李雅普諾夫穩(wěn)定性分析.ppt

1、Ch.5 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,本章簡介(1/2),本 章 簡 介 本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。 主要介紹 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義以及 分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法; 著重討論 李雅普諾夫第二法及其在線性系統(tǒng)和3類非線性系統(tǒng)的應用、 李雅普諾夫函數(shù)的構造、 李亞普諾夫代數(shù)(或微分)方程的求解等。,本章簡介(2/2),最后介紹李亞普諾夫穩(wěn)定性問題的Matlab計算與程序設計。,目錄(1/1),目 錄 概述 5.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理 5.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.4 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.5 Matlab問題 本章小結,概述(1/5

2、),概 述 一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng) 例如,電壓自動調(diào)解系統(tǒng)中保持電機電壓為恒定的能力; 電機自動調(diào)速系統(tǒng)中保持電機轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。 具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 穩(wěn)定性的定義為： 當系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。 如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng).,概述(2/5),也可以說,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性,用數(shù)學方法表示就是 式中，x(t)為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的

3、變化量; 為任意小的規(guī)定量。 如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來越大,顯然它不可能是一個穩(wěn)定系統(tǒng)。,概述(3/5),分析一個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關注的最重要問題 對于簡單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù). 在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法. 但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)關系,討論的是 線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性, 未研究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時變

4、系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復雜系統(tǒng).,概述(4/5),再則，對于非線性或時變系統(tǒng),雖然通過一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應用,但是難以勝任一般系統(tǒng)。 現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結構比較復雜,大都存在非線性或時變因素,即使是系統(tǒng)結構本身, 往往也需要根據(jù)性能指標的要求而加以改變,才能適應新的情況,保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\行狀態(tài)。 在解決這類復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時,最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理.,概述(5/5),實際上 ,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式： 外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定

5、義的外部穩(wěn)定性. 經(jīng)典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性 . 內(nèi)部穩(wěn)定性：是關于動力學系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性. 本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性. 外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng). 對于同一個線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性.,概述(6/5),早在1892年,俄國學者李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 發(fā)表題為“運動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻,建立了關于運動穩(wěn)定性研究的一般理論.,百余年來,李雅普諾夫理論

6、得到極大發(fā)展,在數(shù)學、力學、控制理論、機械工程等領域得到廣泛應用. 李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類.,概述(7/5),第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題. 這是一種較簡捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的. 該方法稱為間接法,亦稱為李雅普諾夫第一法. 第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性,而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性. 由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為李雅普諾夫第二法.,概述

7、(8/5),李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng),而且也能用來研究 時變系統(tǒng)、 非線性系統(tǒng),甚至 離散時間系統(tǒng)、 離散事件動態(tài)系統(tǒng)、 邏輯動力學系統(tǒng) 等復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢所在.,概述(9/5),可是在相當長的一段時間里,李雅普諾夫第二法并沒有引起研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視,這是因為當時討論系統(tǒng)輸入輸出間關系的經(jīng)典控制理論占有絕對地位. 隨著狀態(tài)空間分析法引入動態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領域人們的注意,成為近40年來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法,并得到了進一步研究和發(fā)展. 本章將詳細介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法和第二法的

8、理論及應用.,概述(10/5),本章需解決的問題: 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論-李雅普諾夫穩(wěn)定性 基本概念: 平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性 基本方法:李雅普諾夫第一法、 李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第二法在線性定常系統(tǒng)的應用-李雅普諾夫方程的求解,重點喔！,重點與難點喔！,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(1/4),5.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 系統(tǒng)穩(wěn)定性是動態(tài)系統(tǒng)一個重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指標. 它反映的是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征.這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變,但可通過系統(tǒng)反饋和綜合加以控制. 這也是控制理論和控制工程的精髓. 在經(jīng)典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產(chǎn)生

9、有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問題. 從經(jīng)典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動都無關,而非線性系統(tǒng)則不然.,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(2/4),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的,我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間的穩(wěn)定性. 對于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性. 對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所以只有對線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題. 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論的是動態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問題. 它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論, 不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且也適用于非線

10、性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng). 本節(jié)先討論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的基礎-李雅普諾夫穩(wěn)定性定義.,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(3/4),本節(jié)主要討論李雅普諾夫意義下的各種穩(wěn)定性的定義和意義. 本節(jié)主要問題為: 基本概念: 平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、 大范圍漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性 基本方法: 求解平衡態(tài)方法 要掌握好李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,重要的是深刻掌握和理解李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的實質(zhì)和意義. 在這里,空間想象力對理解李雅普諾夫穩(wěn)定性的實質(zhì)和意義非常有幫助.,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義(4/4),下面將分別介紹如下李雅普諾夫穩(wěn)定性有關定義. 平衡態(tài) 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性 大范圍漸

11、近穩(wěn)定性 不穩(wěn)定性 平衡態(tài)穩(wěn)定性與輸入輸出穩(wěn)定性的關系,難點,要理解喔!,平衡態(tài)(1/4),5.1.1 平衡態(tài) 設我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=f(x,t) 其中x為n維狀態(tài)變量; f(x,t)為n維的關于狀態(tài)變量向量x和時間t的非線性向量函數(shù). 對該非線性系統(tǒng),其平衡態(tài)的定義如下.,平衡態(tài)(2/4) 定義1,定義5-1 動態(tài)系統(tǒng) x=f(x,t) 的平衡態(tài)是使 f(x,t)0 的狀態(tài),并用xe來表示. 從定義5-1可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導數(shù)向量為零向量的點(狀態(tài)). 由于導數(shù)表示的狀態(tài)的運動變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運動的狀態(tài),如上圖所示.,平衡態(tài)(3

12、/4),李雅普諾夫穩(wěn)定性研究的平衡態(tài)附近(鄰域)的運動變化問題. 若平衡態(tài)附近某充分小鄰域內(nèi)所有狀態(tài)的運動最后都趨于該平衡態(tài),則稱該平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的; 若發(fā)散掉則稱為不穩(wěn)定的,若能維持在平衡態(tài)附近某個鄰域內(nèi)運動變化則稱為穩(wěn)定的,如上圖所示.,平衡態(tài)(4/4),顯然,對于線性定常系統(tǒng) x=Ax 的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解. Axe=0 當矩陣A為非奇異時,線性系統(tǒng)只有一個孤立的平衡態(tài)xe=0; 而當A為奇異時,則存在無限多個平衡態(tài),且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài),而構成狀態(tài)空間中的一個子空間. 對于非線性系統(tǒng),通?？捎幸粋€或幾個孤立平衡態(tài),它們分別為對應于式f(x,t)0的常值解.,平衡態(tài)(5

13、/4),例如,對于非線性系統(tǒng),其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組,的解,即下述狀態(tài)空間中的三個狀態(tài)為其孤立平衡態(tài).,平衡態(tài)(6/4),對于孤立平衡態(tài),總是可以通過坐標變換將其移到狀態(tài)空間的原點. 因此,不失一般性,為了便于分析,我們常把平衡態(tài)取為狀態(tài)空間的原點. 值得指出的是，由于非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性具有局部性特點,因此在討論穩(wěn)定性時,通常還要確定平衡態(tài)的穩(wěn)定鄰域(區(qū)域)。,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性(1/1),5.1.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 在敘述李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義之前,我們先引入如下幾個數(shù)學名詞和符號： 范數(shù) 球域 然后介紹 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義.,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性

14、范數(shù)(1/2),1) 范數(shù) 范數(shù)在數(shù)學上定義為度量n維空間中的點之間的距離. 對n維空間中任意兩點x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為|x1-x2|. 由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應有各種具體范數(shù)的定義. 在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為,其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量.,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性范數(shù)(2/2),常用的n為維空間中的其它范數(shù)有: 1-范數(shù) -范數(shù),李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性-球域(1/1),2) 球域 以n維空間中的點xe為中心,在所定義的范數(shù)度量意義下的長度為半徑內(nèi)的各點所組成空間體稱為球域,記為S(xe,), 即S(xe,)

15、包含滿足|x-xe|的n維空間中的各點x.,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義(1/4),3) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 基于上述數(shù)學定義和符號,我們有如下李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義.,圖5-1,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義(2/4),定義5-2(李雅普諾夫穩(wěn)定性) 若狀態(tài)方程 x=f(x,t) 所描述的系統(tǒng), 對于任意的0和任意初始時刻t0, 都對應存在一個實數(shù)(,t0)0, 使得對于任意位于平衡態(tài)xe的球域S(xe,)的初始狀態(tài)x0,當從此初始狀態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球域S(xe,)內(nèi), 則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義(3/4

16、),即邏輯關系式 0 t0 0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 為真,則xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的. 若實數(shù)(,t0)與初始時刻t0無關,即邏輯關系式,0 0 t0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 為真,則稱穩(wěn)定的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定的. 對于定常系統(tǒng)來說,上述定義中的實數(shù)(,t0)與初始時刻t0必定無關,故其穩(wěn)定性與一致穩(wěn)定性兩者等價. 但對于時變系統(tǒng)來說,則這兩者的意義很可能不同.,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義(4/4),上述定義說明,對應于平衡態(tài)xe的每一個球域S(xe,), 一定存在一個有限的球域S(xe,),使得t0時刻從S

17、(xe,)出發(fā)的系統(tǒng)狀態(tài)軌線總不離開S(xe,), 則系統(tǒng)在初始時刻t0的平衡態(tài)xe為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的.,以二維狀態(tài)空間為例,上述定義的幾何解釋和狀態(tài)軌線變化如圖5-1所示.,李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義(5/4),對于李雅普諾夫穩(wěn)定性，還有如下說明： 李雅普諾夫穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。 系統(tǒng)做等幅振蕩時，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過S(xe,)，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而經(jīng)典控制理論則認為不穩(wěn)定。,漸近穩(wěn)定性(1/3)漸近穩(wěn)定性定義,5.1.3 漸近穩(wěn)定性 上述穩(wěn)定性定義只強調(diào)了系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡態(tài)附近的解總是在該平衡態(tài)附近的

18、某個有限的球域內(nèi),并未強調(diào)系統(tǒng)的最終狀態(tài)穩(wěn)定于何處. 下面我們給出強調(diào)系統(tǒng)最終狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定性定義.,漸近穩(wěn)定性(2/3)漸近穩(wěn)定性定義,定義5-3(李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性) 若狀態(tài)方程 x=f(x,t) 所描述的系統(tǒng)在初始時刻t0的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,且系統(tǒng)狀態(tài)最終趨近于系統(tǒng)的平衡態(tài)xe,即 Limt x(t)=xe,則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的. 若(,t0)與初始時刻t0無關,則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定的.,圖5-2,漸近穩(wěn)定性(3/3),對于線性定常系統(tǒng)來說,上述定義中的實數(shù)(,t0)可與初始時刻t0無關,故其漸

19、近穩(wěn)定性與一致漸近穩(wěn)定性等價. 但對于時變系統(tǒng)來說,則這兩者的意義很可能不同.,漸近穩(wěn)定性在二維空間中的幾何解釋如圖5-2所示. 該圖表示狀態(tài)x(t)的軌跡隨時間變化的收斂過程. 圖5-1與圖5-2相比較,能清楚地說明漸近穩(wěn)定和穩(wěn)定的意義.,圖5-2,圖5-1,漸近穩(wěn)定性(4/3),對于李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，還有如下說明： 經(jīng)典控制理論的BIBO穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。 穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。 對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠不會跑出球域S(xe,)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。 而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運動軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平

20、衡狀態(tài)xe。 從工程意義來說,漸近穩(wěn)定性比經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性更為重要. 由于漸近穩(wěn)定性是個平衡態(tài)附近的局部性概念,只確定平衡態(tài)漸近穩(wěn)定性,并不意味著整個系統(tǒng)能穩(wěn)定地運行.,大范圍漸近穩(wěn)定性(1/1),5.1.4 大范圍漸近穩(wěn)定性 對于n維狀態(tài)空間中的所有狀態(tài),如果由這些狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌線都具有漸近穩(wěn)定性,那么平衡態(tài)xe稱為李雅普諾夫意義下大范圍漸近穩(wěn)定的. 換句話說,若狀態(tài)方程在任意初始狀態(tài)下的解,當t無限增長時都趨于平衡態(tài),則該平衡態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的. 顯然,大范圍漸近穩(wěn)定性的必要條件是系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡態(tài). 對于線性定常系統(tǒng),如果其平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近

21、穩(wěn)定的. 但對于非線性系統(tǒng)則不然,漸近穩(wěn)定性是一個局部性的概念,而非全局性的概念.,五、不穩(wěn)定性(1/2)不穩(wěn)定性定義,5.1.5 不穩(wěn)定性 定義5-4 若狀態(tài)方程 x=f(x,t) 描述的系統(tǒng)在初始時刻t0, 對于某個給定實數(shù)0和任意一個實數(shù)0,總存在一個位于平衡態(tài)xe的鄰域S(xe,)的初始狀態(tài)x0, 使得從x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x(t)將脫離球域S(xe,),則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定的,即邏輯關系式 0 t0 0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 為真,則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定的.,圖5-3,不穩(wěn)定性(2/2),李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定

22、性的幾何解釋如圖5-3所示. 該圖表示狀態(tài)軌跡隨時間變化的發(fā)散過程. 圖5-1與圖5-3相比較清楚地說明穩(wěn)定和不穩(wěn)定的意義.,圖5-3,圖5-1,平衡態(tài)穩(wěn)定性與輸入輸出穩(wěn)定性的關系(1/1),4.1.6 平衡態(tài)穩(wěn)定性與輸入輸出穩(wěn)定性的關系 在經(jīng)典控制理論中所定義的穩(wěn)定性是指輸入輸出穩(wěn)定性,即給定有界輸入,產(chǎn)生的輸出亦有界. 而李雅普諾夫穩(wěn)定性討論的系統(tǒng)狀態(tài)在平衡態(tài)鄰域的穩(wěn)定性問題. 就一般系統(tǒng)而言,兩種穩(wěn)定性沒有必然的聯(lián)系. 對于線性定常系統(tǒng),則有結論如下: 若該線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則一定是輸入輸出穩(wěn)定的,且其輸出在輸入信號為零后亦將趨于零. 反之,則不盡然.,李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理

23、(1/2),5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理 本節(jié)主要研究李雅普諾夫意義下各種穩(wěn)定性的判定定理和判定方法.討論的主要問題有: 基本概念: 矩陣和函數(shù)的定號性(正定性、負定性等) 基本方法: 非線性系統(tǒng)線性化方法 李雅普諾夫第一法 矩陣符號(正定性、負定性等)檢驗方法 李雅普諾夫第二法,難點喔!,李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理(2/2),下面先講述. 李雅普諾夫第一法,然后討論 李雅普諾夫第二法,李雅普諾夫第一法(1/7),5.2.1 李雅普諾夫第一法 李雅普諾夫第一法又稱間接法,它是研究動態(tài)系統(tǒng)的一次近似數(shù)學模型(線性化模型)穩(wěn)定性的方法.它的基本思路是: 首先,對于非線性系統(tǒng),可先將非線性狀態(tài)

24、方程在平衡態(tài)附近進行線性化, 即在平衡態(tài)求其一次Taylor展開式, 然后利用這一次展開式表示的線性化方程去分析系統(tǒng)穩(wěn)定性. 其次,解出線性化狀態(tài)方程組或線性狀態(tài)方程組的特征值,然后根據(jù)全部特征值在復平面上的分布情況來判定系統(tǒng)在零輸入情況下的穩(wěn)定性.,李雅普諾夫第一法(2/7),下面將討論李雅普諾夫第一法的結論以及在判定系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性中的應用. 設所討論的非線性動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=f(x) 其中f(x)為與狀態(tài)向量x同維的關于x的非線性向量函數(shù),其各元素對x有連續(xù)的偏導數(shù).,李雅普諾夫第一法(3/7),欲討論系統(tǒng)在平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性,先必須將非線性向量函數(shù)f(x)在平衡態(tài)附近展開成Ta

25、ylor級數(shù),即有,其中A為nn維的向量函數(shù)f(x)與x間的雅可比矩陣; R(x-xe)為Taylor展開式中包含x-xe的二次及二次以上的余項. 雅可比矩陣A定義為,李雅普諾夫第一法(4/7),上述線性化方程的右邊第一項A(x-xe)代表原非線性狀態(tài)方程的一次近似式,如果用該一次近似式來表達原非線性方程的近似動態(tài)方程,即可得如下線性化的狀態(tài)方程: x=A(x-xe) 由于對如上式所示的狀態(tài)方程總可以通過n維狀態(tài)空間中的坐標平移,將平衡態(tài)xe移到原點. 因此,上式又可轉(zhuǎn)換成如下原點平衡態(tài)的線性狀態(tài)方程: x=Ax 判別非線性系統(tǒng)平衡態(tài)xe穩(wěn)定性的李雅普諾夫第一法的思想即為: 通過線性化,將討論

26、非線性系統(tǒng)平衡態(tài)穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換到討論線性系統(tǒng)x=Ax的穩(wěn)定性問題.,李雅普諾夫第一法(5/7),李雅普諾夫第一法的基本結論是: 1. 若線性化系統(tǒng)的狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階項R(x)無關. 2. 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個具有正實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定,而且該平衡態(tài)的穩(wěn)定性與高階項R(x)無關. 3. 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A除有實部為零的特征值外,其余特征值都具有負實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性由高階項R(x)決定.,李雅普諾夫第一法(6/7),由上述李雅普諾夫第一法的結

27、論可知,該方法與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性判據(jù)的思路一致,需求解線性化狀態(tài)方程或線性狀態(tài)方程的特征值,根據(jù)特征值在復平面的分布來分析穩(wěn)定性. 值得指出的區(qū)別是: 經(jīng)典控制理論討論的是輸出穩(wěn)定性問題,而李雅普諾夫方法討論狀態(tài)穩(wěn)定性問題. 由于李雅普諾夫第一法需要求解線性化后系統(tǒng)的特征值,因此該方法也僅能適用于非線性定常系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng),而不能推廣至時變系統(tǒng).,李雅普諾夫第一法(7/7)例5-1,試確定系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性. 解 1. 由狀態(tài)方程知,原點為該系統(tǒng)的平衡態(tài). 將系統(tǒng)在原點處線性化,則系統(tǒng)矩陣為,例5-1 某裝置的動力學特性用下列常微分方程組來描述:,因此,系統(tǒng)的特征方程為 |I-A|=2

28、+K1+K2=0,李雅普諾夫第一法(8/7),2. 由李雅普諾夫第一法知,原非線性系統(tǒng)的原點為漸近穩(wěn)定的充分條件為: K10 和 K20.,李雅普諾夫第二法(1/3),5.2.2 李雅普諾夫第二法 由李雅普諾夫第一法的結論可知,該方法能解決部分弱非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定問題,但對強非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定則無能為力,而且該方法不易推廣到時變系統(tǒng). 下面我們討論對所有動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的穩(wěn)定性分析都適用的李雅普諾夫第二法.,李雅普諾夫第二法(2/3),李雅普諾夫第二法又稱為直接法. 它是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎上建立起來的. 若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)經(jīng)激勵后,其儲存的能量將隨著時間推移而衰減

29、.當趨于平衡態(tài)時,其能量達到最小值. 反之,若平衡態(tài)不穩(wěn)定,則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量,其儲存的能量將越來越大. 基于這樣的觀點,只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù),通過考察該函數(shù)隨時間推移是否衰減,就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性.,李雅普諾夫第二法(3/3),在給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理之前,下面先介紹一些 數(shù)學預備知識,然后介紹一些 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義,最后介紹 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,數(shù)學預備知識(1/1),1. 數(shù)學預備知識 下面介紹在李雅普諾夫穩(wěn)定性分析中需應用到的如下數(shù)學預備知識: 函數(shù)的正定性 二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性 矩陣正定性的判別方

30、法,實函數(shù)的正定性(1/4)函數(shù)定號性定義,(1) 實函數(shù)的正定性 實函數(shù)正定性問題亦稱為函數(shù)定號性問題. 它主要討論該函數(shù)的值在什么條件下恒為正,什么條件下恒為負的. 下面先給出n維向量x的標量實函數(shù)V(x)的正定性定義。 定義5-5 設xRn,是Rn中包含原點的一個區(qū)域,若實函數(shù)V(x)對任意n維非零向量x都有V(x)0;當且僅當x=0時,才有V(x)=0, 則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的正定函數(shù)。 ,實函數(shù)的正定性(2/4)函數(shù)定號性定義,從定義可知,所謂正定函數(shù),即指除零點外恒為正值的標量函數(shù).由正定函數(shù)的定義,我們相應地可定義 負定函數(shù)、 非負定(又稱半正定或正半定)函數(shù)、 非正定函數(shù)(

31、又稱半負定或負半定)和 不定函數(shù).,實函數(shù)的正定性(3/4)函數(shù)定號性定義,定義5-6 設xRn,是Rn中包含原點的一個區(qū)域,若實函數(shù)V(x)對任意n維非零向量x,都有V(x)0;當且僅當x=0時,才有V(x)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的負定函數(shù)。 若對任意n維非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的非負定函數(shù)。 若對任意n維非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的非正定函數(shù)。 若無論取多么小的原點的某個鄰域,V(x)可為正值也可為負值,則稱函數(shù)V(x)為不定函數(shù)。 ,實函數(shù)的正定性(4/4),下面是幾個在由變量x1和x2組成的2

32、維線性空間中的正定函數(shù)、負定函數(shù)等的例子. 1) 正定函數(shù),2) 負定函數(shù),3) 非負定函數(shù),4) 非正定函數(shù),實函數(shù)的正定性(5/4),5) 不定函數(shù) 函數(shù)的定號性是一個相對概念,與其函數(shù)定義域有關。 如,函數(shù) 對x1與x2組成的2維空間為非負定的,但對于1維空間x2則為正定的。 上面定義了時不變函數(shù)V(x)的定號性,相應地可以定義標量時變函數(shù)V(x,t)的定號性。,實函數(shù)的正定性(6/4),定義5-7 設xRn,是Rn中包含原點的一個封閉有限區(qū)域,實函數(shù)V(x,t)是定義在t0,)上的一個標量函數(shù)且V(0,t)=0,標量連續(xù)函數(shù)(|x|)和(|x|)為非減(函數(shù)值單調(diào)增加)的且滿足 (0)

33、=(0)=0, 1) 如果對任意tt0和x0, V(x,t)為有界正定的,即 0-(|x|)V(x,t)-(|x|)； 有界非負定，即0V(x,t)(|x|)； 有界非正定，即0V(x,t)-(|x|)，,實函數(shù)的正定性(6/4),分別稱函數(shù)V(x,t)為t0,)上的(時變)負定函數(shù)、非負定函數(shù)和非正定函數(shù)。 3) 如果存在tt0,無論取多么小的原點的某個鄰域,V(x,t)可為正值也可為負值,則稱函數(shù)V(x,t)為不定函數(shù)。,二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性(1/4),(2) 二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性 二次型函數(shù)是一類特殊形式函數(shù). 設V(x)為關于n維變量向量x的實二次型函數(shù),則其可以表示為

34、,其中aij(i=1,2,n,j=i,n)為實常數(shù).,二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性(2/4),由線性代數(shù)知識知,實二次型函數(shù)V(x)又可表示為 V(x)=xPx 其中P稱為二次型函數(shù)V(x)的權矩陣,它為如下nn維實對稱矩陣:,二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性(3/4),二次型函數(shù)與一般函數(shù)一樣,具有正定、負定、非負定、非正定和不定等定號性概念. 二次型函數(shù)V(x)和它的對稱權矩陣P是一一對應的. 因此,由二次型函數(shù)的正定性同樣可定義對稱矩陣P的正定性. 定義5-8 設對稱矩陣P為二次型函數(shù)V(x)的權矩陣,當V(x)分別為正定、負定、非負定、非正定與不定時,則稱對稱矩陣P相應為正定、負定、非負定

35、、非正定與不定。 ,二次型函數(shù)和對稱矩陣的正定性(4/4)-矩陣定號性定義,因此,由上述定義就可將判別二次型函數(shù)的正定性轉(zhuǎn)換成為判別對稱矩陣的正定性. 對稱矩陣P為正定、負定、非負定與非正定時,并可分別記為 P0, P0, P0, P0。,矩陣正定性的判別方法(1/5),(3) 矩陣正定性的判別方法 判別矩陣的正定性(定號性)的方法主要有 塞爾維斯特判別法、 矩陣特征值判別法和 合同變換法. 下面分別介紹.,矩陣正定性的判別方法(2/5)-塞爾維斯特定理,定理5-1(塞爾維斯特定理) (1) 實對稱矩陣P為正定的充要條件是P的各階順序主子式均大于零,即,其中pij為實對稱矩陣P的第i行第j列元

36、素. (2) 實對稱矩陣P為負定的充要條件是P的各階順序主子式滿足,矩陣正定性的判別方法(2/5)矩陣定號性判定定理,定理5-2 實對稱矩陣P為正定、負定、非負定與非正定的充分必要條件是P的所有特征值分別大于零、小于零、大于等于零與小于等于零; 實對稱矩陣P為不定的充分必要條件是P的特征值有正有負。 定理5-3 實對稱矩陣P必定可經(jīng)合同變換化成對角線矩陣,則P為正定、負定、非負定與非正定的充分必要條件是的所有對角線元素分別大于零、小于零、大于等于零與小于等于零; P為不定的充分必要條件是的對角線元素有正有負。,矩陣正定性的判別方法(3/5)矩陣定號性判定定理,定理5-3中的合同變換是指對對稱矩

37、陣的同樣序號的行和列同時作同樣的初等變換. 上述三種判別實對稱矩陣P的定號性的方法,各有千秋.但總的說來, 基于塞爾維斯特定理的方法計算量較大,若將該方法推廣到判別非負定性和非正定性,則計算量成指數(shù)性地增加. 特征值判別法需求解高階特征方程以獲得特征值,計算較復雜,計算量也較大. 合同變換法對矩陣只作初等變換,計算簡單,便于應用.,矩陣正定性的判別方法(4/5)例5-2,例5-2 試用合同變換法判別下列實對稱矩陣P的定號性:,解 先對對稱矩陣P作合同變換如下,矩陣正定性的判別方法(5/5)例5-2,因此,由定理5-3知,矩陣P為正定矩陣.,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(1/5),2. 李雅普

38、諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義 從平衡態(tài)的定義可知,平衡態(tài)是使得系統(tǒng)靜止不動(導數(shù)為零,即運動變化的趨勢為零)的狀態(tài). 從能量的觀點來說,靜止不動即不存在運動變化所需要的能量,即變化所需的能量為零. 通過分析狀態(tài)變化所反映的能量變化關系可以分析出狀態(tài)的變遷或演變,可以分析出平衡態(tài)是否穩(wěn)定或不穩(wěn)定. 下面通過一剛體運動的能量變化來簡介李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義.,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(2/5),右圖所示動力學系統(tǒng)的平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為漸近穩(wěn)定的平衡態(tài). 對該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數(shù)如下:,其中x為位移, x為速度,兩者且選為狀態(tài)變量. 在圖中所示狀態(tài),v=-x,由牛頓

39、第二定律可知,其運動滿足如下方程: m(-x)=mgcos-fmgsin 其中f為摩擦阻尼系數(shù).,因此,有 mx=-mg(cos-fsin) 因此,能量的變化趨勢(導數(shù))為 V=mxx+mgxcos =-mgx(cos-fsin)+mgxcos =mgxfsin,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(3/5),當取值為0,90,由于v的方向與x相反，x為負,因此上式恒小于零. 即漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),其正定的能量函數(shù)的導數(shù)(變化趨勢)為負. 對小球向上運動時亦可作同樣分析.,從直觀物理意義的角度,也非常易于理解. 由于物體運動所受到的摩擦力作負功,由能量守恒定律可知,物體的能量將隨物體運動減少, 即其導

40、數(shù)(變化趨勢)為負.,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(4/5),再如右圖所示的動力學系統(tǒng),其平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為不穩(wěn)定的平衡態(tài). 對該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數(shù)如下:,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(5/5),由牛頓第二定律可知,其運動滿足如下方程: ma=mgcos-fmgsin 因此,有 mx=mg(cos-fsin) 因此,能量的變化趨勢(導數(shù))為,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(6/5),V=mxx-mgxcos=mgx(cos-fsin)-mgxcos=-mgxfsin 當取值為0,90,由于x為正,因此上式恒小于零. 即不穩(wěn)定的平衡態(tài),其負定的能量函數(shù)的導數(shù)(變化

41、趨勢)為負.,李雅普諾夫第二法的基本思想就是通過定義和分析一個在平衡態(tài)鄰域的關于運動狀態(tài)的廣義能量函數(shù)來分析平衡態(tài)的穩(wěn)定性. 通過考察該能量函數(shù)隨時間變化是否衰減來判定平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定,還是不穩(wěn)定. 基于上述關于函數(shù)的定號性的定義和上述物理意義解釋,下面闡述李雅普諾夫第二法關于 平衡態(tài)穩(wěn)定、 漸近穩(wěn)定、 大范圍漸近穩(wěn)定和 不穩(wěn)定 的幾個定理.,李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(7/5),3. 李雅普諾夫第二法的幾個定理 下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下3個定理: 漸近穩(wěn)定性定理(定理5-4) 穩(wěn)定性定理(定理5-5) 不穩(wěn)定性定理(定理5-6),李雅普諾夫第二法的幾個定理(1/1),(1)

42、 漸近穩(wěn)定性定理 定理5-4 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=f(x,t) 其中xe=0為其平衡態(tài). 若存在一個有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件: 1) 若V(x,t)為負定的,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的; 2) 更進一步，若隨著|x|,有V(x,t),那么該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的. ,漸近穩(wěn)定性定理(1/7),李雅普諾夫定理是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個重要方法和結論。 它不僅適用于線性系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng);既適用于定常系統(tǒng),也適用于時變系統(tǒng)。 因此，李雅普諾夫第二法是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法。 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對控制理論中其他分支理論的

43、發(fā)展也起著重要的作用,是進行現(xiàn)代系統(tǒng)分析和設計的基礎工具。 對上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說明: 1) 此定理只為判別系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充分條件,而非必要條件.,漸近穩(wěn)定性定理(2/7),也就是說,若找到滿足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù),則系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定或大范圍一致漸近穩(wěn)定的. 但是,如果我們一時找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù),也并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的. 此時,我們或者 繼續(xù)尋找滿足條件的李雅普諾夫函數(shù),或者 可利用后續(xù)定理的結論來判別平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性. 2) 對于漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的,但并不唯一.,漸近穩(wěn)定性定理(3/7),3) 對于非線性

44、系統(tǒng),雖然具體的李雅普諾夫函數(shù)可證明所討論的系統(tǒng)在平衡態(tài)的鄰域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的,但并不意味著在其它的區(qū)域系統(tǒng)是或不是漸近穩(wěn)定的; 對于線性系統(tǒng),如果存在著漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),則它必是大范圍漸近穩(wěn)定的. 4) 此定理不僅適用于線性系統(tǒng),同樣適用于非線性系統(tǒng);既適用于定常系統(tǒng),同樣也適用于時變系統(tǒng). 因此李雅普諾夫第二法是判別平衡態(tài)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法. 5) 李雅普諾夫第二法的結論并沒有指明尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法. 尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法將依具體的系統(tǒng)和狀態(tài)方程而具體分析.,漸近穩(wěn)定性定理(4/7),對于二階系統(tǒng),容易給出上述定理的直觀幾何解釋(右圖為李雅普諾夫函數(shù)V(x,t)為歐氏距離的一

45、個二維系統(tǒng)的x1-x2相平面圖).,漸近穩(wěn)定性定理(5/7),導函數(shù)V(x,t)表征系統(tǒng)的廣義能量函數(shù)的變化速率.,李雅普諾夫函數(shù)V(x,t)相當于定義為表征系統(tǒng)的某種廣義能量的一種正定函數(shù). 令V(x,t)為不同的常數(shù),則相當于在n維狀態(tài)空間上定義了一簇以原點為中心,形狀相似的同心超球面.,V(x,t)為負定同時也表示系統(tǒng)狀態(tài)將從現(xiàn)在所處于的在該封閉超球面簇中超球面向原點方向(向內(nèi))運動,最后逐漸趨向原點.,漸近穩(wěn)定性定理(6/7),例5-3 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性.,漸近穩(wěn)定性定理(7/7)-例3,解 顯然,原點(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù),

46、為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)對時間的全導數(shù),是負定函數(shù).此外,當|x|時,必有V(x). 因此,由定理5-4知,在原點處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的.,例5-4 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性.,漸近穩(wěn)定性定理(8/7)例4,解 顯然,原點(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù),為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)對時間的全導數(shù),是負定函數(shù),故由定理5-4知,根據(jù)所選的李雅普諾夫函數(shù)分析不出該平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定或穩(wěn)定. 但這也并不意味著該平衡態(tài)就并不漸近穩(wěn)定. ,定理5-4中嚴格要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)為正定函數(shù),其導數(shù)為負定

47、函數(shù). 這給該定理的應用,特別是尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難. 下面給出一個定理對上述定理5-4作一補充,以減弱判別條件.,漸近穩(wěn)定性定理(9/7),(2) 穩(wěn)定性定理 定理5-5 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f(x,t),其中xe=0為其平衡態(tài).若存在一個有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件: 1) V(x,t)為非正定(半負定)的,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的; 2) 更進一步,若V(x,t)的定義域為Rn,對任意的t0和任意的x(t0)0,V(x,t)在tt0時不恒為零,那么 該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的,否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定. 此時,隨

48、著|x|,有V(x,t),則該系統(tǒng)在原點處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的. ,穩(wěn)定性定理(1/4),由此定理的結論可知,定理5-5不僅可用于判別平衡態(tài)的穩(wěn)定性,而且可作為定理5-4的補充,用于判別平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性. 例5-5 試確定例5-4的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性. 解 前面已經(jīng)定義例5-4的系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù). 該函數(shù)及其導數(shù)分別為,穩(wěn)定性定理(2/4)例5-5,由于V(x)是非正定函數(shù),由定理5-5的1)可知,系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的.,穩(wěn)定性定理(4/4)例5-5,下面利用定理5-5的結論2)來分析相應的平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定. 分析過程可如右圖所示。,平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,穩(wěn)定性定理(5/4

49、)例5-5,對例5-5，選取李雅普諾夫函數(shù)為 則 是負定的,系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。,例5-6 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性.,穩(wěn)定性定理(6/4)例5-6,為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)的全導數(shù),解 顯然,原點(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù),由于V(x)非正定,由定理5-5的1)可知,系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的.,由于V(x)對任意的x0恒為零,因此由定理5-5中2)可知,該系統(tǒng)是穩(wěn)定的但非漸近穩(wěn)定. ,穩(wěn)定性定理(6/4)例5-6,(3) 不穩(wěn)定性定理 定理5-6 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f(x,t),其中xe=0為其平衡態(tài).若存

50、在一個有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件: 1) V(x,t)為正定的,則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的; 2) 若V(x,t)為非負定的,且對任意的t0和任意的x(t0)0, V(x,t)在tt0時不恒為零,那么該平衡態(tài)xe亦是不穩(wěn)定的. ,不穩(wěn)定性定理(1/2),例5-7 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性.,不穩(wěn)定性定理(2/2)例5-7,解 顯然,原點(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為,則,由于V(x)非負定,但其只在x1=0,x2=0時才恒為零,而在其它狀態(tài)不恒為零,因此由定理5-6的2)可知,系統(tǒng)的該平衡態(tài)為不穩(wěn)定的.,不穩(wěn)

51、定性定理(3/2)例5-8,例5-8 設時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試判斷系統(tǒng)在坐標原點處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 定義李雅普諾夫函數(shù)為,顯然,在x1-x2平面上的第一,三象限內(nèi),有V(x,t),是正定的。 在此區(qū)域內(nèi)取V(x,t)的全導數(shù)為,不穩(wěn)定性定理(4/2)例5-8,所以在x1-x2平面上的第一,三象限內(nèi)V(x,t),0, 它的一階導數(shù)亦大于零,由此根據(jù)定理5-6可知,系統(tǒng)在坐標原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結,不穩(wěn)定性定理(5/2)穩(wěn)定性定理小結,V(x),V(x),結論,正定(0),負定(0),該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,正定(0),半負定(0)且不恒

52、為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,正定(0),半負定(0)且恒為0 (對某一非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)穩(wěn)定 但非漸近穩(wěn)定,正定(0),正定(0),該平衡態(tài)不穩(wěn)定,正定(0),半正定(0)且不恒為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)不穩(wěn)定,5.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用. 討論的主要問題有: 基本方法: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 矩陣李雅普諾夫方程的求解 線性時變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分析,李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)的應用(1/2),由上節(jié)知,李雅普諾夫第

53、二法是分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 由于各類系統(tǒng)的復雜性,在應用李雅普諾夫第二法時,難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法. 目前的處理方法是,針對系統(tǒng)的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法.,李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)的應用(2/2),本節(jié)將討論對線性系統(tǒng),包括 線性定常連續(xù)系統(tǒng)、 線性時變連續(xù)系統(tǒng)和 線性定常離散系統(tǒng), 如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)的應用(3/2),5.3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

54、x=Ax 這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點: 1) 當系統(tǒng)矩陣A為非奇異時,系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點; 2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的; 3) 對于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1/21),上述第(3)點可由如下定理中得到說明. 定理5-7 線性定常連續(xù)系統(tǒng) x=Ax 的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對任意給定的一個正定矩陣Q,都存在一個正定矩陣P為矩陣方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函數(shù)V(x)=xPx即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù). ,線

55、性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(2/21)定理5-7,證明 (1) 先證充分性. 即證明,若對任意的正定矩陣Q,存在正定矩陣P滿足方程 PA+AP=-Q, 則平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的. 證明思路：,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(3/21),由于P正定,選 擇正定函數(shù)V(x)=xPx為李 雅普諾夫函數(shù),計算李雅普諾夫函數(shù)V(x)對時間t的全導數(shù)V(x),通過判定V(x)的定號性來判定平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(4/21),證明過程為： 已知滿足矩陣方程 PA+AP=-Q 的正定矩陣P存在,故令 V(x)=xPx. 由于V(x)為正定函數(shù),而且V(

56、x)沿軌線對時間t的全導數(shù)為 V(x)=(xPx) =xPx+xPx =(Ax)Px+xPax =x(AP+PA)x =-xQx 而Q為正定矩陣,故V(x)為負定函數(shù),根據(jù)漸近穩(wěn)定性定理(定理5-4),即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的,于是充分性得證. (2) 再證必要性. 即證明:若系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的,則對任意給定的正定矩陣Q,必存在正定矩陣P滿足矩陣方程 PA+AP=-Q 證明思路： 由正定矩陣Q構造滿足矩陣方程 PA+AP=-Q 的正定矩陣P.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(5/21),證明過程為： 對任意給定的正定矩陣Q,構造矩陣P如下,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李

57、雅普諾夫穩(wěn)定性分析(6/21),由矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的定義和性質(zhì)知,上述被積矩陣函數(shù)的各元素一定是具有tket形式的諸項之和,其是A的特征值. 因為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則矩陣A的所有特征值的實部一定小于零,因此上述積分一定存在,即P為有限對稱矩陣.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(7/21),又由于 Q正定, 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt可逆, 則由方程(5-15)可知,P為有限的正定矩陣. 因此,P為正定矩陣.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(8/21),將矩陣P的表達式(5-15)代入矩陣方程 PA+AP=-Q 可得:,因此,必要性得證.,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(9/2

58、1),上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法,該方法 不需尋找李雅普諾夫函數(shù), 不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值, 只需解一個矩陣代數(shù)方程即可,計算簡便. 該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程. 由上述定理,可得如下關于正定矩陣P是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論.,推論5-1 如果線性定常系統(tǒng)x=Ax在平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的,那么李雅普諾夫代數(shù)方程 PA+AP=-Q 對給定的任意正定矩陣Q,存在唯一的正定矩陣解P. 證明 用反證法證明. 即需證明: 李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個正定矩陣解,但該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的. 設李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個正定矩陣解P1和P2,則將P1和P2代入該方程后有 P1A+AP1=-Q P2A+AP2=-Q,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(10/21)推論1,兩式相減,可得 (P1-P2)A+A(P1-P2)=0 因此,有,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(11/21),所以,對任意的t,下式均成立:,令t=0和t=T(0),則有,由定理5-7可知,當P1和P2為滿足李雅普諾夫方程的正定矩陣時,則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的. 故系統(tǒng)矩