復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件—4-3

1、第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù),二、泰勒定理,三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù),一、問題的引入,四、典型例題,五、小結(jié)與思考,2,一、問題的引入,問題: 任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？,如圖:,3,由柯西積分公式 , 有,其中 K 取正方向.,則,4,5,由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫成,其中,可知在K內(nèi),6,令,則在K上連續(xù),7,即存在一個(gè)正常數(shù)M,8,從而在K內(nèi),泰勒級(jí)數(shù),9,由上討論得重要定理泰勒展開定理,10,二、泰勒定理,其中,泰勒級(jí)數(shù),泰勒展開式,泰勒介紹,11,說明:,3.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的.,12,因?yàn)榻馕?，可以保證無(wú)限次可各 階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;,所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍

2、就 要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.,注意,問題：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，展開式是否唯一？,13,那末,即,因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的.,14,三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù),常用方法: 直接法和間接法.,1.直接法:,由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù),15,例如，,故有,16,仿照上例 ,17,2. 間接展開法 :,借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式.,間接法的優(yōu)點(diǎn):,不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 .,18,例

3、如，,19,附: 常見函數(shù)的泰勒展開式,20,21,例1,解,四、典型例題,22,上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),23,例2,分析,如圖,24,即,將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分, 得,解,25,例3,解,26,例4,解,27,例5,解,28,五、小結(jié)與思考,通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記 五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成 泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù) 展開成泰勒級(jí)數(shù).,29,奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?,思考題,30,奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng), 偶函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng).,思考題答案,放映結(jié)束，按Esc退出.,31,泰勒資料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 173