復(fù)變函數(shù)教學(xué)資料62

1、6.2 抽樣分布,即,若總體 , 是從,總體中抽取的一個(gè)容量為 的樣本。由正態(tài),也服從正態(tài)分布，且,分布的線性不變形和可加性可知樣本均值,6.2.1 分布,記作,服從自由度為 的 分布，,定理1 分布的概率密度為,又知,若,且 與 相互獨(dú)立時(shí),有,故有,連續(xù)使用這個(gè)性質(zhì)，可得,推論1 設(shè) 為來自正態(tài)總體,的樣本， 是已知常數(shù)，則統(tǒng)計(jì)量,關(guān)于 分布，還有下面兩條性質(zhì)。,證明 設(shè) 相互獨(dú)立，且,則有,從而,因此,性質(zhì)2的證明請(qǐng)讀者自行完成。對(duì)于自,正態(tài)分布 ，亦即,近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。,由度 時(shí)，可以證明 近似地服從,6.2.2 分布,服從自由度為 的 分布，記作:,定理2的證明略去。,因此

2、，當(dāng) 時(shí)，分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分,布，即 一般來說，當(dāng),6.2.3 分布,服從為自由度為 的 分布，,定理3 分布的概率密度為,定理3的證明略去。 分布的圖形如圖6-5,所示，圖中給出了幾條 分布的密度函數(shù)曲線.,6.2.4 分位數(shù),給定的正數(shù) ，若數(shù) 滿足,則稱數(shù) 為此概率分布的 上側(cè)分位數(shù)，,指滿足,即,（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的分位數(shù)是,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知,(2) 分布的 分位數(shù) 是指滿足,的 及 ，分位數(shù) 可由 分布表 查得。,（3） 分布的分位數(shù) 是指滿足,的數(shù) ，其值可由 分布查得。如圖68,所示。由分布的對(duì)稱性可知,（4） 分布的 分位數(shù) 是指,數(shù)，其值可由 分布表查得，如圖6-9所

3、示。,對(duì)于正態(tài)總體，常用統(tǒng)計(jì)量的分布還有以下,由 分布的定義及推論有,分別為樣本均值與樣本方差，則,(1),(2) 與 相互獨(dú)立;,(3),與,一些重要定理,證明 （1）在前面已經(jīng)證明。,（2）設(shè) ，其中,為正交矩陣：,顯然,故有,又因?yàn)?從而有,由上面的推導(dǎo)可知 只與 有,關(guān)， 只與 有關(guān)，而由,且協(xié)方差矩陣為 ，故可知,相互獨(dú)立具有同一正態(tài)分布 。即,（3）由 得 的均值為,為 個(gè)相互獨(dú)立且具有,證明 由定理4知,所以,又,其中,的兩個(gè)樣本，它們相互獨(dú)立，則,證明 由定理?xiàng)l件有,所以,又因,并且它們是相互獨(dú)立的，故由 分布的可加性可知,從而由獨(dú)立性條件及 分布的定義有,即,其中 和 分別是兩個(gè)