幾何與代數(shù)課件：lec16 子空間的基和維數(shù)

1、,幾何與代數(shù),2010年國家級精品課程,教學內(nèi)容和學時分配,第四章 n維向量,問題式預習及思考題,1. 什么是向量空間的基和維數(shù)？,3. 如何求一個向量在兩組基下的坐標？,思考題,請總結(jié)一個m行n列矩陣A的秩等于r的充要條件都有哪些？,2. A的列空間R(A)的基和維數(shù)是什么？,非零子式的最高階數(shù),矩陣的秩,A中至少有一個 r級子式0, 任一k(r)級子式=0.,r(Amn) = r A P,Q可逆,A =P Q., r(A) = r(AT),r(A)、A的行向量組的秩 、A的列向量組的秩間的關(guān)系？,A的列向量組中存在r個線性無關(guān)的向量， 但任意r+1個向量線性相關(guān).,與A的列向量組等價的任意

2、一個線性無關(guān)向量組均含r個向量,A的列向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是其極大無關(guān)組;, A的列向量組中任意極大無關(guān)組均含有r個向量.,三. 向量組的秩與矩陣的秩, 矩陣A與B的行向量組等價 (行等價),初等行變換不改變行(向量組的)秩,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性, B的行向量組能由 A的行向量組線性表示, A的行向量組能由 B的行向量組線性表示,(i1, i2, , is) x = 與 (i1, i2, , is ) y = 同解,初等行變換不改變列(向量組的)秩,(i1, i2, , is)線性相關(guān) (i1, i2, , is )線性相關(guān),(i1, i2, , is)線性無

3、關(guān) (i1, i2, , is )線性無關(guān),初等行變換不改變列向量組間的線性關(guān)系,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,(i1, i2, , is) x = it 與 (i1, i2, , is ) y = it 同解,初等行變換不改變列(向量組的)秩,若it = k1i1+ k2i2+ + ksis,則it = k1i1 + k2i2+ + ksis,初等行變換不改變列向量組間的線性關(guān)系,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,秩(1, 2, 3, 4, 5) = 3.,秩(1, 2, 3, 4) = 3.,階梯陣A的行秩 = 秩(A),三. 向量組的秩與矩陣的秩,1 0 2 0

4、4 0 1 3 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,階梯陣A的列秩 = 行秩(AT) = 秩(AT),= 秩(A),=列秩,階梯陣的主列是該階梯陣列向量組的極大無關(guān)組；,初等行變換不改變行秩.,初等行變換不改變列秩 .,階梯形矩陣的行秩 = 秩 = 列秩,定理4.6. 任意矩陣的行秩 = 秩 = 列秩.,三. 向量組的秩與矩陣的秩,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,初等行變換不改變秩 .,矩陣的秩與行向量組的秩及列向量組的秩一樣.,非零子式的最高階數(shù),矩陣的秩,A中至少有一個 r級子式0, 任一k(r)級子式=0.,3) r(A

5、mn) = r A P,Q可逆,A =P Q., r(A) = r(AT), A的行向量組的秩 =A的列向量組的秩 = r(A),A的行(列)向量組中存在r個線性無關(guān)的向量， 但任意r+1個向量線性相關(guān).,與A的行(列)向量組等價的任意一個線性無關(guān)向量組均含r個向量,A的行(列)向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是其極大無關(guān)組;, A的行(列)向量組中任意極大無關(guān)組均含有r個向量.,=行秩(A) = 列秩(A),例1. 求矩陣A的列向量組的一個極大無關(guān)組.,解:,故A的第1,2,4列為A的列向量組的一個極大無關(guān)組.,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,行最簡形的主列是其列向量組的極大無關(guān)

6、組,初等行變換不改變列向量間的線性關(guān)系,階梯陣的主列對應的原矩陣的列也是原矩陣列向量組的極大無關(guān)組；,例1. 求矩陣A的列向量組的一個極大無關(guān)組.,解:,故A的第1,2,4列為A的列向量組的一個極大無關(guān)組.,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,初等行變換不改變列向量間的線性關(guān)系,并把其余列用此極大無關(guān)組線性表示.,B3 = B1 B2 ,A3 = A1 A2 ,B5=4B1+3B23B4.,A5=4A1+3A23A4.,求一個向量組的極大無關(guān)組的方法：,階梯陣的主列對應的原矩陣的列是原矩陣列向量組的極大無關(guān)組；,將向量組按列向量組構(gòu)成矩陣,若要將非主列用極大無關(guān)組線性表示, 則要化成

7、行簡化階梯陣.,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,注3: 極大無關(guān)組為原矩陣A中的列,注2: 初等行變換,注1: 按列向量組構(gòu)成矩陣,1 0 2 0 4 0 1 3 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0,求一個向量組的極大無關(guān)組的方法：,初等行變換不改變列向量間的線性關(guān)系,按列向量組構(gòu)成矩陣,第四章 n維向量,4.2向量組的線性相關(guān)性,能否按行向量組構(gòu)成矩陣,初等行變換是否也不改變行向量間的線性關(guān)系 ？,線性無關(guān),線性相關(guān),可能改變,不建議,r2r3,行,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,1,s與1, ,t等價L(1,s)=L(1,t),問

8、題的提出：一個子空間的生成元組不是唯一的，是否存在最小的生成元組呢？,等價,線性無關(guān),極大無關(guān)組,生成子空間的極大無關(guān)組,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0線性表示,L(1,2,s) 可由1,s線性表示,1,s可由其極大無關(guān)組i1,ir線性表示,i1,ir也是L(1,2,s)的極大無關(guān)組.,4.3 子空間的基和維數(shù),一. 基和維數(shù),第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),1, , s,能由1, , s線性表示,線性無關(guān),V的一組基,V的維數(shù)dimV = s,本質(zhì)為極大無關(guān)組,注2:零空間沒有基, 規(guī)定dim = 0.,注1: 基不唯一, 任意兩組基都是等價的

9、,且都含有s個向量.,本質(zhì)為向量組的秩,生成子空間的基和維數(shù),1, , r,能由1, , r線性表示,線性無關(guān),V的一組基,V的維數(shù)dimV = r,本質(zhì)為極大無關(guān)組,本質(zhì)為向量組的秩,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,dim(L(1,s) = r (1,s ).,L(1,2,s)的一組基: 1,2,s的極大無關(guān)組,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),L(1,2,s)的一組基: 1,2,s的極大無關(guān)組,dim(L(1,s) = r(1,s).,設矩陣ARns, 稱L(A1, A2, , As)為A的列空間. A的列空間的基為列向量組的極大無關(guān)組. di

10、m(L(A1, A2, , As) = r(A1, A2, , As) = r(A).,設矩陣ARns, 稱L(A1, A2, , As)為A的列空間. A的列空間R(A)的基為列向量組的極大無關(guān)組. dim(R(A) = r(A).,求L(A1, A2, A3, A4)的一組基和維數(shù).,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一組基, 可見dim L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A2, A3,B2,B3為基?,求L(A1, A2, A3, A4)的一組基和維數(shù).,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一組基, 可見dim

11、 L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A1, A4,B2,B3為基?,否,B2=x1A1+x3A3?,無 解,B2L(A1, A3),不能取變換后的B2,B3為基.,求L(A1, A2, A3, A4)的一組基和維數(shù).,解2:,C1, C2是L(A1, A2, A3, A4)的一組基.,C1 C2,基？,B2=x1A1+x3A3?,B2L(A1, A3),不能取變換后的B2,B3為基.,否,初等行變換前后的行向量組是等價,AT =,無 解,生成子空間的基為向量組的極大無關(guān)組.,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,dim(L(1,

12、s) = r (1,s ).,法1：按列向量組構(gòu)成矩陣,階梯陣,階梯陣的主列對應的原矩陣的列是生成子空間的一組基；,法2：按行向量組構(gòu)成矩陣,階梯陣,階梯陣的非零行是生成子空間的一組基.,建議方法：法1，和列向量組的極大無關(guān)組一致,4階Drer魔方： 行和=列和=對角線（或次對角線）之和=每個小方塊之和= 四個角之和.,你想構(gòu)造Drer魔方嗎？ Drer魔方有多少個？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,A=,B=,Drer魔方,從杜勒魔方到向量空間,任意兩個Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。,你想構(gòu)造Drer魔方嗎？ Drer魔方有多少個？ 如何構(gòu)造所有的Drer魔方？,允許構(gòu)成魔方的

13、數(shù)取任意實數(shù),任意兩個Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。,記 D=A=(aij)R44|A為Drer魔方,則D構(gòu)成一個向量空間，稱為Drer魔方空間.,無窮多個,求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)成一個Drer魔方.,從杜勒魔方到向量空間,Drer魔方空間,求Drer魔方空間的基,培養(yǎng)化繁為簡的思考模式,類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡單的方陣。,憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的,7,令R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和,Q1=,1,1,1,1,1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當?shù)诙械?也取定后，第

14、三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8,求Drer魔方空間的基,1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個不同的最簡方陣，稱為基本魔方Q1,Q8,Drer魔方空間,向量空間的應用,顯然， Drer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？,求Drer魔方空間的基,Drer魔方空間,向量空間的應用,Q1,Q8線性相關(guān),顯然， Drer空間中任何一個魔方都可以用Q1,Q2,Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？,求Drer魔方空間的基,求Dr

15、er魔方空間的基,由,線性無關(guān)。,求Drer魔方空間的基,由,線性無關(guān)。,Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,可得,Drer魔方空間是7維的,Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.,構(gòu)造Albrecht Drer的數(shù)字魔方,=,=,坐標,2. 向量在基1, , r下的坐標,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),1, , r,能由1, , r線性表示,線性無關(guān),V的一組基,V, 唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 稱r維向量,(k1, k2, , kr)T為 在基1,r下的坐標.,且表示方

16、式唯一.,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),V, 唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 稱r維向量,(k1, k2, , kr)T為 在基1,r下的坐標.,注3: 基不唯一,且是有序的,在不同基下的坐標不同,在基e1, e2, e3下的坐標為(1,2,3)T,在基e1, e3, e2下的坐標為(1,3,2)T,例2.,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),V, 唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 稱r維向量,(k1, k2, , kr)T為 在基1,r下的坐標.,注3: 基不唯一,且是有序

17、的,在不同基下的坐標不同,在基e1, e2, e3下的坐標為(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐標為(1,1,1)T,(尺),(米),例3.,不同的基只是選用不同的度量單位而已。,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),在基e1, e2, e3下的坐標為(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐標為(1,1,1)T,(尺),(米),例3.,1, 2, 3,兩組基I:e1, e2, e3與II:1, 2, 3之間的關(guān)系如何？,從基I到II的過渡矩陣,C,從1, , s到1, , s的過渡矩陣,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),3. 過渡矩陣,1, 2,

18、 , sRn V 的一組基,1, 2, , sRn V 的另一組基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s),B = ACss,s = 秩(B), C可逆, 秩(C), s,秩(C) = s, A = BC1,從1, , s到1, , s的過渡矩陣為C1,1, 2, , s可由1, 2, , s線性表示,A,B可逆嗎？,A,B不是方陣,從1, , n到1, , n的過渡矩陣,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),3. 過渡矩陣,1, 2, , n Rn Rn 的一組基,1, 2, , n Rn Rn的另一組基,A = (1, 2, , n), B = (1, 2,

19、 , n),B = ACnn, C可逆,特別的，, C為Rn在兩組基下的過渡矩陣.,C可逆,證明必要性：,C可逆, C1, , Cn為Rn的一組基., C為e1, e2, , en到C1, , Cn的過渡矩陣.,A,B可逆嗎？,A,B是方陣且可逆,1, 2, , n可由1, 2, , n線性表示,n階方陣A可逆, A與E相抵, A的行最簡形矩陣為E., A = P1P2Ps, Pi為初等陣.,多角度看可逆陣, A的行(列)向量組線性無關(guān), 任一n維向量 都可由行(列)向量組線性表示, A的行(列)向量組的秩都是n.,(非奇異陣、非退化陣),(滿秩), A的行(列)向量組是Rn的基., A為Rn

20、在兩組基下的過渡矩陣., A的列空間的維數(shù)為n.,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),4. 坐標變換公式,1, 2, , s Rn V 的一組基,1, 2, , s Rn V 的另一組基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s), = x11 + + xss,B = AC, A = BC1,= Ax,= y11 + + yss,= By,= AC y,1, 2, , sV 的一組基,1, 2, , sV 的另一組基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s), = x11 + + xss,B = AC, A = BC1,A(xCy) = ,= Ax,= y11 + + yss,= By,= ACy, xCy = , x = Cy, y = C1x,4. 坐標變換公式,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),Az = 只有零解,第四章 n維向量,4.3 子空間的基和維數(shù),定理4.8.,1, 2, , s Rn V 的一組基,1, 2, , s Rn V 的另一組基,A = (1, , s), B = (1