上的圖像 （4）判斷冪函數(shù)的的大小比較： 方法一：與直線的交點(diǎn)越靠上，越大； 方法二：與直線的交點(diǎn)越靠下，越大 （5）關(guān)于形如的變形冪函數(shù)的作圖： 作漸近線（用虛線）：、； 選取特殊點(diǎn)：任取該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，建議??； 畫出大致圖像：結(jié)合漸近線和特殊點(diǎn)，判斷圖像的方位（右上左下、左上右下）（二）指數(shù)&指數(shù)函數(shù)1、指數(shù)運(yùn)算法則： ；，其中2、指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)：/圖像定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)漸近線軸單調(diào)性在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于零； 指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，3、判斷指數(shù)函數(shù)中參數(shù)的大?。?

11、方法一：與直線的交點(diǎn)越靠上，越大； 方法二：與直線的交點(diǎn)越靠下，越大（三）反函數(shù)的概念及其性質(zhì)1、反函數(shù)的概念： 對于函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，如果對于中任意一個(gè)值，在中總有唯一確定的值與它對應(yīng)，且滿足，這樣得到的關(guān)于的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作在習(xí)慣上，自變量常用表示，而函數(shù)用表示，所以把它改寫為2、求反函數(shù)的步驟：（“解”“換”“求”） 將看作方程，解出； 將、互換，得到； 標(biāo)出反函數(shù)的定義域（原函數(shù)的值域）3、反函數(shù)的條件： 定義域與值域中的元素一一對應(yīng)4、反函數(shù)的性質(zhì)： 原函數(shù)過點(diǎn)，則反函數(shù)過點(diǎn)； 原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于對稱，且單調(diào)性相同； 奇函數(shù)的反函數(shù)必為奇函數(shù)5、原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系

12、：/函數(shù)定義域值域（四）對數(shù)&對數(shù)函數(shù)1、指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系：底數(shù)指數(shù)冪對數(shù)真數(shù)2、對數(shù)的運(yùn)算法則： ，；常用對數(shù)，自然對數(shù)； ，； ，3、對數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)：/圖像定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)漸近線軸單調(diào)性在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；性質(zhì) 對數(shù)函數(shù)的圖像在軸的右方； 對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，4、判斷對數(shù)函數(shù)中參數(shù)的大小： 方法一：與直線的交點(diǎn)越靠右，越大； 方法二：與直線的交點(diǎn)越靠左，越大五、三角比1、角的定義： （1）終邊相同的角： 與表示終邊相同的角度； 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同； 與表示終邊共線的角（同向或反向） （2）特殊位置的角的

13、集合的表示：位置角的集合在軸正半軸上在軸負(fù)半軸上在軸上在軸正半軸上在軸負(fù)半軸上在軸上在坐標(biāo)軸上在第一象限內(nèi)在第二象限內(nèi)在第三象限內(nèi)在第四象限內(nèi) （3）弧度制與角度制互化： ； ； （4）扇形有關(guān)公式： ； 弧長公式：； 扇形面積公式：（想象三角形面積公式） （5）集合中常見角的合并： （6）三角比公式及其在各象限的正負(fù)情況： 以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，在的終邊上任取一個(gè)異 于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，則 （7）特殊角的三角比：角度制弧度制00100100101無0無0 （8）一些重要的結(jié)論：（注意，如果沒有特別指明，的取值范圍是） 角和角的終邊：角和角的終邊關(guān)于

14、軸對稱關(guān)于軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱 的終邊與的終邊的關(guān)系 的終邊在第一象限； 的終邊在第二象限； 的終邊在第三象限； 的終邊在第四象限 與的大小關(guān)系： 的終邊在直線右邊（）； 的終邊在直線左邊（）； 的終邊在直線上（） 與的大小關(guān)系： 的終邊在或； 的終邊在或； ，的終邊在2、三角比公式： （1）誘導(dǎo)公式：（誘導(dǎo)公式口訣：奇變偶不變，符號看象限） 第一組誘導(dǎo)公式： 第二組誘導(dǎo)公式： 第三組誘導(dǎo)公式： （周期性） （奇偶性） （中心對稱性） 第四組誘導(dǎo)公式： 第五組誘導(dǎo)公式： 第六組誘導(dǎo)公式： （軸對稱） （互余性） （2）同角三角比的關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系： 平方關(guān)系： （3）兩角和差的正弦公

15、式：； 兩角和差的余弦公式：； 兩角和差的正切公式： （4）二倍角的正弦公式：； 二倍角的余弦公式：； 二倍角的正切公式：； 降次公式： 萬能置換公式： ； 半角公式：； （5）輔助角公式： 版本一： ，其中 版本二： ，其中3、正余弦函數(shù)的五點(diǎn)法作圖： 以為例，令依次為，求出對應(yīng)的與值，描點(diǎn)作圖4、正弦定理和余弦定理： （1）正弦定理：為外接圓半徑； 其中常見的結(jié)論有： ，； ，； ； ； （2）余弦定理：版本一：；版本二：； （3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：5、與三角形有關(guān)的三角比： （1）三角形的面積： ； ； ，為的周長 （2）在中， ； 若是銳角三角形，則； ； ； ； ；

16、 ； ； ； 其中，第一組可以利用琴生不等式來證明；第二組可以結(jié)合第一組及基本不等式證明 （3）在中，角、成等差數(shù)列 （4）的內(nèi)切圓半徑為6、仰角、俯角、方位角： 略7、和差化積與積化和差公式（理科）： （1）積化和差公式： ； （2）和差化積公式：六、三角函數(shù)1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)、圖像：定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性最小正周期最小正周期最小正周期單調(diào)性；（）；（）（）最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；無圖像 例1：求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間和最值（當(dāng)?shù)南禂?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，單調(diào)性相反） 解析：周期，由函數(shù)的遞增區(qū)間，可得 ，即， 于是，函數(shù)的遞增區(qū)間為 同理可得函數(shù)遞減區(qū)間

17、為 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值5； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值 例2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值 解析：由，可得 然后畫出的終邊圖，然后就可以得出 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減 同時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值12； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值； 注意：當(dāng)?shù)南禂?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，單調(diào)性的分析正好相反2、函數(shù)&，其中： （1）復(fù)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)：三角函數(shù)其中其中其中振幅無基準(zhǔn)線定義域值域最小正周期頻率相位初相 （2）函數(shù)與函數(shù)的圖像的關(guān)系如下： 相位變換： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 周期變換： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 振幅變換： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 最值變換： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 注意：函數(shù)和函數(shù)的變換情況同上3、三角函數(shù)的值域： （1）型： 設(shè)，化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值 （2），型： 引入輔助角，化為 （3）型： 設(shè)，化為二次函數(shù)求解 （4）型： 設(shè)，則，化為二次函數(shù)在閉 區(qū)間上求最值 （5）型： 設(shè)，化為，用“Nike函數(shù)”或“差函數(shù)”求解 （6）型： 方法一：常數(shù)分離、分層求解；方法二：利用有界性，化為求解 （7）型： 化為，合并，利用有界性， 求解 （8），（不全為0）型： 利用降次公式，可得，然后利用輔 助角公式即可4、三角函數(shù)的對稱性：對稱中心對稱軸方程，/ 備注：和的對稱中心在其函數(shù)圖像上； 和的