2009年江西高考數(shù)學(xué)文科試卷帶詳解

1、 2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）文科數(shù)學(xué) 第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1下列命題是真命題的為 ( ) A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 【測(cè)量目標(biāo)】真假命題的判斷.【考查方式】簡(jiǎn)單的邏輯推理，若條件推導(dǎo)結(jié)論成立則命題正確.【參考答案】A【試題解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A. 2函數(shù)的定義域?yàn)?（ ）A BCD【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)合函數(shù)的定義域.【考查方式】根據(jù)復(fù)合函數(shù)分母大于0，根號(hào)內(nèi)值大于等于0求出定義域.【參考答案】D【試題解析】由得或,故選D. 350 名學(xué)生參加甲、乙兩

2、項(xiàng)體育活動(dòng)，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為 （ ）A50 B45 C40 D35【測(cè)量目標(biāo)】隨機(jī)事件與概率.【考查方式】根據(jù)（總體兩項(xiàng)都參加的學(xué)生人數(shù)=只參加一項(xiàng)學(xué)生人數(shù)）得到結(jié)果.【參考答案】B【試題解析】 僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)=50(30+2550)=45, 故選B.4函數(shù)的最小正周期為 （ ）A B C D 【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的恒等變換與周期性.【考查方式】利用三角恒等變換求出三角函數(shù)最簡(jiǎn)式，根據(jù)最簡(jiǎn)式求出最小正周期.【參考答案】A【試題解析】由可得最小正周期為,故選A.5已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)

3、時(shí)，則的值為 （ ）A B C D【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)奇偶性的綜合運(yùn)用.【考查方式】根據(jù)給出的函數(shù)關(guān)系，利用偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.【參考答案】C【試題解析】,故選C.6若能被整除，則的值可能為 （ ） A B C D【測(cè)量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】把二項(xiàng)式展開式化為二項(xiàng)式，然后把選項(xiàng)中的值代入逐個(gè)排除得到答案.【參考答案】C【試題解析】,當(dāng)時(shí),能被7整除, 故選C. 7.設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn), 若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 （ ）A B C D3【測(cè)量目標(biāo)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考查方式】根據(jù)上頂點(diǎn)、原點(diǎn)、或構(gòu)成的三角形內(nèi)角求出離心率.【參考答案】B【試題解析】由有,則

4、,故選B.8公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于 （ ）A. 18 B. 24 C. 60 D. 90【測(cè)量目標(biāo)】等差數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列的性質(zhì).【考查方式】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)將等比數(shù)列轉(zhuǎn)化求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.【參考答案】C 【試題解析】由得得 （步驟1）再由得則 （步驟2）所以.故選C （步驟3）9如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ）A. B. 截面 C. D. 異面直線與所成的角為【測(cè)量目標(biāo)】直線與直線之間、直線與平面之間的位置關(guān)系.【考查方式】根據(jù)給出的空間幾何體判斷線線、線面之間的位置關(guān)系.【參考答案】C 【試題解析】由，可得，故A

5、正確 （步驟1）由可得截面，故B正確 （步驟2） ） 異面直線與所成的角等于與所成的角，故D正確 （步驟3）綜上C是錯(cuò)誤的，故選C. （步驟4） 10甲、乙、丙、丁個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為 （ ）A B C D【測(cè)量目標(biāo)】排列組合及其應(yīng)用.【考查方式】利用排列組合計(jì)算出分組的總數(shù)、甲乙相遇的情況得到結(jié)果.【參考答案】D【試題解析】所有可能的比賽分組情況共有種，甲乙相遇的分組情況恰好有6種，故選D. 11如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖象大致為（

6、 ） A B C D【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)圖象的應(yīng)用.【考查方式】結(jié)合函數(shù)圖象理解，利用排除法排除不符合圖象變化的選項(xiàng)得到結(jié)果.【參考答案】B【試題解析】由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故A錯(cuò)誤 （步驟1）質(zhì)點(diǎn)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故D錯(cuò)誤 （步驟2）質(zhì)點(diǎn)在開始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)的速度為常數(shù)，因此C是錯(cuò)誤的 （步驟3）故選B （步驟4）12若存在過(guò)點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或【測(cè)量目標(biāo)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【考查方式】先根據(jù)直線與曲線相切、已知點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，然后根據(jù)相切條件求出.【參考答案】A【試題解析】設(shè)

7、過(guò)的直線與相切于點(diǎn)所以切線方程為.（步驟1）即，又在切線上，則或 （步驟2）當(dāng)時(shí)，由與相切可得 （步驟3）當(dāng)時(shí)，由與相切可得，所以選A. 步驟4 二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.請(qǐng)把答案填在答題卡上 13已知向量， ，若 則= 【測(cè)量目標(biāo)】向量的線性運(yùn)算.【考查方式】給出向量之間的垂直關(guān)系，利用向量垂直的性質(zhì)求出.【參考答案】 【試題解析】因?yàn)?.所以.14體積為8的一個(gè)正方體，其表面積與球的表面積相等，則球的體積等于 【測(cè)量目標(biāo)】正方體與球的面積、體積公式.【考查方式】先根據(jù)正方體體積求出正方體表面積，根據(jù)正方體、球表面積相等求出球的半徑，然后求出球的體積.【參考答案】【試

8、題解析】設(shè)球的半徑為，依題設(shè)有，則，球的體積為 15若不等式的解集為區(qū)間，且,則 【測(cè)量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】畫出圖形，然后根據(jù)不等式條件求出值.【參考答案】【試題解析】由數(shù)形結(jié)合 半圓在直線之下必須，則直線過(guò)點(diǎn)，則 16設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題： A存在一個(gè)圓與所有直線相交 B存在一個(gè)圓與所有直線不相交 C存在一個(gè)圓與所有直線相切 D中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是 （寫出所有真命題的代號(hào)）【測(cè)量目標(biāo)】參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】利用點(diǎn)到直線距離判斷直線與圓的位置關(guān)系.【參考答案】ABC 【試題解析】因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距離 （步驟1

9、）即為圓:的全體切線組成的集合 （步驟2）所以存在圓心在,半徑大于1的圓與中所有直線相交, 也存在圓心在,半徑小于1的圓與中所有直線均不相交, 也存在圓心在,半徑等于1的圓與中所有直線相切,故ABC正確 （步驟3）又因?yàn)橹械倪吥芙M成兩個(gè)大小不同的正三角形,故D錯(cuò)誤,故命題中正確的序號(hào)是ABC （步驟4）三.解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍.【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)最值問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題.【考查方式】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后把不等式組轉(zhuǎn)化為一邊為0，當(dāng)0時(shí)可求得

10、值； 結(jié)合函數(shù)圖象分類討論求出的范圍.【試題解析】解：(1) . （步驟1） 因?yàn)? 即 恒成立. （步驟2） 所以 , 得，即的最大值為. （步驟3） (2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 步驟4所以 當(dāng)時(shí),取極大值 （步驟5） 當(dāng)時(shí),取極小值 （步驟6）故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或. （步驟7）18（本小題滿分12分） 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助求：(

11、1) 該公司的資助總額為零的概率；（2）該公司的資助總額超過(guò)15萬(wàn)元的概率【測(cè)量目標(biāo)】相互獨(dú)立事件與概率.【考查方式】根據(jù)總額為0，6次都是不支持求出概率.【試題解析】解：（1）設(shè)表示資助總額為零這個(gè)事件，則（2）設(shè)表示資助總額超過(guò)15萬(wàn)元這個(gè)事件，則 19（本小題滿分12分）在中，所對(duì)的邊分別為，（1）求；（2）若，求,【測(cè)量目標(biāo)】利用正弦定理解決有關(guān)角度問(wèn)題.【考查方式】利用正弦定理邊之間比值等于正弦比值求出結(jié)果；給出關(guān)于向量的等式，根據(jù)數(shù)量積的公式將其轉(zhuǎn)化為邊與角的關(guān)系式然后求出,【試題解析】解：（1）由 得 （步驟1） 則有 = 得 即. （步驟2）（2） 由 推出 ；而,即得 （步驟

12、3） 則有 解得 （步驟4）20（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離 【測(cè)量目標(biāo)】空間立體幾何中線線、線面、面面之間的位置關(guān)系.【考查方式】利用線線垂直得到線面垂直然后得到面面垂直； 利用射影求出所求角正切值，然后求出所求角； 利用法向量和點(diǎn)到面距離公式求出距離.【試題解析】解：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則. （步驟1）因?yàn)槠矫?，則，又 （步驟2）所以平面，則 （步驟3）因此有平面，所以平面平面 （步驟4）（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)椋云矫?，則 （步驟5）

13、由（1）知，平面，則是在平面上的射影，所以 就是與平面所成的角 （步驟6）且 所求角為. （步驟7）（3）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離的一半，由（1）知，平面于，則就是點(diǎn)到平面距離. （步驟8）因?yàn)樵谥?，所以為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于. （步驟9）方法二：（1）同方法一； （2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，. （步驟10）設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：(步驟11)令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. (步驟12)（3）設(shè)所求距離為，由，得： (步驟13)21（本小題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和.【測(cè)量目標(biāo)】通項(xiàng)公式的基本運(yùn)算、求和公式的推導(dǎo)、二倍角公式.【考查方式】把所給公式轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)項(xiàng)，然后逐個(gè)推導(dǎo)求出； 利用錯(cuò)位相減法求出.【試題解析】(1) 由于,故 (步驟1) (步驟2)故 () (步驟3)(2) (步驟4)兩式相減得故 (步驟5)22（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn). （1）求圓的半徑;（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn).證明：直線與圓相切 【測(cè)量目標(biāo)】圓的切線方程、橢圓與三角形內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【考查方式】利用條件列出方程然后求出半徑