MERS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立及分析

1、2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參

2、賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。 我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?成都工業(yè)學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 王 2. 盧 3. 唐 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期： 2

3、015年 7 月 27 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：MERS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立與分析摘要本文針對MERS的傳播建立了傳統(tǒng)的SIR倉室數(shù)學(xué)模型。針對問題一，對附件一提供的早期模型，認(rèn)為“傳染概率”的說法欠妥，傳染期限L的確定缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說服力降低。模型中借鑒廣東香港的參數(shù)來預(yù)測北京的疫情走勢，不失為一種方法。但在不同國家因政策，

4、地域的不同，病毒的傳播和控制呈現(xiàn)不同的特點，使不同國家不同城市之間的可比性降低。而且由于MERS和SARS的治病機(jī)理不同，傳染率和死亡率不同，患病人數(shù)規(guī)模不同，所以對MERS的傳播分析，不能簡單的套用附件一所用的模型。針對問題二，我們在WHO(World Health Orgnazation)的官方網(wǎng)站上查找到了韓國MERS疫情從2015年5月20日至2015年7月5日的詳細(xì)數(shù)據(jù)1。對MERS的傳播建立傳統(tǒng)的SIR倉室模型，采用最小二乘法擬合參數(shù)，利用MATLAB編程求解，畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點圖和參數(shù)移出率的散點圖對第三個問題，本文研究對MERS疫情對韓國入境旅游收入的影響，建立了灰色預(yù)測

5、GM（1，1）模型。關(guān)鍵字： SIR倉室模型 常微分方程參數(shù)擬合 灰色預(yù)測1.問題重述MERS（Middle East Respiratory Syndrome）病毒是一種新型的冠狀病毒，這種病毒已經(jīng)被命名為中東呼吸綜合征冠狀病毒，大多數(shù)MERS病毒感染病例發(fā)生在沙特。2015年，MERS在韓國又有新一輪的爆發(fā)和蔓延，給韓國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了較大影響。對MERS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：（1）對附件所提供的一個SARS傳播的早期模型，請對其評價是否適用MERS。（2）收集MERS的韓國疫情數(shù)據(jù)，建立MERS傳播的數(shù)學(xué)模型，說明優(yōu)于附件1中的模型的原因；特別要說明怎樣建立一個真

6、正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后n天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。（3）收集MERS對韓國旅游方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。2.模型假設(shè)1.假設(shè)一個MERS康復(fù)者不會二度感染，他們已退出傳染體系，因此將其歸為“退出者”；2.模型不考慮所研究這段時間內(nèi)的自然出生率和死亡率，MERS引起的死亡人數(shù)歸為“退出者”；3.假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)總?cè)藬?shù)視為常數(shù)；4.假設(shè)每個病人單位時間有效接觸的人數(shù)為常數(shù)；5. 假設(shè)韓國在MERS疫情流行期間和結(jié)束之后，旅游業(yè)數(shù)據(jù)的變化只與MERS疫情的影響

7、有關(guān)，不考慮其它隨機(jī)因素的影響。3.變量說明：表示易感染人群 (susceptible)占總?cè)藬?shù)的比例；表示感染人群(infected)占總?cè)藬?shù)的比例；：表示移出人群占總?cè)藬?shù)的比例；：表示感染者對易感染者有效感染的感染率；：表示移出率，即移出者的增加率：表示第個單位時間的旅游業(yè)的收益；表示在個單位時間時的累積旅游業(yè)的收益；： 稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)；：稱為內(nèi)生控制變量4.對早期模型的評價附件1的模型主要采用“數(shù)據(jù)擬合”和“借鑒參數(shù)”的方法對北京疫情走勢進(jìn)行預(yù)測。在數(shù)據(jù)擬合方面，該模型中有兩個疑點：1、感染期限L的確定。由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等原因，感染者在某一時段后不再具有對易感人群的傳染力，故

8、對病毒的傳染加上感染期限是合理的。但在對該參數(shù)的確定上，作者為了較好地擬合各階段的數(shù)據(jù) ,通過人為調(diào)試來確定L的取值，缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說服力減弱，合理性和可靠性大大降低。2、文中認(rèn)為“K代表某種環(huán)境下一個人傳染他人的平均概率”。但從模型的公式中可以看出，參數(shù)K的實際意義是一個病人平均每天傳染其他人的個數(shù)。兩者之間有實質(zhì)的區(qū)別，文中的說法顯然不妥。從預(yù)測思想來看，該模型是借鑒先發(fā)地區(qū)廣東、香港的有關(guān)參數(shù)對北京的疫情進(jìn)行預(yù)測的。由于廣東、香港的疫情和控制都在北京之前，已經(jīng)過了高峰期，到5月8日為止每日新增病例已降至10來例，基本處于后期控制階段。而當(dāng)時北京的疫情剛過了高峰期，正處于社會劇

9、烈調(diào)整時期，數(shù)據(jù)較為凌亂，略有下降趨勢，但不明顯。可見在當(dāng)時，采取這種借鑒是無奈之舉。但是由于城市之間的政策，風(fēng)俗習(xí)慣等不同，城市之間的可比性不強(qiáng)，借鑒存在很大的局限性。如在香港，由于對傳播機(jī)制認(rèn)識不足，中途又出現(xiàn)高度感染的特殊情況。另外使用借鑒法無法對首發(fā)城市進(jìn)行預(yù)測。MERSS和SARS又有許多不同, 例如，MERS的病死率約為40.7%，傳染性沒有SARS強(qiáng)，但SARS的病死率為14%-15%，低于MERS，傳染性則強(qiáng)于MERS。MERS和SARS治病機(jī)理不同，傳染率死亡率不同，病毒潛伏時間也不同，所以不能簡單的套用附件所給模型來分析和預(yù)測MERS的傳播。5.模型的建立與求解51 問題2

10、的模型建立與求解5.1.1 問題2的模型思路對于傳染病感染區(qū)，由于為了避免傳染病的更大的擴(kuò)散，一方面政府會對人口的流動做出限制，另一方面?zhèn)€人由于對傳染病的警惕也不會進(jìn)入感染區(qū)，所以，感染區(qū)人口流動很小。即可把它看作一個封閉區(qū)，則可以建立SIR倉室模型2,里面的總?cè)藬?shù)不變，里面的人分類為：易感染者:即正常人，但可能會被感染。感染者：已經(jīng)感染這種病的人，可以傳染給周圍的人。移出者：包括感染者中死亡的人，感染者中自愈的人和先天對這種病毒有免疫的人，他們將不在受這種傳染病的影響。5.1.2 問題2的模型建立根據(jù)傳染病的感染而致的各類人口比例的變化可以建立微分方程。這里用表示易感染人群 (suscept

11、ible)的比例關(guān)于時間的函數(shù)，同樣用表示感染人群(infected)的比例關(guān)于時間的函數(shù)，用表示移出人群的比例關(guān)于時間的函數(shù)。方程一：根據(jù)感染人群比例增長相等，可建立如下方程： 這里表示感染者對易感染者有效感染的感染率，即單位時間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值；表示移出率，即單位時間內(nèi)移出者占染病者的比率；表示感染者比例關(guān)于時間的函數(shù)；表示易感染人者比例關(guān)于時間的函數(shù)。方程二：根據(jù)易感染者比例減少相等，可建立如下方程：方程三：根據(jù)移出者的增長相等，建立如下方程：這里表示移出者比例關(guān)于時間的函數(shù)。方程四：易感染者比例，感染者比例和移出者比例之和恒為1：綜上：5.1.3問題2的模型求解5.2

12、.1問題2的模型微分方程初始值確定 我們統(tǒng)計的數(shù)據(jù)是從2015年5月20日到2015年7月7日的數(shù)據(jù)（見表一），共計49天，對于移除者比例，在病情開始沒有死亡人數(shù)，也沒有治愈人數(shù)，所以移除者比例的初始條件，對于感染者比例，根據(jù)數(shù)據(jù)看出開始只有1人，所以感染者比例的初始條件，對于易感染者的初始條件可有算出，即。表一 對MERS疫情每天數(shù)據(jù)的統(tǒng)計日期當(dāng)天確診病例人數(shù)累計確診病例人數(shù)當(dāng)天死亡人數(shù)累計死亡人數(shù)20/05/2015330021/05/2015030022/05/2015030023/05/2015030024/05/2015030025/05/2015140026/05/20151500

13、27/05/2015050028/05/2015270029/05/20156130030/05/20153160031/05/20158240001/06/20154281102/06/20157350103/06/20155401204/06/201513531305/06/20157601406/06/201516760407/06/201516920408/06/20156983709/06/2015161141810/06/20151212631111/06/2015613221312/06/20151314511413/06/2015314831714/06/20155153421

14、15/06/2015415712216/06/2015516222417/06/2015216452918/06/2015316702919/06/2015016713020/06/2015216903021/06/2015317203022/06/2015317503023/06/2015417903024/06/2015017913125/06/2015118013226/06/2015118123427/06/2015018103428/06/2015018103429/06/2015018103430/06/2015018103401/07/2015118203402/07/20152

15、18413503/07/2015018403504/07/2015118503505/07/2015018503506/07/2015018503507/07/201501851365.2.2問題2的模型參數(shù)擬合 對于模型上的參數(shù)感染率和移出率受很多因素影響，很顯然不是一個常數(shù)。但是對于不是常數(shù)的參數(shù)很難擬合，所以，我們把所采集的數(shù)據(jù)（見表一）分為適當(dāng)個組，把每個組的參數(shù)看作常數(shù)，這樣就很方便擬合出每個組的參數(shù)，最后再綜合各個組擬合的參數(shù)，把參數(shù)擬合成關(guān)于自變量時間的函數(shù)（當(dāng)然這里的組數(shù)分得越多則參數(shù)擬合得更加精確）。這樣就完整擬合出了每個時刻的參數(shù)值。對于每個組的參數(shù)擬合，根據(jù)參數(shù)感染率的定

16、義（單位時間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值）而易感染人數(shù)遠(yuǎn)大于單位病人傳染人數(shù)，所以。移出率（單位時間內(nèi)移出者占染病者的比率）同樣可以得知，所以可以定兩個參數(shù)的范圍都在0到1之間，這里可以用嘗試參數(shù)值去逼近最佳參數(shù)，具體步驟如下：Step1：因為模型的參數(shù)感染率和移出率范圍都在0到1之間，這里我們先用0.1的梯度把參數(shù)分成（0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9）九個值，兩個參數(shù)共組成81組值。Step2：把分成的每組參數(shù)值代入模型的微分方程組，用matlab中的函數(shù)可算出一個數(shù)值解。Step3：用上面求出來的函數(shù)計算出的值和實際值作差計算平方和（即最小二乘

17、法），找出所有組參數(shù)值中最小的二乘數(shù)，即那組的感染率和移出率就是在梯度0.1下的最佳參數(shù)值。Step4：畫出已經(jīng)計算出來的函數(shù)圖，與實際數(shù)據(jù)的函數(shù)圖對比，如果相差太遠(yuǎn)這進(jìn)行下一步，反之轉(zhuǎn)到Step7。Step5：為了更加靠近最終的參數(shù)最佳值，這里再在上次擬合出來的參數(shù)值左右一個梯度的范圍再以上次梯度的0.1倍進(jìn)行參數(shù)再分組。例如：假設(shè)上次算出來的最佳感染率=0.5移出率=0.2，這次的參數(shù)范圍就是 ，這次就用0.01的梯度把參數(shù)分為20組參數(shù)。Step6：回到Step2。Step7：到了這里我們已經(jīng)算出了一組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。然后重復(fù)以上步驟，算出每組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。Step8：根據(jù)各組數(shù)據(jù)

18、的最佳參數(shù)值畫出參數(shù)值得散點圖，擬合成適應(yīng)函數(shù)。到這里，全部參數(shù)擬合結(jié)束。算法流程圖如圖一所示：開始把參數(shù)分組將每一組參數(shù)值代入微分方程組，求方程組的數(shù)值解由每組參數(shù)算出函數(shù)的值與實際值比較，記錄最小二乘數(shù)反應(yīng)的兩個參數(shù)畫出函數(shù)圖，與實際函數(shù)圖對比再次將參數(shù)分組，代入微分方程組，求數(shù)值解記錄這組數(shù)據(jù)的額參數(shù)值每組數(shù)是否找到了參數(shù)相差不大相差很大否結(jié)束 圖1 算法流程圖根據(jù)以上算法用matlab編程（程序見附件一），可以畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點圖（見圖2）和參數(shù)移出率的散點圖（見圖3）。程序沒有寫出來，沒有結(jié)果5.3問題3的模型建立與求解5.3.1問題3的模型建立對于問題3，MERS疫情對韓國入

19、境旅游游客人數(shù)的影響，這里建立了一階一元灰色預(yù)測模型GM(1，1)，對旅游入境旅游游客人數(shù)進(jìn)行預(yù)測。以單位是表示的時間序列就為：這里表示第個單位時間的韓國入境旅游游客人數(shù)令：即通過上面公式（7）累積形成新的列：這里表示表示在個單位時間時的韓國累積入境旅游的游客人數(shù)則可以建立GM(1,1)模型：這里 稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)，稱為內(nèi)生控制變量。5.3.2問題3的模型求解 確定參數(shù)： 可利用一階微分方程的解法求得其解，然后將（7）式代入，使用最小二乘法，便可以得出：其中： 生成列可以按以下公式計算出：其中，。計算預(yù)測：根據(jù)采集的數(shù)據(jù)（見表2），可以通過以上公式（11）可以用matlab算出參數(shù)，然后用ma

20、tlab解出微分方程。表 2 2015年韓國旅游各月份的游客數(shù)月份游客（萬人）月份游客（萬人）1月524月672月565月303月616月20通過matlab程序（見附件2），可以畫出出（在第個月的韓國入境旅游的游客人數(shù)）的函數(shù)圖（表3）。表3 預(yù)計游客人數(shù)結(jié)果月份12345678游客人數(shù)（萬人）79.6960.1754.9845.6937.9631.5426.2121.786、模型的分析、推廣與改進(jìn)要真正建立能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠，足夠的信息的模型。要怎樣做，以及困難。事實上，真正情況要比我們的模型復(fù)雜的多，比如，由于初期傳播機(jī)理不明，醫(yī)護(hù)人員為收到好的保護(hù)，很多受到傳染。而傳播

21、率事實上也是按照某種趨勢變化的，他與人們的警惕心理等因素有關(guān)。要建立這樣的模型，我們認(rèn)為：1、要不斷的研究傳染病理，完善模型。2、建立實時反饋機(jī)制，不斷修改模型參數(shù)，以求更準(zhǔn)確的預(yù)測以后的數(shù)據(jù)。3、盡量以實際的研究數(shù)據(jù)建模，力求準(zhǔn)確反映事件的實質(zhì)。這樣，當(dāng)人為修改參數(shù)進(jìn)行模擬預(yù)測時，可以為采取什么措施效果最好做出較準(zhǔn)確的建議。4、研究各種措施實際對疾病傳播的影響。要做到這些，也恰恰是建模的難點，因為當(dāng)涉及到新的傳染病的時候，以上數(shù)據(jù)或參數(shù)都必須通過長期的研究或擬合才能得到的。比如措施對疾病傳播的影響，是要統(tǒng)計大量實際數(shù)據(jù)才能獲得的。以上也可以看作我們模型的改進(jìn)方向。7、參考文獻(xiàn)1世界衛(wèi)生組織.

22、 /csr/disease/coronavirus_infections/MERS-CoV-cases-rok-21Jul15.xlsx?ua=12 周寧 李林，基于灰色微分方程的傳染病預(yù)測，/Article/CJFDTotal-LLYY.htm，2015.07.298、附錄附件1：附件2：y=dsolve(Dy=81.9185-0.1852*y,y(1)=52,t)y=/1852-(*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500)/1852x=81.9185-0.5*0.1852*(/1852-(*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500)/1852)+(/1852-(*exp(-(463*(t-1)/2500)*exp(463/2500)/1852)xt=12345678t=123456