垂徑定理—知識(shí)講解(提高)

1、垂徑定理知識(shí)講解（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解圓的對(duì)稱(chēng)性；2 掌握垂徑定理及其推論；3學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、垂徑定理1.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1） 平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（2） 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（

2、3） 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.（4） 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類(lèi)型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算與證明1. 如圖，O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則O的半徑是 【答案】.【解析】作OMAB于M、ONCD于N，連結(jié)OA， AB=CD，CE=1，ED=3， OM=EN=1，AM=2，OA=.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)

3、于垂徑定理的使用，一般多用于解決有關(guān)半徑、弦長(zhǎng)、弦心距之間的運(yùn)算(配合勾股定理)問(wèn)題.舉一反三：【變式1】如圖所示，O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半徑 【答案】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O分別作OMAB于M，ONCD于N，則四邊形MONH為矩形，連結(jié)OB， ， ， 在RtBOM中，【高清ID號(hào)： 356965 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：例2-例3】【變式2】如圖，AB為O的弦，M是AB上一點(diǎn)，若AB20cm，MB8cm，OM10cm，求O的半徑.【答案】14cm.【高清ID號(hào)：356965 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：例2-例3】2. 已知：O的半徑為10cm，弦

4、ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點(diǎn)撥】 在O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長(zhǎng)度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長(zhǎng)表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當(dāng)O的圓心O位于AB、CD之間時(shí)，作OMAB于點(diǎn)M， 并延長(zhǎng)MO，交CD于N點(diǎn).分別連結(jié)AO、CO. ABCD ONCD，即ON為弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 圖1 圖2 (2)如圖2所示，當(dāng)O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓心O的同側(cè))時(shí)， 同理可得：MN=

5、OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.【點(diǎn)評(píng)】解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論，千萬(wàn)別丟解.舉一反三：【變式】在O中，直徑MNAB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_【答案】2或8類(lèi)型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用3. 要測(cè)量一個(gè)鋼板上小孔的直徑，通常采用間接的測(cè)量方法如果用一個(gè)直徑為10mm的標(biāo)準(zhǔn)鋼珠放在小孔上，測(cè)得鋼珠頂端與小孔平面的距離h8mm(如圖所示)，求此小孔的直徑d 【思路點(diǎn)撥】 此小孔的直徑d就是O中的弦AB根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形來(lái)解決【答案與解析】過(guò)O作MNAB，交O于M、N，垂足為C，則，OCMCOM853mm在RtACO中，AC， AB2AC248mm答：此小孔的直徑d為8mm【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用垂徑定理解題，一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)半徑、弦、弦心距之間的關(guān)系與勾股定理的運(yùn)算問(wèn)題.4. 不過(guò)圓心的直線l交O于C、D兩點(diǎn)，AB是O的直徑，AEl于E，BFl于F (1)在下面三個(gè)圓中分別畫(huà)出滿(mǎn)足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形； (2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫(huà)圖形，寫(xiě)出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(OAOB除外)(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫(xiě)推理