大學物理課件：第五章 機械波

1、1,第5章,(Mechanical wave) (6),重點: 行波方程。核心:位相。,2,5.1.1 機械波的產(chǎn)生和傳播,5.1 波動的基本概念,1.產(chǎn)生機械波的條件： 波源產(chǎn)生機械振動； 彈性媒質(zhì)傳播振動狀態(tài)。,波動振動狀態(tài)的傳播過程。,p24,3,4,沿著波的傳播方向, 振動是依次落后的。,P點比o點時間落后：,P點比o點位相落后：,(這里：u是波速),在波的傳播過程中，媒質(zhì)中的質(zhì)點并不“隨波逐流”, 它們在各自的平衡位置附近振動；傳播的是波源的振動狀態(tài)。,5,2.波面和波線,波線(波射線) 波的傳播方向。,波面(波陣面) 波動過程中，振動位相相同的點連成的面。最前面的那個波面稱為波前。

2、 平面波波面為平面的波動。本章只討論這種波。 球面波波面為球面的波動。 在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。,橫波質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相互垂直。 縱波質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互平行。,6,5.1.3 惠更斯原理,作用：用幾何作圖的方法就能確定下一時刻的波陣面，從而確定波的傳播方向。,媒質(zhì)中波動傳播到的各點,都可以看作是發(fā)射子波的波源,其后任一時刻,這些子波的包跡就是新的波陣面。,7,惠更斯原理的不足：不能求出波的強度分布。,8,5.2 平面簡諧行波的波動方程 !,注意這里： x表示各質(zhì)點的平衡位置到坐標原點的距離； y表示各質(zhì)點對平衡位置的位移。,一平面余弦行波在均勻無耗媒質(zhì)中

3、沿x軸正方向傳播，波速u，坐標原點的振動方程為 y=Acos( t+o),求：坐標為x的P點的振動方程(波動方程)。,9,因: 均勻無耗媒質(zhì)、平面波, 所以P點的振幅仍是A。,原點o的振動方程為 y=Acos( t+o),P點比o點時間落后: t=x/u,角頻率仍為。,則P點的振動方程(即波動方程)為,10,則P點比o點時間超前: t=x/u，波動方程應為,P點的振動方程(即波動方程)為,若波沿x軸負方向傳播，,11,波動方程的標準形式:,考慮到，=2/T，=uT , 波動方程還可寫為,12,1.當x=xo(確定值)時，位移y只是時間t的余弦函數(shù):,這是xo處質(zhì)點的振動方程。,2.當t=to(

4、確定值)時，位移y只是位移x的余弦函數(shù):,此式表示給定時刻to各振動質(zhì)點的位移分布情況,相應的y-x的曲線就叫做波形曲線，如下圖所示。,13,上式表明，t 時刻x點的振動狀態(tài)，經(jīng)時間t后傳播到了x軸正方向的x+ut 處。,3.當x,t 都變化時，代表一列沿x軸正方向傳播的波。,14,15,1.波速u振動狀態(tài)(位相)的傳播速度，又稱相速。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性)來確定。,5.1.2 描述波動的物理量,P26,169,16,3.波長 一個周期內(nèi)波動傳播的距離。,4.平面簡諧波波面為平面，媒質(zhì)中各質(zhì)點都作同頻率的簡諧振動形成的波動。本章主要討論這種波。,2.波的周期T媒質(zhì)質(zhì)元完成一次全振動

5、的時間。波的周期完全由波源(周期)確定。,17,解 (1)比較法:,波沿x軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點的振動初相o=/2。,18,(3)x1=1m和x2=2m兩點的相差：,(2)x=2m處質(zhì)點的振動方程：,19,解 (1) o比C點位相超前l(fā) /u,(2)標準函數(shù)法:, o=(+ l /u),例題2-2 波以u沿x軸正方向傳播，yC=Acos(t+), 求: (1)原點o的振動方程； (2)波動方程。,則o點的振動方程為: y=Acos(t+ +l /u),20,P(x)點比已知點C時間落后：,yC=Acos(t+),令x=0

6、得坐標原點o的振動方程為:,P(x)點比已知點C 超前用“+”； 落后用“”。,21,當t=1時, 對a點有：,對b點有：,解得：u=84cm/s, o=-17/3= /3,波動方程為,解,例題2-4 波沿x軸正向傳播，A=10cm, =7rad/s; 當t=1s時, ya=0, a0 。設10cm, 求該波的波動方程。,22,例題2-5 波沿x軸正方向傳播, t=0，t=0.5s時的波形如圖，周期T1s，求 ：(1) 波動方程；(2) P點(x=2m)的振動方程。,A=0.2，=4m,T= /u=2，=,o=+/2,波動方程:,(2)P點:,y=0.2cos(t - )(m),23,例題2-

7、6 t=2s時的波形如圖，u=0.5m/s，求：(1)圖中p點的振動方程；(2)該波的波動方程。,解 (1) A=0.5, =2,(2)該波的波動方程:,=,T= /u=4，=/2,+/2,24,5.3 平面行波的動力學方程,p165,例：推導輕質(zhì)、柔弦的微振動方程,如圖，由牛頓定律有,微振動時,聯(lián)立求解得,25,由此得,對比,有：,即：波動方程空間二次導數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度,26,討論：影響波的傳播速度的因素,對其它波動形式的方程作類似推導，可得各種波動的波動方程及傳播速度，由傳播速度的表達式，容易知道影響波傳播速度的因素,27,介質(zhì)的幾種典型模量,若在截面為S，長為l的細棒兩端加上大

8、小相等、方向相反的軸 向拉力F，使棒伸長l，實驗證明：在彈性限度內(nèi)，正應力 F/S與線性應變l/l成正比，即,比例系數(shù)Y由材料的彈性決定，稱為楊氏模量,(2).切變模量,(1).楊氏模量,切變模量,在柱體上下表面S上作用一大小相 等，方向相反的切向力F，使柱體,28,發(fā)生切變。實驗證明：在彈性限度內(nèi)，切應力F/S與切應變 x/h成正比，即,比例系數(shù)G由材料的切變彈性決定，稱為切變模量,(3).體變模量,設流體體積在壓強為P時等于V，如果是壓強增加到P+P，體 積變化為V+V，則在通常壓強范圍內(nèi)有,體變模量,比例系數(shù)B稱為體變模量。式中負號表示當 P0時，V 0,29,5.4 行波中的能量和能流

9、,一.波的能量密度,波動過程也是能量的傳播過程。,質(zhì)元dm= dV (為媒質(zhì)的密度)，長dx、伸長量dy。質(zhì)元的振動動能和勢能分別為,p172,30,由胡克定律，,楊氏彈性模量: Y= u2,31,質(zhì)元dm的總能:,(3)能量密度(單位體積中波的能量)為,(1)任意時刻,質(zhì)元的動能和勢能都相等。即,(2)質(zhì)元的總能量隨時間作周期性的變化。在波動中, 隨著振動在媒質(zhì)中的傳播, 能量也從媒質(zhì)的一部分傳到另一部分, 所以,波動是能量傳播的一種方式。,32,平均能量密度：,二.波的能流密度(波強),單位時間內(nèi)，通過垂直于波動傳播方向的單位面積的能量,稱為能流密度。 顯然，能流密度也就是通過垂直于波動傳

10、播方向的單位面積的功率。,容易證明, 能流密度(或波強)為,33,三. 聲波 聲強級,引起人聽覺的機械波的頻率范圍： 20-20000Hz 人耳的聽覺并不與聲強成正比，而是與聲強的對數(shù)成正比。取聲強Io=10-12(w/m2)為標準，則聲強級:,(dB),樹葉沙沙：20dB; 正常談話： 60dB; 鬧市：70dB; 飛機起飛：150dB。,34,(A)質(zhì)元a的動能為零 , 勢能最大。 (B)質(zhì)元a的動能最大 , 勢能為零。 (C)質(zhì)元b的動能最大, 勢能最大。 (D)質(zhì)元b的動能最大, 勢能為零。,答: (C),例題4-1 圖為某一時刻的波形曲線, 由圖可知,35,例題4-2 一電臺(視為點

11、波源)平均發(fā)射功率10kw，求離電臺1km處的波強。,解 能流密度(波強)為,能流密度也就是通過垂直于波傳播方向的單位面積的功率。于是所求能流密度(波強)為,=7.9610-4(w/m2),36,5.5.1波的疊加原理,5.5 波的干涉 駐波,每列波的傳播特性不因其它波的存在而改變。任一點的振動為各個波單獨在該點產(chǎn)生的振動的合成。這一規(guī)律稱為波的獨立傳播原理或波的疊加原理。 適用條件：波強較小。,p39,5.5.2 波的干涉,兩列波: (1)頻率相同； (2)振動方向相同； (3)相差恒定；,則在相遇區(qū)域會出現(xiàn)有些地方的振動始終加強，而另一些的振動始終減弱的穩(wěn)定分布，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。,3

12、7,S1: y10=A1cos( t+1),S1 p:,S2 p:,P點的合振動為 y =y1+y2,=Acos( t+),(同方向同頻率諧振動的合成),它們單獨在P點引起的振動分別為,S2: y20=A2cos( t+2),38,合振幅:,式中,合振動的初相為,P點的合振動為 y =y1+y2=Acos( t+),波強:,39,干涉的強弱取決于兩列波的相位差：,=2k , A=A1+A2 , 加強(相干相長)， 特別是A1=A2 時，A=2A1，Imax=4I1。,=(2k+1) , A=|A1-A2| , 減弱(相干相消)， 特別是A1=A2 時，A=0，Imin=0。,(k=0,1,2)

13、,40,例題5-1 兩個振幅都為A的相干波源S1和S2相距3/4， S1比S2超前/2，設兩波在連線上的波強不隨傳播距離而改變，試分析S1和S2連線上的干涉情況。,解 干涉的強弱取決于相位差：,S1左側(cè)a點: =,S2右側(cè)b點: =,S1左側(cè)各點都加強，Imax=4I1,S2右側(cè)各點都減弱， Imin=0,41,S1和S2之間c點:, =,42,例題5-2 原點o是波源, 波長為。AB為波的反射平面，反射時無半波損失。A點位于o點的正下方，Ao=h，ox軸平行于AB。求ox軸上干涉加強點的坐標。,解,=2k , 加強,(k=1,2,3),解得,(最大k: 令x=0，得k=2h/),(k=1,2

14、,3 2h/ ),43,例題5-3 已知: yb=3cos2t, yc=4cos(2t+/2)(SI), 從b、c兩點發(fā)出的波在p點相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求p點的合振動方程。,解,y1=3cos(2t- ),=3cos(2t-/2),cp:,y2=4cos(2t+/2- ),=4cos(2t-/2),p點的合振動方程:,y=y1+y2=,7cos(2t-/2)m,bp:,44,例題5-4 相干波源S1超前S2 , A1=A2=0.2m, 頻 率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,兩種媒質(zhì)中的波速分別為 u1=400m/s, u2=500m

15、/s， 求兩媒質(zhì)界面上p點的合振幅。,=0,=A1+A2 =0.4m,解 先求兩波到達p點的位相差:,45,5.5.3駐 波,兩列振幅相等、傳播方向相反的相干波進行疊加，就會形成駐波。,p41,46,將兩列波合成，可得,這就是駐波方程。,(1)駐波方程實際上是一個振動方程，只不過各點的振幅隨坐標x的不同而變化。 整體上看，駐波的波形駐定在原地起伏變化而不傳播, 這是駐波中“駐”字的意思。,47,波節(jié),波腹, /4,- /4,48,(2)波腹和波節(jié)位置,波腹：,即,波腹的位置為,波節(jié)：,即,波節(jié)的位置為,容易算出，相鄰的兩個波節(jié)(或波幅)之間的距離是 /2?？梢?，測出兩波節(jié)之間的距離，就能算出波

16、長。這是實驗中測量波長的一種常用的方法。,49,(3)駐波中的位相,由駐波方程可知，2x/=k + /2為波節(jié), 而 2x/在1、4象限的點，各點位相都是 t; 2x/在2、3象限的點，各點位相都是( t+)。,可見，在相鄰的兩波節(jié)間，各點的振動位相相同；而在波節(jié)兩旁，各點的振動位相相反。因此,駐波實際上就是分段振動著的, 沒有振動狀態(tài)或相位的傳播。這是駐波中“駐”字的又一層意思。,50,(4)駐波中的能量,從整個過程來看, 能量在相鄰的波腹、波節(jié)間來回轉(zhuǎn)移, 波節(jié)或波腹兩側(cè)的媒質(zhì)互不交換能量。因此，駐波是不傳播能量的。這是駐波中“駐”字的再一層意思。,(5) 固定邊界的駐波（弦）,n=1,2

17、,51,(6)關(guān)于半波損失,（2） 若波疏波密， 則 1 = 1 ,（1）波密波疏,反射波：,反射波和入射波同相,反射波有相位突變,半波損失,透射波：,即透射波總是與入射波同相,均有 2 = 1,52,例題5-5 一弦上的駐波方程為,求：(1)兩行波的振幅和波速；(2)相鄰波節(jié)間的距離；(3)t=3.0010-3s時,位于x=0.625m處質(zhì)點的振動速度。,解：(1)比較法,A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u=343.8m/s,53,(2)相鄰兩波節(jié)之間的距離:,(=1.25m),=0.625m,(3)t=3.0010-3s時,位于x=0.625m處質(zhì)點的振動速度。,

18、x=0.625,=-46.2(m/s),54,例題5-6 (1) 波y2與y1形成駐波,且在x=0處兩波同相,求波y2的方程。(2)駐波方程；(3)波幅和波節(jié)位置。,解 (1)設波y2的方程為,因y2在x=0處與已知橫波位相相同，所以o=0,55,(2)寫出繩上的駐波方程:,(3)波幅和波節(jié)位置。,波幅:,波節(jié):,56,解 (1)設反射波方程為,由于反射端為自由端(無半波損失)，入射波和反射波在p點相差為零，即,反射波方程為,例題5-7 波 沿棒傳播，在 x=L處(p點)反射，反射端為自由端，求：(1)反射波方程；(2)駐波方程。,57,(2)駐波方程。,駐波方程為,58,例題5-8 簡諧波沿

19、弦線傳播(A、)，在固定端P點反射，假設反射后波不衰減。已知：OP=7 /8，DP=3 /8，在t=0時，x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動，求D點處入射波和反射波的合振動方程。,解：設入射波方程為,設反射波方程為,駐波方程:,59,反射點P(x=7/8)處為固定點, 這表示P點處為波節(jié):,已知:t=0時，x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動。,60,x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動方程:,已知:t=0, x=0處煤質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動:,駐波方程:,61,D點處入射波和反射波的合振動方程:,(已知: OP=7 /8，DP=3 /8),62,例題5-9 設波源位于

20、坐標原點o處,其振動方程為yo=Acost。在x=-3 /4處的Q點有一波密反射壁(為波長)。求: (1)o點發(fā)出的沿x軸傳播的波的波動方程; (2) Q點反射的反射波的波動方程; (3)oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (4)x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (5)x=- /2處質(zhì)點p的振動方程。,解 (1)沿x軸正方向傳播的波:,沿x軸負方向傳播的波:,63,(2) 設Q點反射的反射波的波動方程為,由于反射壁處有半波損失，入射波y2和反射波yr在Q點相差應為 ，即,解得 o=-4。 最后得Q點反射波的波動方程為,64,oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程為,這是駐波方程。,(4) x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程：,(3),這是

21、行波方程。,65,就得x=- /2處質(zhì)點p的振動方程：,(5)將x=- /2代入oQ區(qū)域的駐波方程:,66,*5.6 多普勒效應,目前,多普勒效應已在科學研究、工程技術(shù)、交通管理、醫(yī)療診斷等各方面有著十分廣泛的應用。 用多普勒效應分析分子、原子和離子的譜線增寬。 測量和診斷大氣、等離子體物理狀態(tài)。 車輛、導彈等運動目標的速度監(jiān)測。 多普勒效應用來跟蹤人造衛(wèi)星。 “D超”用來檢查人體內(nèi)臟、血管等情況。 在工礦企業(yè)中則利用多普勒效應來測量管道中有懸浮物液體的流速。,p50,67,波源和接收器(觀察者)相對于媒質(zhì)都是靜止的,接收器接收到的波的頻率與波源的頻率相同。,什么是多普勒效應呢？,接收器(或觀

22、察者)所接收到的頻率等于單位時間內(nèi)通過接收器(或觀察者)所在處的完整波數(shù)目。,如果波源或接收器或兩者同時相對于媒質(zhì)運動時,接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。這一現(xiàn)象稱為多普勒(Doppler)效應。 假定波源和接收器在同一直線上運動。規(guī)定用 s表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度； r表示接收器相對于媒質(zhì)的運動速度； u表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。,68,1.波源和接收器相對于媒質(zhì)都靜止,當波源和接收器相對于媒質(zhì)都靜止時，波源每作一次全振動，波就在空間傳播一個波長的距離，結(jié)果就有一個完整的波通過接收器，顯然接收器(或觀察者)接收到的頻率vr就等于波源的頻率v ，即 vr=u /= v,69,2.波源靜止，接收器相對于媒質(zhì)以r運動, 當接收器在媒質(zhì)中靜止不動時,他在單位時間內(nèi)接收到u /個波。,現(xiàn)因接收器以速度r向波源運動,他在單位時間內(nèi)多接收到r /個波,所以他在單位時間內(nèi)接收到的波數(shù),即他接收到的頻率vr應為,70,3.接收器靜止，波源相對于媒質(zhì)以s運動,當波源和接收器(觀察者)都靜止，則分布在So內(nèi)的波數(shù)在單位時間內(nèi)都要通過接