大學(xué)物理課件：第五章 機(jī)械波

1、1,第5章,(Mechanical wave) (6),重點(diǎn): 行波方程。核心:位相。,2,5.1.1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播,5.1 波動(dòng)的基本概念,1.產(chǎn)生機(jī)械波的條件： 波源產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)； 彈性媒質(zhì)傳播振動(dòng)狀態(tài)。,波動(dòng)振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程。,p24,3,4,沿著波的傳播方向, 振動(dòng)是依次落后的。,P點(diǎn)比o點(diǎn)時(shí)間落后：,P點(diǎn)比o點(diǎn)位相落后：,(這里：u是波速),在波的傳播過程中，媒質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)并不“隨波逐流”, 它們?cè)诟髯缘钠胶馕恢酶浇駝?dòng)；傳播的是波源的振動(dòng)狀態(tài)。,5,2.波面和波線,波線(波射線) 波的傳播方向。,波面(波陣面) 波動(dòng)過程中，振動(dòng)位相相同的點(diǎn)連成的面。最前面的那個(gè)波面稱為波前。

2、 平面波波面為平面的波動(dòng)。本章只討論這種波。 球面波波面為球面的波動(dòng)。 在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。,橫波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向相互垂直。 縱波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行。,6,5.1.3 惠更斯原理,作用：用幾何作圖的方法就能確定下一時(shí)刻的波陣面，從而確定波的傳播方向。,媒質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn),都可以看作是發(fā)射子波的波源,其后任一時(shí)刻,這些子波的包跡就是新的波陣面。,7,惠更斯原理的不足：不能求出波的強(qiáng)度分布。,8,5.2 平面簡諧行波的波動(dòng)方程 !,注意這里： x表示各質(zhì)點(diǎn)的平衡位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離； y表示各質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移。,一平面余弦行波在均勻無耗媒質(zhì)中

3、沿x軸正方向傳播，波速u，坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)方程為 y=Acos( t+o),求：坐標(biāo)為x的P點(diǎn)的振動(dòng)方程(波動(dòng)方程)。,9,因: 均勻無耗媒質(zhì)、平面波, 所以P點(diǎn)的振幅仍是A。,原點(diǎn)o的振動(dòng)方程為 y=Acos( t+o),P點(diǎn)比o點(diǎn)時(shí)間落后: t=x/u,角頻率仍為。,則P點(diǎn)的振動(dòng)方程(即波動(dòng)方程)為,10,則P點(diǎn)比o點(diǎn)時(shí)間超前: t=x/u，波動(dòng)方程應(yīng)為,P點(diǎn)的振動(dòng)方程(即波動(dòng)方程)為,若波沿x軸負(fù)方向傳播，,11,波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,考慮到，=2/T，=uT , 波動(dòng)方程還可寫為,12,1.當(dāng)x=xo(確定值)時(shí)，位移y只是時(shí)間t的余弦函數(shù):,這是xo處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。,2.當(dāng)t=to(

4、確定值)時(shí)，位移y只是位移x的余弦函數(shù):,此式表示給定時(shí)刻to各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況,相應(yīng)的y-x的曲線就叫做波形曲線，如下圖所示。,13,上式表明，t 時(shí)刻x點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，經(jīng)時(shí)間t后傳播到了x軸正方向的x+ut 處。,3.當(dāng)x,t 都變化時(shí)，代表一列沿x軸正方向傳播的波。,14,15,1.波速u振動(dòng)狀態(tài)(位相)的傳播速度，又稱相速。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性)來確定。,5.1.2 描述波動(dòng)的物理量,P26,169,16,3.波長 一個(gè)周期內(nèi)波動(dòng)傳播的距離。,4.平面簡諧波波面為平面，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同頻率的簡諧振動(dòng)形成的波動(dòng)。本章主要討論這種波。,2.波的周期T媒質(zhì)質(zhì)元完成一次全振動(dòng)

5、的時(shí)間。波的周期完全由波源(周期)確定。,17,解 (1)比較法:,波沿x軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點(diǎn)的振動(dòng)初相o=/2。,18,(3)x1=1m和x2=2m兩點(diǎn)的相差：,(2)x=2m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：,19,解 (1) o比C點(diǎn)位相超前l(fā) /u,(2)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)法:, o=(+ l /u),例題2-2 波以u(píng)沿x軸正方向傳播，yC=Acos(t+), 求: (1)原點(diǎn)o的振動(dòng)方程； (2)波動(dòng)方程。,則o點(diǎn)的振動(dòng)方程為: y=Acos(t+ +l /u),20,P(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)C時(shí)間落后：,yC=Acos(t+),令x=0

6、得坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動(dòng)方程為:,P(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)C 超前用“+”； 落后用“”。,21,當(dāng)t=1時(shí), 對(duì)a點(diǎn)有：,對(duì)b點(diǎn)有：,解得：u=84cm/s, o=-17/3= /3,波動(dòng)方程為,解,例題2-4 波沿x軸正向傳播，A=10cm, =7rad/s; 當(dāng)t=1s時(shí), ya=0, a0 。設(shè)10cm, 求該波的波動(dòng)方程。,22,例題2-5 波沿x軸正方向傳播, t=0，t=0.5s時(shí)的波形如圖，周期T1s，求 ：(1) 波動(dòng)方程；(2) P點(diǎn)(x=2m)的振動(dòng)方程。,A=0.2，=4m,T= /u=2，=,o=+/2,波動(dòng)方程:,(2)P點(diǎn):,y=0.2cos(t - )(m),23,例題2-

7、6 t=2s時(shí)的波形如圖，u=0.5m/s，求：(1)圖中p點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)該波的波動(dòng)方程。,解 (1) A=0.5, =2,(2)該波的波動(dòng)方程:,=,T= /u=4，=/2,+/2,24,5.3 平面行波的動(dòng)力學(xué)方程,p165,例：推導(dǎo)輕質(zhì)、柔弦的微振動(dòng)方程,如圖，由牛頓定律有,微振動(dòng)時(shí),聯(lián)立求解得,25,由此得,對(duì)比,有：,即：波動(dòng)方程空間二次導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度,26,討論：影響波的傳播速度的因素,對(duì)其它波動(dòng)形式的方程作類似推導(dǎo)，可得各種波動(dòng)的波動(dòng)方程及傳播速度，由傳播速度的表達(dá)式，容易知道影響波傳播速度的因素,27,介質(zhì)的幾種典型模量,若在截面為S，長為l的細(xì)棒兩端加上大

8、小相等、方向相反的軸 向拉力F，使棒伸長l，實(shí)驗(yàn)證明：在彈性限度內(nèi)，正應(yīng)力 F/S與線性應(yīng)變l/l成正比，即,比例系數(shù)Y由材料的彈性決定，稱為楊氏模量,(2).切變模量,(1).楊氏模量,切變模量,在柱體上下表面S上作用一大小相 等，方向相反的切向力F，使柱體,28,發(fā)生切變。實(shí)驗(yàn)證明：在彈性限度內(nèi)，切應(yīng)力F/S與切應(yīng)變 x/h成正比，即,比例系數(shù)G由材料的切變彈性決定，稱為切變模量,(3).體變模量,設(shè)流體體積在壓強(qiáng)為P時(shí)等于V，如果是壓強(qiáng)增加到P+P，體 積變化為V+V，則在通常壓強(qiáng)范圍內(nèi)有,體變模量,比例系數(shù)B稱為體變模量。式中負(fù)號(hào)表示當(dāng) P0時(shí)，V 0,29,5.4 行波中的能量和能流

9、,一.波的能量密度,波動(dòng)過程也是能量的傳播過程。,質(zhì)元dm= dV (為媒質(zhì)的密度)，長dx、伸長量dy。質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能分別為,p172,30,由胡克定律，,楊氏彈性模量: Y= u2,31,質(zhì)元dm的總能:,(3)能量密度(單位體積中波的能量)為,(1)任意時(shí)刻,質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能都相等。即,(2)質(zhì)元的總能量隨時(shí)間作周期性的變化。在波動(dòng)中, 隨著振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播, 能量也從媒質(zhì)的一部分傳到另一部分, 所以,波動(dòng)是能量傳播的一種方式。,32,平均能量密度：,二.波的能流密度(波強(qiáng)),單位時(shí)間內(nèi)，通過垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的能量,稱為能流密度。 顯然，能流密度也就是通過垂直于波動(dòng)傳

10、播方向的單位面積的功率。,容易證明, 能流密度(或波強(qiáng))為,33,三. 聲波 聲強(qiáng)級(jí),引起人聽覺的機(jī)械波的頻率范圍： 20-20000Hz 人耳的聽覺并不與聲強(qiáng)成正比，而是與聲強(qiáng)的對(duì)數(shù)成正比。取聲強(qiáng)Io=10-12(w/m2)為標(biāo)準(zhǔn)，則聲強(qiáng)級(jí):,(dB),樹葉沙沙：20dB; 正常談話： 60dB; 鬧市：70dB; 飛機(jī)起飛：150dB。,34,(A)質(zhì)元a的動(dòng)能為零 , 勢(shì)能最大。 (B)質(zhì)元a的動(dòng)能最大 , 勢(shì)能為零。 (C)質(zhì)元b的動(dòng)能最大, 勢(shì)能最大。 (D)質(zhì)元b的動(dòng)能最大, 勢(shì)能為零。,答: (C),例題4-1 圖為某一時(shí)刻的波形曲線, 由圖可知,35,例題4-2 一電臺(tái)(視為點(diǎn)

11、波源)平均發(fā)射功率10kw，求離電臺(tái)1km處的波強(qiáng)。,解 能流密度(波強(qiáng))為,能流密度也就是通過垂直于波傳播方向的單位面積的功率。于是所求能流密度(波強(qiáng))為,=7.9610-4(w/m2),36,5.5.1波的疊加原理,5.5 波的干涉 駐波,每列波的傳播特性不因其它波的存在而改變。任一點(diǎn)的振動(dòng)為各個(gè)波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)的合成。這一規(guī)律稱為波的獨(dú)立傳播原理或波的疊加原理。 適用條件：波強(qiáng)較小。,p39,5.5.2 波的干涉,兩列波: (1)頻率相同； (2)振動(dòng)方向相同； (3)相差恒定；,則在相遇區(qū)域會(huì)出現(xiàn)有些地方的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些的振動(dòng)始終減弱的穩(wěn)定分布，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。,3

12、7,S1: y10=A1cos( t+1),S1 p:,S2 p:,P點(diǎn)的合振動(dòng)為 y =y1+y2,=Acos( t+),(同方向同頻率諧振動(dòng)的合成),它們單獨(dú)在P點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為,S2: y20=A2cos( t+2),38,合振幅:,式中,合振動(dòng)的初相為,P點(diǎn)的合振動(dòng)為 y =y1+y2=Acos( t+),波強(qiáng):,39,干涉的強(qiáng)弱取決于兩列波的相位差：,=2k , A=A1+A2 , 加強(qiáng)(相干相長)， 特別是A1=A2 時(shí)，A=2A1，Imax=4I1。,=(2k+1) , A=|A1-A2| , 減弱(相干相消)， 特別是A1=A2 時(shí)，A=0，Imin=0。,(k=0,1,2)

13、,40,例題5-1 兩個(gè)振幅都為A的相干波源S1和S2相距3/4， S1比S2超前/2，設(shè)兩波在連線上的波強(qiáng)不隨傳播距離而改變，試分析S1和S2連線上的干涉情況。,解 干涉的強(qiáng)弱取決于相位差：,S1左側(cè)a點(diǎn): =,S2右側(cè)b點(diǎn): =,S1左側(cè)各點(diǎn)都加強(qiáng)，Imax=4I1,S2右側(cè)各點(diǎn)都減弱， Imin=0,41,S1和S2之間c點(diǎn):, =,42,例題5-2 原點(diǎn)o是波源, 波長為。AB為波的反射平面，反射時(shí)無半波損失。A點(diǎn)位于o點(diǎn)的正下方，Ao=h，ox軸平行于AB。求ox軸上干涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)。,解,=2k , 加強(qiáng),(k=1,2,3),解得,(最大k: 令x=0，得k=2h/),(k=1,2

14、,3 2h/ ),43,例題5-3 已知: yb=3cos2t, yc=4cos(2t+/2)(SI), 從b、c兩點(diǎn)發(fā)出的波在p點(diǎn)相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求p點(diǎn)的合振動(dòng)方程。,解,y1=3cos(2t- ),=3cos(2t-/2),cp:,y2=4cos(2t+/2- ),=4cos(2t-/2),p點(diǎn)的合振動(dòng)方程:,y=y1+y2=,7cos(2t-/2)m,bp:,44,例題5-4 相干波源S1超前S2 , A1=A2=0.2m, 頻 率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,兩種媒質(zhì)中的波速分別為 u1=400m/s, u2=500m

15、/s， 求兩媒質(zhì)界面上p點(diǎn)的合振幅。,=0,=A1+A2 =0.4m,解 先求兩波到達(dá)p點(diǎn)的位相差:,45,5.5.3駐 波,兩列振幅相等、傳播方向相反的相干波進(jìn)行疊加，就會(huì)形成駐波。,p41,46,將兩列波合成，可得,這就是駐波方程。,(1)駐波方程實(shí)際上是一個(gè)振動(dòng)方程，只不過各點(diǎn)的振幅隨坐標(biāo)x的不同而變化。 整體上看，駐波的波形駐定在原地起伏變化而不傳播, 這是駐波中“駐”字的意思。,47,波節(jié),波腹, /4,- /4,48,(2)波腹和波節(jié)位置,波腹：,即,波腹的位置為,波節(jié)：,即,波節(jié)的位置為,容易算出，相鄰的兩個(gè)波節(jié)(或波幅)之間的距離是 /2?？梢姡瑴y(cè)出兩波節(jié)之間的距離，就能算出波

16、長。這是實(shí)驗(yàn)中測(cè)量波長的一種常用的方法。,49,(3)駐波中的位相,由駐波方程可知，2x/=k + /2為波節(jié), 而 2x/在1、4象限的點(diǎn)，各點(diǎn)位相都是 t; 2x/在2、3象限的點(diǎn)，各點(diǎn)位相都是( t+)。,可見，在相鄰的兩波節(jié)間，各點(diǎn)的振動(dòng)位相相同；而在波節(jié)兩旁，各點(diǎn)的振動(dòng)位相相反。因此,駐波實(shí)際上就是分段振動(dòng)著的, 沒有振動(dòng)狀態(tài)或相位的傳播。這是駐波中“駐”字的又一層意思。,50,(4)駐波中的能量,從整個(gè)過程來看, 能量在相鄰的波腹、波節(jié)間來回轉(zhuǎn)移, 波節(jié)或波腹兩側(cè)的媒質(zhì)互不交換能量。因此，駐波是不傳播能量的。這是駐波中“駐”字的再一層意思。,(5) 固定邊界的駐波（弦）,n=1,2

17、,51,(6)關(guān)于半波損失,（2） 若波疏波密， 則 1 = 1 ,（1）波密波疏,反射波：,反射波和入射波同相,反射波有相位突變,半波損失,透射波：,即透射波總是與入射波同相,均有 2 = 1,52,例題5-5 一弦上的駐波方程為,求：(1)兩行波的振幅和波速；(2)相鄰波節(jié)間的距離；(3)t=3.0010-3s時(shí),位于x=0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。,解：(1)比較法,A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u=343.8m/s,53,(2)相鄰兩波節(jié)之間的距離:,(=1.25m),=0.625m,(3)t=3.0010-3s時(shí),位于x=0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。,

18、x=0.625,=-46.2(m/s),54,例題5-6 (1) 波y2與y1形成駐波,且在x=0處兩波同相,求波y2的方程。(2)駐波方程；(3)波幅和波節(jié)位置。,解 (1)設(shè)波y2的方程為,因y2在x=0處與已知橫波位相相同，所以o=0,55,(2)寫出繩上的駐波方程:,(3)波幅和波節(jié)位置。,波幅:,波節(jié):,56,解 (1)設(shè)反射波方程為,由于反射端為自由端(無半波損失)，入射波和反射波在p點(diǎn)相差為零，即,反射波方程為,例題5-7 波 沿棒傳播，在 x=L處(p點(diǎn))反射，反射端為自由端，求：(1)反射波方程；(2)駐波方程。,57,(2)駐波方程。,駐波方程為,58,例題5-8 簡諧波沿

19、弦線傳播(A、)，在固定端P點(diǎn)反射，假設(shè)反射后波不衰減。已知：OP=7 /8，DP=3 /8，在t=0時(shí)，x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)經(jīng)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求D點(diǎn)處入射波和反射波的合振動(dòng)方程。,解：設(shè)入射波方程為,設(shè)反射波方程為,駐波方程:,59,反射點(diǎn)P(x=7/8)處為固定點(diǎn), 這表示P點(diǎn)處為波節(jié):,已知:t=0時(shí)，x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)經(jīng)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。,60,x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)方程:,已知:t=0, x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)經(jīng)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng):,駐波方程:,61,D點(diǎn)處入射波和反射波的合振動(dòng)方程:,(已知: OP=7 /8，DP=3 /8),62,例題5-9 設(shè)波源位于

20、坐標(biāo)原點(diǎn)o處,其振動(dòng)方程為yo=Acost。在x=-3 /4處的Q點(diǎn)有一波密反射壁(為波長)。求: (1)o點(diǎn)發(fā)出的沿x軸傳播的波的波動(dòng)方程; (2) Q點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程; (3)oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (4)x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (5)x=- /2處質(zhì)點(diǎn)p的振動(dòng)方程。,解 (1)沿x軸正方向傳播的波:,沿x軸負(fù)方向傳播的波:,63,(2) 設(shè)Q點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程為,由于反射壁處有半波損失，入射波y2和反射波yr在Q點(diǎn)相差應(yīng)為 ，即,解得 o=-4。 最后得Q點(diǎn)反射波的波動(dòng)方程為,64,oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程為,這是駐波方程。,(4) x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程：,(3),這是

21、行波方程。,65,就得x=- /2處質(zhì)點(diǎn)p的振動(dòng)方程：,(5)將x=- /2代入oQ區(qū)域的駐波方程:,66,*5.6 多普勒效應(yīng),目前,多普勒效應(yīng)已在科學(xué)研究、工程技術(shù)、交通管理、醫(yī)療診斷等各方面有著十分廣泛的應(yīng)用。 用多普勒效應(yīng)分析分子、原子和離子的譜線增寬。 測(cè)量和診斷大氣、等離子體物理狀態(tài)。 車輛、導(dǎo)彈等運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的速度監(jiān)測(cè)。 多普勒效應(yīng)用來跟蹤人造衛(wèi)星。 “D超”用來檢查人體內(nèi)臟、血管等情況。 在工礦企業(yè)中則利用多普勒效應(yīng)來測(cè)量管道中有懸浮物液體的流速。,p50,67,波源和接收器(觀察者)相對(duì)于媒質(zhì)都是靜止的,接收器接收到的波的頻率與波源的頻率相同。,什么是多普勒效應(yīng)呢？,接收器(或觀

22、察者)所接收到的頻率等于單位時(shí)間內(nèi)通過接收器(或觀察者)所在處的完整波數(shù)目。,如果波源或接收器或兩者同時(shí)相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。這一現(xiàn)象稱為多普勒(Doppler)效應(yīng)。 假定波源和接收器在同一直線上運(yùn)動(dòng)。規(guī)定用 s表示波源相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度； r表示接收器相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度； u表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。,68,1.波源和接收器相對(duì)于媒質(zhì)都靜止,當(dāng)波源和接收器相對(duì)于媒質(zhì)都靜止時(shí)，波源每作一次全振動(dòng)，波就在空間傳播一個(gè)波長的距離，結(jié)果就有一個(gè)完整的波通過接收器，顯然接收器(或觀察者)接收到的頻率vr就等于波源的頻率v ，即 vr=u /= v,69,2.波源靜止，接收器相對(duì)于媒質(zhì)以r運(yùn)動(dòng), 當(dāng)接收器在媒質(zhì)中靜止不動(dòng)時(shí),他在單位時(shí)間內(nèi)接收到u /個(gè)波。,現(xiàn)因接收器以速度r向波源運(yùn)動(dòng),他在單位時(shí)間內(nèi)多接收到r /個(gè)波,所以他在單位時(shí)間內(nèi)接收到的波數(shù),即他接收到的頻率vr應(yīng)為,70,3.接收器靜止，波源相對(duì)于媒質(zhì)以s運(yùn)動(dòng),當(dāng)波源和接收器(觀察者)都靜止，則分布在So內(nèi)的波數(shù)在單位時(shí)間內(nèi)都要通過接