2018年1月北京市各城區(qū)導數(shù)匯編及答案

1、導數(shù)匯編 2018.1 1.DC（本小題13分）已知函數(shù).（）求曲線在點（1，）處的切線方程；（）若對恒成立，求的最小值.2.已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.求證：“”是“函數(shù)有且只有一個零點” 的充分必要條件.3. CY(本小題滿分13分)已知函數(shù)，.（）求曲線在點處的切線的斜率；（）判斷方程（為的導數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，說明理由；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍. 4.FT（本小題共13分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍5（本小題共13分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時

2、，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍6.HD（本小題14分）已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程； （）當時，求證：函數(shù)有且只有一個零點；（）當時，寫出函數(shù)的零點的個數(shù).（只需寫出結(jié)論）7. （本小題13分） 已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：“”是“函數(shù)有且只有一個零點”的充分不必要條件.8SJS（本小題共13分）已知函數(shù)（）若 ,確定函數(shù)的零點；（）若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；（）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值.9（本小題共13分）已知函數(shù).（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（）若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線，求實數(shù)的取值范圍.10XC（

3、本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）證明：在區(qū)間上恰有個零點11（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為；（）比較與的大小，并加以證明12TZ（本題滿分13分）已知函數(shù)，.（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）對任意的，恒成立，求的取值范圍. 導數(shù)答案1.（本題滿分共13分）解：（）的定義域為.由已知得，且.所以.所以曲線在點（1，）處的切線方程為. （）設，（）則. 令得.當變化時，符號變化如下表：10極小則，即，當且僅當時，.所以在上單調(diào)遞增.又，所以的最小值為為.2（共14分）解：（）因為函數(shù)，

4、所以,.又因為，所以曲線在點處的切線方程為. 4分（）函數(shù)定義域為， 由（）可知，.令解得.與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是. 9分（）當時，“”等價于“”.令，.當時，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.當時，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.而，.所以在區(qū)間上的最大值為.所以當時，對于任意，都有. 14分3. （本小題滿分13分）解：（）. 3分（）設，.當時，則函數(shù)為減函數(shù).又因為，,所以有且只有一個，使成立.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)根. 7分（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，且在兩側(cè)異號.因為當時，函數(shù)

5、為減函數(shù)，所以在上，即成立，函數(shù)為增函數(shù)；在上， ，即成立，函數(shù)為減函數(shù),則函數(shù)在處取得極大值.當時，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，但在 兩側(cè)同號，不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點的要求.由于，顯然.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，且在兩側(cè)異號，則只需滿足：即解得. 13分4.（本小題共13分） 解：（）函數(shù)的定義域為， 由 ，可得 或 當時，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間； 當時，的變化情況如下表：+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 當時，的變化情況如下表：+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 （）由（）知，當時，符合題意 當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞

6、增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即， 所以 ，所以 當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即 所以 ，所以 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 6. （本小題14分）（）因為函數(shù)所以 .2分 故， .4分 曲線在處的切線方程為 .5分（）當時，令，則 .6分故是上的增函數(shù). .7分 由，.8分故當時，當時，.即當時，當時，. 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. .10分函數(shù)的最小值為 由， .11分故有且僅有一個零點. （）當時，有兩個零點. .12分當時，有一個零點；.13分當時，有兩個零點. .14分 7. （本題共13分）解：（）依題意， -1分所以切線的斜率 又因為， 所以切線方程為

7、y=-1. （）先證不必要性.當時，令，解得. 此時，有且只有一個零點，故“有且只有一個零點則”不成立. 再證充分性.方法一：當時，.令，解得. -（i）當，即時，所以在上單調(diào)增.又，所以有且只有一個零點. （ii）當，即時，隨的變化情況如下:000極大值極小值 當時，所以 -又所以有且只有一個零點. （說明：如果學生直接寫出時，要扣1分）（iii）當，即時，隨的變化情況如下:000極大值極小值因為，所以時， 令，則. 下面證明當時，.設，則.當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減.所以當時，取得極大值.所以當時，, 即.所以.由零點存在定理，有且只有一個零點. 綜上，是函數(shù)有且只有一個零點的

8、充分不必要條件. （說明：如果學生寫出下面過程，時，有且只有一個零點.要扣1分）方法二：當時，注意到時，因此只需要考察上的函數(shù)零點. （i）當，即時，時，單調(diào)遞增. 又有且只有一個零點. （ii）當，即時，以下同方法一.方法三：令，顯然0不是該方程的根，所以.設,則.當時，在上單調(diào)減；當時，在上單調(diào)遞增.又時，時，令，則. 下面證明當時，.設，則.當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減.所以當時，取得極大值.所以當時，, 即.所以.所以當時，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，即當時，函數(shù)有且只有一個零點.8（本小題共13分）解：（）當 時，則 1分定義域是，令 2分是所求函數(shù)的零點. 3分（）

9、當時，函數(shù)的定義域是， 4分所以，5分令，只需證：時， 6分又，故在上為減函數(shù)， 7分所以， 8分所以，函數(shù)是上的減函數(shù) 9分（）由題意知，且， 10分所以，即有， 11分令，則，故是上的增函數(shù)，又，因此是的唯一零點，即方程有唯一實根，所以 13分9（本小題共13分）解：（）當時，得.1分因為=，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當或時，函數(shù)單調(diào)遞減所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和 .4分（）由，得因為對于任意都有成立，即對于任意都有成立，即對于任意都有成立，設,則等號成立當且僅當即.所以實數(shù)的取值范圍為 .9分（）設點是函數(shù)圖象上的切點，則過點的切線的斜率為，所以過點的切線方程為因為點在切線

10、上，即若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線，則方程有三個不同的實數(shù)解令，則函數(shù)與軸有三個不同的交點令，解得或因為，所以必須，即所以實數(shù)的取值范圍為 . .13分10（本小題滿分13分）解：（）當時，所以 2分因為， 4分所以曲線在點處的切線方程為 5分（） 6分由 ，得 7分因為，所以 8分當時，由，得所以存在唯一的，使得 9分與在區(qū)間上的情況如下：極大值所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減11分因為，12分且，所以在區(qū)間上恰有2個零點13分11（本小題滿分13分）解：（）函數(shù)的定義域是，導函數(shù)為 1分所以，又，所以曲線在點處的切線方程為 3分（）由已知 4分所以只需證明方程在區(qū)間有唯一解即方程在區(qū)間有唯一解 5分設函數(shù)， 6分則當時，故在區(qū)間單調(diào)遞增 7分又，所以存在唯一的，使得 8分綜上，存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為 9分（）證明如下：10分首先證明：當時，設，11分則當時，所以，故在單調(diào)遞增，12分所以時，有，即當時，有所以1