高中數(shù)學(xué)基本不等式證明

1、不等式證明基本方法例1 ：求證：分析：比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此題用作差法較為簡(jiǎn)便。證明： 評(píng)注：1比較法之一（作差法）步驟：作差變形判斷與0的關(guān)系結(jié)論 2作差后的變形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，應(yīng)注意結(jié)合式子的形式，適當(dāng)選 用。例2：設(shè)，求證：分析：從不等式兩邊形式看，作差后可進(jìn)行因式分解。證明：=，則故原不等式成立評(píng)注：三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式： ，這樣容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例3 ：已知求證：證明： ）當(dāng)時(shí)，則）當(dāng)時(shí)，則）當(dāng)時(shí)，則評(píng)注：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分，作差后能因式分解，作商后能進(jìn)一 步簡(jiǎn)化變形等，

2、是運(yùn)用比較法的外部特征。當(dāng)作差或商后的式子中含有字母時(shí)，有時(shí) 需對(duì)字母進(jìn)行分類討論。例4 ：已知且求證：分析一：作差后可以判定符號(hào)，可用作差法。證法一： ）當(dāng)時(shí)，則）當(dāng)時(shí)，則又，分析二：不等式兩邊次數(shù)不同，也可以先降次，再作差。證法二： ）當(dāng)時(shí)，與同為正）當(dāng)時(shí)，與同為負(fù)即評(píng)注：有時(shí)可將原不等式變形后再作差比較（如平方后作差等），可使變形更方便。分析三：不等式兩邊均為正數(shù)，也可用作商法。證法三：）當(dāng)時(shí)，）當(dāng)時(shí)， 評(píng)注：1比較法之二（作商法）步驟：作商變形判斷與1的關(guān)系結(jié)論 2作差法是通法，運(yùn)用較廣。作商法要注意條件，不等式兩邊必須為正數(shù)。常用于證冪、指數(shù)形 式的不等式。例5 ：設(shè)都正數(shù)，求證：分

3、析：不等式左邊可以兩兩運(yùn)用均值不等式，得到不等式右邊。證明：，評(píng)注：1.利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要 證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法 2綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推 出結(jié)論的一種證明方法例6:設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù)，求證：+.分析一：不等式左邊兩兩結(jié)合，可以連續(xù)使用均值不等式。證法一：a,b,c均為正實(shí)數(shù)，（），當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；（），當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；（）當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立；三個(gè)不等式相加即得+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.分析二：從一些常用不等式出發(fā)，可以減少思

4、維回路，降低解題難度，提高效率。證法二： 同理： +評(píng)注：運(yùn)用綜合法證明不等式，必須發(fā)現(xiàn)式子的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合重要不等式和常用不等式，找到解題的方 法。例7 : 已知a,b,cR+，且a+b+c=1.求證：（1+a）（1+b）（1+c）8（1a）（1b）（1c）.分析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若將“a+b+c” 換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實(shí)質(zhì)，解決問題.證明：a,b,cR+且a+b+c=1，要證原不等式成立，即證（a+b+c）+a（a+b+c）+b（a+b+c）+c8（a+b+c）a（a+b+c）b（a+b+c）

5、c.也就是證（a+b）+（c+a）（a+b）+（b+c）（c+a）+（b+c）8（b+c）（c+a）（a+b） （a+b）+（b+c）20，（b+c）+（c+a）20，（c+a）+（a+b）20，三式相乘得式成立.故原不等式得證.評(píng)注：1.證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn) 化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式 成立，這種方法通常叫做分析法分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因 2.分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有這只需要證明命 題為真，從而又有 這只需要證明命題A為真,而已知

6、A為真，故命題B必為真例8 :設(shè)，求證：分析：不等式的形式較復(fù)雜，可以從原不等式出發(fā)，進(jìn)行化簡(jiǎn)變形。證法一：要證原不等式成立，只需證：只需證只需證，只需證上式成立 原不等式在時(shí)成立.證法二：即 評(píng)注：分析法與綜合法本質(zhì)上是一致的，形式上是互逆的，我們常常用分析法尋找證題思路，用綜合法書 寫證明過程。配套小練習(xí)：證明下列不等式1 己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，求證：2已知a,b,x,yR+且，xy. 求證：3.已知均為正數(shù)，且，求證：.4設(shè)a, b, c R，求證：5.已知是正實(shí)數(shù)，求證：6.已知為不相等的正數(shù)，且，求證：7.若a,b0,2ca+b,求證: (1)c2ab （2）c-ac+8.已知均為正數(shù)，且， 求證：； 解答：1.證明：成等比數(shù)列，都是正數(shù)， 2.證法一：（作差比較法）=，又且a,bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即. 證法二：（分析法）x,y,a,bR+，要證，只需證明x（y+b）y（x+a），即證xbya.而由0，ba0.又xy0，知xbya顯然成立.故原不等式成立.3.證明： 4.證明： 同理：， 三式相加：5.證明： 同理：； 6.證明：是不相等的正數(shù)，且 7.證明:（1）ab()2c2abc2（2）欲證c-ac+只需證-a-c即|a-c|即a2-2ac+c2c2-