“中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)--圓來如此簡(jiǎn)單”經(jīng)典幾何模型之隱圓專題

1、經(jīng)典幾何模型之隱圓”“圓來如此簡(jiǎn)單”一.名稱由來在中考數(shù)學(xué)中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會(huì)出現(xiàn)，明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。正所謂：有“圓”千里來相會(huì)，無“圓”對(duì)面不相逢。“隱圓模型”的題的關(guān)鍵突破口 就在于能否看出這個(gè)“隱藏的圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)（通俗講究是一個(gè)動(dòng)的點(diǎn)到一個(gè)固定的點(diǎn)的距離不變）】【模型三：直角所對(duì)的是直徑】【模型四：四點(diǎn)共圓】三模型基本類型圖形解讀【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)】【模型三：直角所對(duì)的是直

2、徑】【模型四：四點(diǎn)共圓】四“隱圓”破解策略牢記口訣：定點(diǎn)定長(zhǎng)走圓周，定線定角跑雙弧。直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。五“隱圓”題型知識(shí)儲(chǔ)備六“隱圓”典型例題【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如圖 1，ABC 為等邊三角形，AB=2，若 P 為ABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=ACP，則線段 PB 長(zhǎng)度的最小值為_ 。簡(jiǎn)答：因?yàn)镻AB=PCA，PAB+PAC=60，所以PAC+PCA=60，即APC=120。因?yàn)?AC 定長(zhǎng)、APC=120定角，故滿足“定弦定角模型”，P 在圓上，圓周角APC=120，通過簡(jiǎn)單推導(dǎo)可知圓心角AOC=60，故以 AC 為邊向下作等邊AOC，以 O 為圓心，O

3、A 為半徑作O，P 在O 上。當(dāng) B、P、O 三點(diǎn)共線時(shí)，BP 最短（知識(shí)儲(chǔ)備一：點(diǎn)圓距離），3此時(shí) BP=2-22. 如圖 1 所示，邊長(zhǎng)為 2 的等邊ABC 的原點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上移動(dòng)，BOD=30， 頂點(diǎn) A 在射線 OD 上移動(dòng)，則頂點(diǎn) C 到原點(diǎn) O 的最大距離為 。簡(jiǎn)答：因?yàn)锳OB=30（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O 三點(diǎn)共圓，圓心角為 60，故以 AB 為邊向 O 方向作等邊ABQ，AQB=60為圓心角，Q 為圓心，以 QA 為半徑作 Q （ 如 圖 2 ）， 由 知 識(shí) 儲(chǔ) 備 二 可 知 當(dāng) OC AB 時(shí) ， OC 距 離 最 大 ，33OC=OQ+Q

4、H+HC=2+=2+2【思考：若BOD=45呢？（提示：需要構(gòu)造倍角3模型）】223. 如圖 1，點(diǎn) A 是直線 y=-x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，若 AB=2，則AOB 面積最大值為（）2A. 2B.+ 1C. -1D. 2簡(jiǎn)答：因?yàn)?AB=2（定弦），AOB=135（定角），因?yàn)锳OB 是圓周角，故圓心角為 90，以 AB 為斜邊向上方作等腰直角QAB，則 Q 為圓心（如圖 2），由“知識(shí)儲(chǔ)備二”可知，當(dāng) OQ AB 時(shí) ， 此 時(shí) OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 積 最 大 。 面 積 為1 AB OH = 1 2 ( 2 - 1) =222 - 1 ，所以此題選

5、擇 B。同學(xué)：老師，你說錯(cuò)答案了，選 C。小段老師：沒錯(cuò)啊，就選 B 啊。同學(xué)：你是老師，你說了算，你開心就好.小段老師：題目有告訴你們 A、B 在哪里嗎，為什么想當(dāng)然覺得AOB=135呢，難道不可能等于 45嗎？如圖 3，構(gòu)建Q，由“知識(shí)儲(chǔ)備二”可知當(dāng) OQAB 時(shí)，此時(shí)OAB 的面積最大為 1 AB OH = 1 2 ( 2 +1) =222 +1 ，故答案選 B34. 如圖 1，AC 為邊長(zhǎng)為 2 的菱形 ABCD 的對(duì)角線，ABC=60，點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) B、C 同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿 BC、CA 向終點(diǎn) C 和 A 運(yùn)動(dòng)，連接 AM 和 BN，求APB 周長(zhǎng)的最大值簡(jiǎn)答：如圖 2

6、，由 M、N 點(diǎn)速度相同可知 BM=CN，易證ABMBCN，故NBC=BAM（如圖 2），又因?yàn)镹BC+ABN=60，所以BAM+ABN=APN=60（外角性質(zhì)），所以APB=120（定角），又因?yàn)?AB 長(zhǎng)度固定（定弦），故以 AB 為底向左側(cè)構(gòu)建等腰 QAB，AQB=120，則 P 在Q 上，由“知識(shí)儲(chǔ)備三”可知，當(dāng)ABP 是等腰三角形時(shí)，3ABP 周長(zhǎng)最短。又由APB 是定角為 120的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1:，3AB=AC=2，故 PB=PA=2，故ABP 的周長(zhǎng)最大值為 4+23【模型二：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)】1. 如圖 1，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD,若CA

7、D=76，則CBD= 度。簡(jiǎn)答：如圖 2，因?yàn)?AB=AC=AD，故 B、C、D 三點(diǎn)在以 A 為圓心的圓上，故CBD= 1 2CAD=382. 如圖，在ABC 內(nèi)有一點(diǎn) D，使得 DA=DB=DC，若DAB=20，則ACB= 。簡(jiǎn)答：如圖 2，因?yàn)?DA=DB=DC，故 A、B、C 三點(diǎn)在D 上，DAB=DBA=20，故ADB=140，故ACB= 1 ADB=7023. 如圖 1，已知四邊形 ABCD 中，ABCD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD簡(jiǎn)答：因?yàn)?=2，ADBC，故3=1，4=2，故易證AEBACD，故 EB=CD=6， ED=2AD=10，故 BD=84. 如圖 1，長(zhǎng)

8、 2 米的梯子 AB 豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子 AB 的中點(diǎn) P 的移動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為？.簡(jiǎn)答：由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知，OP=1，動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) O 的距離始終等于 1， 滿足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓），故 P 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，圓心角為 90，軌跡長(zhǎng)度為四分之一圓的長(zhǎng)度，省略。5. 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為 2 的木棒 EF 緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），接逆時(shí)針方向滑動(dòng)一周，則木棒 EF 的中點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)過程中所圍成的圍形的面積為？如圖 1如圖 2簡(jiǎn)答：由上一題可知，P 的

9、運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，因?yàn)榛瑒?dòng)一周，故有四個(gè)圓弧，則點(diǎn) P 所圍成的圖形為中間的圖形，用矩形的面積減去四個(gè)四分之一圓的面積即可，答案： 6 -p6. 如圖 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 AD、DC 邊上的點(diǎn)，且 EF=2， G 為 EF 的中點(diǎn)，P 為 BC 邊上一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PG 的最小值為？如圖 1如圖 2簡(jiǎn)單：G 的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求 AP+PG 典型的“將軍飲馬”問題，故做 A 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn)A，則 AP+PG=AP+PG，當(dāng) A、P、G 三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)?A為固定點(diǎn)，G 在圓上運(yùn)動(dòng)，由“知識(shí)儲(chǔ)備一”可知當(dāng) A、G、D 三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí) A

10、G 最短，為 47. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（3，0），B 為 y 軸正半軸上的點(diǎn)，C 為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且 AC=2.設(shè) tANBOC=M，則 M 的取值范圍為？簡(jiǎn)答：因?yàn)?AC=2，A 是定點(diǎn)，通過圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓） 可知，C 在A 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) OC 與A 相切時(shí)，此時(shí)BOC 最小，tANBOC 也最小，此時(shí)BOC+AOC=AOC+CAO=90，故BOC=CAO，此時(shí) tANCAO= OC =5 ，AC2又因?yàn)榻嵌仍酱?，正切值越大，?tANBOC=M 528. 如圖 1，在 RtABC 中，C=90，AC=7，BC=8，點(diǎn) F 在邊 AC 上，

11、并且 CF=2，點(diǎn) E 為邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，將CEF 沿直線 EF 翻折，點(diǎn) C 落在點(diǎn) P 處，則點(diǎn) P 到邊 AB 距離的最小值是？簡(jiǎn)答：E 是動(dòng)點(diǎn)，導(dǎo)致 EF、EC、EP 都在變化，但是 FP=FC=2 不變，故 P 點(diǎn)到 F 點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于 2，故 P 在F 上運(yùn)動(dòng)，如圖 2。由垂線段最短可知，F(xiàn)HAB 時(shí)，F(xiàn)H 最短， 當(dāng) F、P、H 三點(diǎn)共線時(shí)，PH 最短，又因?yàn)锳FHABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因?yàn)?AF=5，故 FH=4，又因?yàn)?FP=2，故 PH 最短為 29. 如圖，在ABCD 中，BCD30，BC4，CD 3 3 ，M 是 AD 邊的中點(diǎn)，N 是AB

12、 邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN 沿 MN 所在直線翻折得到PMN，連接 PC，則 PC 長(zhǎng)度的最小值是？簡(jiǎn)答：翻折過程中，MP=MA=2，故 P 在M 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) M、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)，PC 最短。3PC=MC-MP，要求 MP 需要過 M 作 MHCD 于 H，HDM=30，故 HM=1，HD=，3故 HC=4，故易求 MC=7，則 PC=7-2=5【模型三：直角所對(duì)的是直徑】1. 如圖 1，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終有APBP，則線段 CP 長(zhǎng)的最小值為？簡(jiǎn)答：如圖 2，因?yàn)?APBP，P=90（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB

13、 為直徑的H 上，當(dāng) H、P、C 三點(diǎn)共線時(shí) CP 最短，HB=3，BC=4 則 HC=5，故 CP=5-3=22. 如圖 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 為直徑作圓 M，射線 OF 交圓 M 于 E、F 兩點(diǎn)，C為弧 AB 的中點(diǎn)，D 為弦 EF 的中點(diǎn)，當(dāng)射線繞 O 旋轉(zhuǎn)時(shí)，CD 的最小值為？簡(jiǎn)答：因?yàn)?D 是 EF 中點(diǎn)，故 MDEF，故ODM 始終等于 90，故 D 在以 OM 為直徑的圓上，如圖 2。易知 A 為圓心，當(dāng) A、D、C 三點(diǎn)共線時(shí)，CD 最短，CD=AC-AD，又易22知 C（2,1），故 AC=，故 CD=-13. 在ABC 中,ABC=90,AB=6,BC

14、=8,O 為 AC 的中點(diǎn),過 O 作 OEOF,OE、OF 分別交射線 AB,BC 于 E、F，則 EF 的最小值為？簡(jiǎn)答：因?yàn)镋OF=90，C=90，故 C、O 均在以 EF 為直徑的圓上（也稱四點(diǎn)共圓），因?yàn)?EF 是圓的直徑，O、C 均在圓上，且 OC 長(zhǎng)度固定，要使得 EF 最短，則圓最小，要使圓最小，OC 為固定長(zhǎng)度，則 OC 為直徑時(shí)，圓最?。ù颂幈容^難，思維量比較大，大家慢慢琢磨），此時(shí) CO=EF=OA=OB=5（斜邊上中線等于斜邊一半）4. 如圖 1，已知 RtABC 中，AC5，BC12，ACB90，P 是邊 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，Q 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，且CPQ90，求線段

15、 CQ 的取值范圍簡(jiǎn)答：以 CQ 為直徑作O，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，若 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn) P 在圓上，CPQ 就為直角當(dāng)O 與 AB 相切時(shí)（如圖 2），直徑 CQ 最小由切線長(zhǎng)定理，得 APAC5，所以 BP1358再根據(jù)BPOBCA，所以 OP 10 ，CQ 20 當(dāng)點(diǎn) Q33與點(diǎn) B 重合時(shí)（如圖 3），直徑 CQ 最大，此時(shí)綜上所述， 20 CQ1235. 如圖 1，半徑為 4 的O 中，CD 為直徑，弦 ABCD 且過半徑 OD 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為O 上一動(dòng)點(diǎn)，CFAE 于點(diǎn) F當(dāng)點(diǎn) E 從點(diǎn) B 出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 時(shí)，點(diǎn) F 所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為？3簡(jiǎn)答：因?yàn)镃FA=90（

16、定角），AC=4（定弦），故 F 在以 AC 為直徑的Q 上，當(dāng) E在 B 處時(shí)，F(xiàn) 在 G 處，當(dāng) E 在 D 處時(shí)，F(xiàn) 在 A 處，故 F 的運(yùn)動(dòng)路徑為弧 AG 的長(zhǎng)度，易求60出ACD=30，故AQG=60，故弧 AG 長(zhǎng)度= 2 2 3= 2 336036.（2013 武漢）如圖 1，E，F(xiàn) 是正方形 ABCD 的邊 AD 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 AE=DF連接CF 交 BD 于點(diǎn) G，連接 BE 交 AG 于點(diǎn) H若正方形的邊長(zhǎng)為 2，則線段 DH 長(zhǎng)度的最小值是？簡(jiǎn)答：易證ABEDCF，DAGDCG，故DAG=DCG=ABE，又因?yàn)锳BE+AEB=90，故EAH+AEH=90，故AHB=

17、90，故 H 在以 AB 為直徑的O 上，5當(dāng) O、H、D 三點(diǎn)共線的時(shí)候 DH 最小，DH=OD-OH=-17.如圖 1，在 RtABC 中，B=90，C=30，AB=1，D 為線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，將 BDC 沿著 BD 翻折，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 F，E 為 AC 的中點(diǎn)，在 D 從 C 到 A 的運(yùn)動(dòng)過程中， 當(dāng) EF 最短時(shí)，CD 為？簡(jiǎn)答：在折疊過程中，BF 始終等于 BC，故 F 到 B 點(diǎn)的距離是定值，F(xiàn) 在B 上，當(dāng) EF 最短時(shí)，B、E、F 三點(diǎn)共線（如圖 2），此時(shí)BFD=BCD=30，F(xiàn)BD=CBD=15（因?yàn)?BE=CE，故EBC=BCE=30），故FDH=CDH=45

18、，F(xiàn)ED=60，故 FDCE，3EF=BF-BE=-1 ， 又 因 為 DF=DC ， 在 Rt EDF 中ED = 1 EF =3 -1 ， 故CD=1-ED=1 -223 -1 = 3 - 32238.（2017 宿遷）如圖，在矩形紙片 ABCD 中，已知 AB=1，BC=，點(diǎn) E 在邊 CD 上移動(dòng)，連接 AE，將多邊形 ABCE 沿直線 AE 翻折，得到多邊形 ABCE，點(diǎn) B、C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) B、C（1） 當(dāng) BC恰好經(jīng)過點(diǎn) D 時(shí)（如圖 1），求線段 CE 的長(zhǎng)；（2） 若 BC分別交邊 AD，CD 于點(diǎn) F，G，且DAE=22.5（如圖 2），求DFG 的面積；（3） 在點(diǎn)

19、 E 從點(diǎn) C 移動(dòng)到點(diǎn) D 的過程中，求點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)6簡(jiǎn)答：（1）“K 字形”秒殺，過程略，答案：- 2（2） 由翻折全等可知BAE=BAE=67.5，又因?yàn)镈AE=22.5，故B6AF=45，故ABF、DFE 均為等腰直角三角形，后面略，答案： 5 -2（3） 折疊過程中始終有 AC=AC，故 C在以 A 為圓心，AC 為半徑的圓上。根據(jù)點(diǎn) E 在 C 時(shí)，C在 C 點(diǎn)，點(diǎn) E 移動(dòng)到 D 時(shí)，C在如圖 3 位置，易求 C運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為 60，故 C運(yùn)動(dòng)的軌跡為 60 2 2= 2【模型四：四點(diǎn)共圓】36031. 如圖 1，正方形 ABCD 中，EAF=45，AF 與 BD 交

20、于 N，AE 與 BD 交于 M，連接MF、NE，求證ANE、AMF 是等腰直角三角形簡(jiǎn)答：因?yàn)?=2=45，3=4，故 A、B、E、N 四點(diǎn)共圓，因?yàn)锳BE=90，故 AE 為直徑，故ANE=90，故ANE 是等腰直角三角形，同理可證AMF 是等腰直角三角形（此題也是很經(jīng)典的“半角模型”問題之一）2. 如圖 1，等邊ABC 中，AB=6，P 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，PDBC，PEAC，則 DE 的最小值為？簡(jiǎn)答：因?yàn)镻EC=PDC=90，故四邊形 PDCE 對(duì)角互補(bǔ)，故 PDCE 四點(diǎn)共圓，如圖 2。EOD=2ECD=120，故 ED= 3R ，要使得 DE 最小則要使圓的半徑 R 最小，故直徑 PC最小，當(dāng) CPAB 時(shí)，PC 最短為3，故 R= 3 3 ，故 DE=323R =3 3 3 = 9223.