《學(xué)案與測(cè)評(píng)》2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元第二節(jié) 直線的位置關(guān)系精品課件 蘇教版

1、1. 兩條直線平行與垂直的判定,（1）兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2，其斜率分別為k1,k2，則有l(wèi)1l2 .特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2都與x軸 . (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1,l2的斜率存在，分別設(shè)為k1,k2,則l1l2 .,k1=k2,垂直,k1k2=-1,知識(shí)梳理,第二節(jié) 直線的位置關(guān)系,2. 三種距離,（1）兩點(diǎn)間的距離 平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式 P1P2= . 特別地，原點(diǎn)（0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離OP= . (2)點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離

2、d= . (3)兩條平行線的距離 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d= .,典例分析,分析 可以把直線化成斜截式，運(yùn)用斜率或截距的數(shù)量關(guān)系來判斷求解，但由于直線的斜率可能不存在，就必須進(jìn)行分類討論；也可以運(yùn)用一般式方程中的系數(shù)關(guān)系來判斷或求解，這樣可以避免討論.,題型一 兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用 【例1】已知直線 :ax+2y+6=0和直線 :x+(a-1)y+a2-1=0. (1)試判斷 與 是否平行； （2）當(dāng) 時(shí)，求a的值.,解 （1）方法一：當(dāng)a=1時(shí)， :x+2y+6=0, :x=0, 所以 不平行于 ; 當(dāng)a=0時(shí)， :y=-3, :x-y-1=0,

3、 所以 不平行于 ; 當(dāng)a1且a0時(shí)，兩直線可化為 :y=-a2x-3, :y=11-ax-(a+1), 由 解得a=-1, 綜上可知,當(dāng)a=-1時(shí), ;否則 與 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-12=0; 由 ,得 故當(dāng)a=-1時(shí)， ;否則 與 不平行. （2）方法一：當(dāng)a=1時(shí), :x+2y+6=0, :x=0, 所以 與 不垂直，故a=1不成立; 當(dāng)a1時(shí)， 由,方法二：由 ，得 a+2(a-1)=0,學(xué)后反思 (1)直線 ,直線 “ 且 ”的前提條件是 , 的斜率都存 在.若不能確定斜率的存在性，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論：當(dāng) , 中有一條存在斜率，而另一條不存在斜率時(shí)， 與 不平行；

4、 當(dāng) , 的斜率都不存在（ 與 不重合）時(shí), ; 當(dāng) , 均有斜率且 , 時(shí)，有 .為避免 分類討論，可采用直線方程的一般式，利用一般式方程中的“系 數(shù)關(guān)系”的形式來判斷兩直線是否平行，如本例方法二.,（2）當(dāng) 時(shí)，可分斜率不存在與斜率存在且 來 解決問題.如果利用 可避免分類討論.,舉一反三,1. 已知直線ax+3y+1=0與x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析： 當(dāng)a-2=0或a=0時(shí)兩直線顯然不平行， 當(dāng)a-20且a0時(shí)，由題意得 1a,解得a=3. 綜上，a=3.,2. 已知直線ax-y+2a=0與（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值.,解析： 由a(2a-1)

5、-a=0,解得a=1或a=0, 當(dāng)a=1時(shí)，兩方程為x-y+2=0與x+y+1=0,互相垂直； 當(dāng)a=0時(shí)，兩方程為y=0與x=0互相垂直. 所以a=1或a=0即為所求.,題型二 距離問題,【例2】求過點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離等于 的直線方程. 分析設(shè)出所求直線的點(diǎn)斜式方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的方程，但必須要注意斜率是否存在這個(gè)問題.,解 過點(diǎn)A(-1,2)且垂直于x軸的直線不滿足題意， 設(shè)過點(diǎn)A(-1,2)的直線點(diǎn)斜式方程為y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. 原點(diǎn)到直線的距離等于 ,d= = ， 解得k=-1或k=-7, 即所求直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=

6、0.,學(xué)后反思 (1)直線的點(diǎn)斜式方程不能代表垂直于x軸的直線，故要進(jìn)行討論. (2)使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，必須把直線方程化為一般式.,舉一反三 3. (2009全國(guó))若直線m被兩平行線 :x-y+1=0與 :x-y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為 ,則m的傾斜角可以是: 15;30;45;60;75.其中正確答案的序號(hào)是 .(寫出所有正確答案的序號(hào)),解析： 如圖所示， 與 間的距離為 ，由圖 知直線m與 的夾角為30,又l1的傾斜角為45,所以直線m 的傾斜角為30+45=75或45-30=15.,題型三 交點(diǎn)及直線系問題,【例3】求經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0

7、的交點(diǎn)且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.,分析 本題可以先求交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由直線間位置關(guān)系求解， 也可以先設(shè)出直線系方程，后代入點(diǎn)具體求解.,方法三：由l過l1,l2的交點(diǎn)， 可設(shè)l:3x+2y-1+(5x+2y+1)=0， 即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0. ll3 ,解得= ,代入上式整理,得 l:5x+3y-1=0. 由于直線不包含l2,易驗(yàn)證l2不合題意.,學(xué)后反思 三種解法都能比較迅捷地解決問題，但方法一、二都是在兩直線的斜率存在的前提下進(jìn)行的，如果其中含有字母參數(shù)，則要進(jìn)行分類討論；運(yùn)用直線系方程時(shí)則必須對(duì)直線系中不包含的直線進(jìn)行檢驗(yàn)，因此本題的三種解

8、法應(yīng)該是各有優(yōu)缺點(diǎn).,舉一反三,4. 已知兩直線l1:x+2=0,l2:4x+3y+5=0,定點(diǎn)A(-1,-2),求過l1,l2的交點(diǎn)且與點(diǎn)A的距離等于1的直線l.,解析： 方法一：l1,l2的交點(diǎn)為 x+2=0, 4x+3y+5=0的解，即（-2，1）. 若直線l斜率存在，設(shè)所求的直線方程為y-1=k(x+2), 即kx-y+(2k+1)=0. 因?yàn)樗笾本€與點(diǎn)A(-1,-2)的距離為1, 所以 ,得k= , 代入,得 所求直線l的方程為4x+3y+5=0;,若直線l斜率不存在，即判斷過點(diǎn)（-2，1）且與y軸平行的直 線x=-2是否符合所求直線l的條件. 點(diǎn)A（-1，-2）到直線x=-2的距

9、離為1， 直線x=-2，即x+2=0也符合直線l的要求. 所求直線l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.,方法二：l1,l2的交點(diǎn)為（-2，1）. 過l1,l2交點(diǎn)的直線系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,不包括l2,是參數(shù)，化簡(jiǎn)得(1+4)x+3y+(2+5)=0.,由點(diǎn)A（-1，-2）到直線l的距離為1,得 ,解得=0, 代入方程，得x+2=0.又因?yàn)橹本€系方程中不包含l2, 所以應(yīng)檢驗(yàn)l2是否也符合所求l的條件. 因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，-2）到l2的距離為 =1, 所以l2也符合要求，所求直線l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.,題型四 對(duì)稱問題,【例4】(14分)光線沿直線

10、l1:x-2y+5=0射入，遇直線l:3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.,分析 本題用光學(xué)原理得入射光線與反射光線關(guān)于直線l對(duì)稱， 用對(duì)稱點(diǎn)方法求出入射線上一點(diǎn)P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式 寫出方程.,解 方法一：由 3x-2y+7=0, x=-1, x-2y+5=0, 得 y=2, 即反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2). .2 又取直線x-2y+5=0上一點(diǎn)P（-5，0）， 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0). 由PPl,可知kPP= , .5 而PP的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 , 又Q點(diǎn)在l上， .,聯(lián)立 , (x0-5)-y0+7=0, .9 解得 x0=-1713, y0=-

11、3213, 即P點(diǎn)坐標(biāo)為 . .11 反射光線過M(-1,2)和P . 根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程,可得反射光線所在的方程為 29x-2y+33=0. 14,方法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y),則 . .3 又PP的中點(diǎn) 在l上，, , .6 由 , x0= , y0= , 10 代入方程x-2y+5=0中，化簡(jiǎn)得29x-2y+33=0, .12 即所求反射光線所在直線方程為29x-2y+33=0. .14,學(xué)后反思 比較兩種解法可知，對(duì)于直線的對(duì)稱問題，都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決的；其中方法一通過求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

12、，用兩點(diǎn)式方程求解，方法二則利用了軌跡思想求對(duì)稱直線的方程， 是求解曲線關(guān)于直線對(duì)稱問題的通法.,舉一反三 (2009北京海淀區(qū)模擬)若直線 :y=k(x-4)與 直線 關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線 恒過定點(diǎn) .,答案: (0,2),解析: 由已知，直線 恒過定點(diǎn)(4,0). 與 關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，而(4,0)關(guān)于(2,1)對(duì)稱點(diǎn) 為(0,2), 恒過定點(diǎn)(0,2).,易錯(cuò)警示,【例】討論直線ax+y-2=0與x-ay+3=0的位置關(guān)系.,錯(cuò)解 兩直線的斜率分別是k1=-a,k2= , k1k2=-a =-1， 兩直線垂直.,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解中忽略了對(duì)實(shí)數(shù)a是否為0的討論.,正解 若a=0,

13、則兩直線方程分別為y=2和x=-3，顯然兩直線垂直；若a0,由k1k2=-a =-1知兩直線垂直. 綜上可知，兩直線垂直.,考點(diǎn)演練,10. 若直線 :y=kx+k+2與 :y=-2x+4的交點(diǎn)在第一象限，求k的取值范圍.,解析： 方法一：由題意易知k-2. 由方程組 y=kx+k+2, y=-2x+4,得交點(diǎn)坐標(biāo)為 由題意，知 2-k2+k0, 4+6k2+k0,解得 k2. 方法二：如圖，直線 表示過定點(diǎn)M（-1,2）,斜率為k的直線系，直線 過點(diǎn)A(2,0),B(0,4).要使l1與l2的交點(diǎn)在第一象限，由圖知 k2.,11. 求直線 :2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱的直 線 的方程.,解析: 設(shè) 上的動(dòng)點(diǎn)P（x,y)關(guān)于l:3x+4y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為 P , 則有 解得 P(x0,y0)在 上， 化簡(jiǎn)得：2x+11y+16=0,即為直線l2的方程.,12. 如圖，過點(diǎn)P(2,1)的直線l分別交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使： （1）AOB面積最小時(shí)l的方程； （2）|PA|PB|最小時(shí)l的方程.,解析： 方法一：設(shè)直線l的方程為 (a2,b1), 由已知可得 (1)方法一： ab8. 當(dāng)且僅當(dāng) ,即a=4